Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S /Produit scalaire et orthogonalité E. Dostal Mars 2015

2 Table des matières 10 Produit scalaire et orthogonalité Produit scalaire Orthogonalité et vecteur normal Distance d un point à un plan Solides Section plane d un solide Volumes de solides

3 Chapitre 10 Produit scalaire et orthogonalité 10.1 Produit scalaire Définition 1 On considère que l espace est muni d une distance. La norme d un vecteur est la longueur de ses représentants : AB = AB. Le produit scalaire des vecteurs u et v est le réel : u v = 1 ( 2 u+ v 2 u 2 v 2) Deux droites sécantes sont perpendiculaires si elles forment un angle droit. Deux droites sont orthogonales si l une admet une parallèle perpendiculaire à l autre. Deux vecteurs ( u et v de directions orthogonales sont orthogonaux : u v. Un repère O, ı, j, ) k est orthogonal si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Théorème 1 u v u v = 0 Proposition 2 ( Autres écritures du produit scalaire. Dans un repère orthonormé O, ı, j, ) k, 1. si u(x;y;z) et v(x ;y ;z ) alors u v = xx +yy +zz. 2. si u, v 0, u v = u v cos( u; v). Exemple 1 Dans un cube, les diagonales sont-elles orthogonales? Dans le cas contraire, quel est la mesure de l angle formé par ces deux droites? Théorème 3 Pour tous vecteurs u, v et w et tout réel λ, on a les propriétés de Symétrie : u v = v u Homogénéité : u, v, (λ u) v = λ( u v) = u (λ v) Bilinéarité : ( u+ w) v = u v + w v et u ( v + w) = u v + u w Positivité : u 2 = u u 0 et u u = 0 u = 0. Exemple 2 1. Soient u et v deux vecteurs. Démontrer l égalité : ( u+ v) 2 +( u v) 2 = 2 u 2 +2 v En déduire que dans un parallélogramme la somme des carrés des 4 cotés est égale à la somme des carrés des 2 diagonales. 3. En déduire le théorème de la médiane : AB 2 +AC 2 = 2AA BC2, où A est le milieu de [BC]. 2

4 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Proposition ( 4 [Distance et sphère] Soit O, ı, j, ) k un repère orthonormé de l espace. Si A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) sont deux points de l espace alors : 1. AB = (x A x B ) 2 +(y A y B ) 2 +(z A z B ) 2 2. La sphère de centre Ω(x 0 ;y 0 ;z 0 ) et de rayon R a pour équation : (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. Exemple 3 1. Déterminer le centre et le rayon de la sphère S d équation : x 2 +y 2 +z 2 +2x z = Déterminer une équation de la sphère S de diamètre [AB] avec A(2;2;0) et B( 1;5;1). Proposition 5 Soient A et C deux points distincts de l espace et H est le projeté orthogonal de B sur (AC). Alors AB AC = AH AC. Si u est un vecteur directeur unitaire (de norme 1) de (AC), AB u = ±AH (le signe permet de placer H par rapport à A sur (AC)). B A H Exemple 4 Dans le cube ABCDEFGH quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur (BH)? 10.2 Orthogonalité et vecteur normal Définition 2 Un vecteur normal n 0 d un plan P est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Par bilinéarité du produit scalaire, n est orthogonal à tous les vecteurs du plans. n Théorème 6 Ξ Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes d un plan P, alors D est orthogonale à toute droite du plan P. On dit alors que la droite D est orthogonale au plan P. Théorème 7 Ξ Si P un plan d équation ax+by +cz +d = 0 où a,b,c sont non tous nuls. Alors, le vecteur n(a;b;c) est un vecteur normal de P. 3

