CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

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1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio f est itégrable sur le segmet [,]. O e déduit que f existe das R. Pour tout f E, f = f +2 Soit f E. f t dt. f = f +2 f t dt = f = f t dt = f = et t [,], f t = foctio cotiue, positive, d itégrale ulle f = et f est costate sur [,] t [,], ft = f = f =. Soiet f E et λ R. λf = λf +2 λf t dt = λ f +2 f t dt = λ f. Soit f,g E 2. f+g = f+g +2 O a motré que f t+g t dt f + g +2 est ue orme sur E. f t dt+2 g t dt = f + g. 2. i Soiet N et N deux ormes sur u espace vectoriel E. ii Soit f E. N et N sot équivaletes α,β ],+ [ 2 / f E, αnf N f βnf. et aussi f = f +2 f = 2 f + f t dt 4 f +2 f t dt 2 f +4 f t dt = 2 f, f t dt = 2 f. Aisi, f E, 2 f f 2 f et doc et sot des ormes équivaletes. http :// c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.

2 3. Pour f E, posos f = ft dt. Motros que les ormes et e sot pas équivaletes. Pour cela { } { } f f vérifios que sup, f E\{} = +. Posos S = sup, f E\{}. f f Pour N et t [,], posos f t = t. Pour tout N, et f = t dt = +, f = +2 f t dt = 2f f = 2, puis f = 2 +. Mais alors, pour tout etier aturel o ul, S f = 2 +. Quad ted vers +, f f o obtiet S = +. { } f O a motré que sup, f E\{} = + et doc est pas équivalete à. f EXERCICE 2 : cotiuité d ue foctio défiie par ue itégrale. Soiet I et J deux itervalles de R puis g : I J R x,t gx,t ue applicatio de I J das R. Si pour tout x de I, l applicatio t gx,t est cotiue par morceaux sur J, pour tout t de J, l applicatio x gx,t est cotiue sur I, il existe ue foctio ϕ positive, cotiue par morceaux et itégrable sur J telle que pour tout x,t de I J, gx,t ϕt, hypothèse de domiatio alors la foctio f : x gx,t dt est défiie et cotiue sur I. J 2. Pour x,t R [,+ [, posos gx,t = Arctaxt +t 2 de sorte que pour tout x R, f x = gx,t dt. pour tout x de R, l applicatio t gx,t est cotiue par morceaux sur [,+ [, pour tout t de [,+ [, l applicatio x gx,t est cotiue sur R, π pour tout x,t de R [,+, gx,t 2+t 2 = ϕt où ϕ est ue foctio positive, cotiue par morceaux et itégrable sur [,+ [ car domiée par au voisiage de +. t2 D après le théorème de cotiuité des itégrales à paramètres, la foctio f est cotiue sur R. 3. f 2 = puis, si x >, Doc, f 2 x = xe xt dt = [ e xt] + = lim t + e xt = car x >. x, f 2 x = { si x = si x >. f 2 est pas cotiue e. Comme la foctio g : x,t xe xt vérifie les deux premières hypothèses du théorème de cotiuité des itégrales à paramètres, g e peut vérifier l hypothèse de domiatio. Cette hypothèse de domiatio est doc écessaire pour être sûr de la cotiuité de la foctio x gx,t dt. J http :// 2 c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.

3 EXERCICE 3 : ue itégrale curvilige La forme différetielle ω = y x x 2 +y 2dx+ x 2 +y 2dy est cotiue sur D = R2 \{,} et le cercle de cetre O et de rayo { x = cost est coteu das D. Ue paramétrisatio de ce cercle parcouru ue fois das le ses trigoométrique est γ : y = sit, t variat de à 2π. Cette paramétrisatio est de classe C puis γ ω = 2π sit cost cos 2 t+si 2 sit+ t cos 2 t+si 2 t cost dt = Problème : comparaiso de covergeces Partie I 2π dt = 2π.. a Si f est ue foctio défiie sur I à valeurs das R, o pose f = sup{ fx, x I} f est élémet de [,+ ]. La série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet sur I si et seulemet si pour tout N, f est u réel et la série umérique de terme gééral f, N, coverge. b Soit x I. Pour tout etier, f x f. Puisque la série de terme gééral f coverge, il e est de même de la série umérique de terme gééral f x, N. Ceci motre que la série umérique de terme gééral f x, N, est absolumet covergete. Aisi, pour tout x de I, la série umérique de terme gééral f x, N, est absolumet covergete ou ecore la série de foctios de terme gééral f, N, est absolumet covergete sur I. O a motré que la covergece ormale etraîe la covergece absolue. 2. Puisque la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet sur I, cette série coverge simplemet sur I et pour chaque etier et chaque x de I, o peut poser R x = Soit x I. Pour tout etier aturel, R x Aisi, pour tout x I et tout N, R x f k x f k et doc f k. f k x. f k est u majorat de { R x, x I}. Comme R est le plus petit des majorats de{ R x, x I}, ceci motre que pour tout N, R Puisque la série umérique de terme gééral f, N, coverge, la suite + f k N f k. des restes à l ordre ted vers quad ted vers +. Mais alors, la suite R N ted vers quad ted vers +. Ceci motre que la suite des restes R, N, coverge uiformémet vers sur I ou ecore que la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur I. Aisi, la covergece ormale etraîe la covergece uiforme. x 2 3. Soit x [,]. La suite umérique f x N est alterée e sige et sa valeur absolue, à savoir 2 +, N ted vers e décroissat somme de deux suites décroissates. O e déduit que la série umérique de terme gééral f x, N, coverge d après le critère spécial aux séries alterées. De plus, d après ue majoratio classique de la valeur absolue du reste à l ordre d ue série alterée, pour tout N, R x = f k x f x 2 +x = Aisi, pour tout N et tout x [,], R x et doc, http :// 3 c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.