5 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Théorème 8 Ξ Si P est un plan de vecteur normal n(a;b;c) et A un point de P, Alors, dans tout repère orthonormé de l espace, le plan P admet une équation cartésienne de la forme ax+by +cz +d = 0. Exemple 5 1. Donner un vecteur normal à P : y +z = 0 2. Donner une équation du plan P de vecteur normal n(2; 1;0) passant par K(1;1;1) 3. Donner une équation cartésienne de P passant par A( 2; 1; 3) orthogonal à la droite (BC) où B(1; 2;2) et C(4;1; 1). Remarque 1 Critères d orthogonalité et de parallélisme Deux plans sont perpendiculaires si et seulement s ils ont des vecteurs normaux orthogonaux. Deux plans sont parallèles si et seulement s ils ont des vecteurs normaux colinéaires. Deux droites sont orthogonales si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs orthogonaux. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Une droite et un plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan sont colinéaires. (Attention!) Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan (non confondues). (Attention!) Une droite et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan sont orthogonaux. (Attention!) Exemple 6 1. Eq. paramétriques de la perpendiculaire à P : y +z = 0 contenant K(1;1;1)? 2. Equation cartésienne du plan P parallèle à P : x 2y +z = 0 passant par A(1;0;0)? 3. Equation cartésienne du plan perpendiculaire à P et P passant par A(1;0;0)? 4. On a P : x+y +z +3 = 0 Q : 2x+2y +2z +7 = 0 R : 3x y = 2. (a) Déterminer un vecteur normal de chaque plan. (b) Etudier l intersection de P et de Q. (c) Montrer que P R est une droite dont on donnera un système d équations paramétriques. (d) Vérifier que A( 1 : 1; 3 2 ) Q R. En déduire un système d équations paramétriques de Q R. Définition 3 Le plan médiateur d un segment [AB] est le plan orthogonal à [AB] passant par son milieu. C est l ensemble des points équidistants de A et B. Exemple 7 Equation cartésienne du plan médiateur de [AB] : A(1;2;3) et B( 1;0; 1)? Remarque 2 Trois plans sont dans l une des situations suivantes : Si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, ils sont soit strictement parallèles deux à deux (d intersection vide), soit confondus pour deux d entre eux et strictement parallèles au troisième, soit tous les trois confondus. Si leurs vecteurs normaux sont coplanaires et non colinéaires, ils sont soit confondus pour deux d entre eux et sécants aux troisième, soit parallèles pour deux d entre eux et le troisième sécant aux deux autres suivants des droites parallèles, soit tous trois sécants suivants une même droite, soit deux à deux sécants suivant des droites parallèles. Si leurs vecteurs normaux sont non coplanaires, l intersection est réduite à un point. Exemple 8 Dans chacun des cas, déterminer l intersection des trois plans d équations : 1. P : x+y 2z 5 = 0 Q : 2x+3y +z = 0 R : x y +z +1 = 0 2. P : 2x+3y 2z 2 = 0 Q : 4x 3y +z 4 = 0 R : 2x+12y 7z 2 = 0 3. P : x+y +3z = 1 Q : 2x 3y +z = 0 R : 7x+10y 2 = 0 4

6 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Distance d un point à un plan Exemple 9 Dans un repère orthornormé ( O, ı, j, k passant par le point A, et M(x;y;z) un point de l espace. ), soit P est un plan de vecteur normal n(a;b;c) 1. Démontrer qu il existe une unique droite orthogonale à P passant par M. Cette droite coupe le plan P en un unique point noté H appelé le projeté orthogonal de M sur le plan P. On appelle distance du point M au plan P, que l on note d(m;p), la distance MH. 2. Montrer que d(m;p) = AM n. n 3. Soit A(1;1;2) et P : 2x 2y +z 3 = 0. (a) Déterminer la distance du point A au plan P à l aide de la formule précédente (b) Déterminer les coordonnées de H, le projeté orthogonal de A sur P, puis calculer AH Solides Section plane d un solide Méthode : Pour déterminer l intersection d un polyèdre (solide composé de plusieurs faces) et d un plan. On procède face par face en 1. cherchant deux points communs entre le plan de coupe et le plan contenant la face étudiée. Pour cela, on prolongera parfois les arêtes de la face étudiée et les droites d intersection des faces étudiées auparavant. (exemples 10 et 11). 2. cherchant un point commun entre la face étudiée et le plan de coupe, et en utilisant le théorème du plan sécant avec deux plans parallèles, si on connaît déjà l intersection du plan de coupe avec une face parallèle à la face étudiée. (voir l exemple 10). 3. cherchant un point commun entre la face étudiée et le plan de coupe, et en utilisant le théorème du toit, si l on sait que l intersection du plan de coupe et d une face est parallèle à une droite de la face étudiée. (voir l exemple 11). Exemple 10 Représenter la section du parallélépipède suivant par le plan (MNP), sachant que M (AED), N [GF] et P [CG]. On justifiera soigneusement l intersection de (MNP) avec la face AEDH. D H P C G N M E F A B Exemple 11 Représenter l intersection du tétraèdre avec le plan (IJK), en justifiant soigneusement l intersection de (IJK) avec la face (BCD). Le point I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [AB], enfin K (BCD) : 5

7 E. Dostal - Mars 2015 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ C K I D A J B Volumes de solides h h r Prisme, cylindre : V = B h Pyramide, càne : V = 1 3 B h Sphère : V = 4 3 πr3 6