4 Puisque pour tout N, R ted vers quad ted vers +, il e est de même de R. Ceci motre que la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur [,]. Soit x [,]. La série umérique de terme gééral x 2 2, N, coverge et la série umérique de terme gééral N, diverge. O e déduit que la série umérique de terme gééral f x = x2 2 +, N, diverge si cette série covergeait, alors la série de terme gééral = f x x2 2, N, covergerait ce qui est pas. Doc pour tout x [,], la série umérique de terme gééral f x, N, est pas absolumet covergete. Aisi, la covergece uiforme etraîe pas la covergece absolue. 4. O sait que pour tout réel x, e x = absolumet sur R. x = Soit N. Pour tout réel x, posos R x = e x! et que la série de foctios de terme gééral f : x x, N, coverge! k= x k. Puisque lim k! R x = + d après u théorème de croissaces + comparées, la foctio R est pas borée sur R. Par suite, pour tout etier aturel, R et doc la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas uiformémet sur R vers la foctio expoetielle. Aisi, la covergece absolue etraîe pas la covergece uiforme. Partie II 5. Puisque la suite α N est décroissate et positive, pour tout etier aturel o ul, o a α α. Doc la suite α N est borée. Soit x [,[. Pour tout N, f x = α x x α xx. Puisque x <, la série géométrique de terme gééral α xx, N coverge et il e est de même de la série umérique de terme gééral f x, N. Aisi, pour tout réel x [,[, la série umérique de terme gééral f x, N, coverge absolumet et doc coverge. O a motré que la série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet sur [,[. 6. a Soit N. La foctio f est dérivable sur [,[ et pour tout x [,[, La foctio f est positive, croissate sur f x = α x x x = α x +x. [ ] [ ], et décroissate sur + +,. O e déduit que f = f = α = α +. + b Puisque la suite α N peut s auler ue ifiité de fois, o utilisera pas des équivalets. + = exp l + = exp + +o = exp +o = e +o., puis α f = + +o α e +o = α e +o α. e http :// 4 c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.

5 Si la série de terme gééral α, N, coverge il e est de même de la série umérique de terme gééral α e, N, α puis de la série umérique de terme gééral o, N, et fialemet de la série umérique de terme gééral e f = α e +o α. e Réciproquemet, supposos que la série de terme gééral f, N, coverge. Il existe u rag à partir duquel α o e 2 α e et doc f = α e +o α e 2 α e. Pour, o a alors α 2e f. Ceci motre que la série de terme gééral α coverge. O a motré que la série de terme gééral f, N, coverge si et seulemet si la série de terme gééral α, N, coverge ou ecore 7. a Soit N. Pour tout x [,[, f coverge ormalemet sur [,[ si et seulemet si b O suppose que la suite α N coverge vers. x k = x + + k= x k = x+ x. α coverge. Soit N. Soit x [,[. D après la questio 5, la série umérique de terme gééral f x, N, coverge. O peut doc poser R x = R x = f k x. Esuite, d après la questio a, f k x = α k x k x α + x x k = α + x + α +. Aisi, pour tout N et tout x [,[, R x α + et doc pour tout N, R α +. Puisque la suite α N ted vers quad ted vers +, il e est de même de la suite R N. Ceci motre que la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur [,[. c O suppose que la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur [,[. La suite α N est décroissate et positive. Cette suite admet doc ue limite que l o ote l et qui est u réel positif ou ul. Supposos l ou ecore plus précisémet l >. Soit N. Pour tout x [,[, R x = l x = lx +. α x k x x k car la suite α N ted vers l e décroissat Mais alors, pour tout réel x [,[, R R x lx +. Quad x ted vers, o obtiet R l. Aisi, pour tout etier aturel o ul, R l. Comme l >, R Ł e ted pas vers quad ted vers + ou ecore la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas uiformémet sur [,[. Par cotrapositio, si la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur [,[ alors la suite α N coverge vers. O a motré que f coverge uiformémet sur [,[ si et seulemet si α N coverge vers. http :// 5 c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.

6 8. a Pour N, o pose α =. La suite α N est ue suite décroissate de réels positifs. La série umérique de terme gééral α = 2, N, coverge et doc la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet sur [,[ d après la questio 6.b. b Pour N, o pose α =. La suite α N est ue suite décroissate de réels positifs. La suite α N e coverge pas vers et doc la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas uiformémet sur [,[ d après la questio 7.c. c O pose α = 2 et pour 2, o pose α = l. La suite α N est ue suite décroissate de réels positifs. La suite α N coverge vers et doc la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur [,[ d après la questio 7.c. Vérifios que la série de terme gééral α, N, diverge. Puisque la suite α N est décroissate produit de suites positives décroissates et positive, la série de terme gééral α, N, est de même ature que l itégrale comparaiso série et itégrale. Or, pour X > 2 X dx x lx = [llx]x 2 = llx ll2, 2 dx et quad X ted vers +, o obtiet 2 x lx = +. Mais alors série de terme gééral α, N, diverge et doc la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas ormalemet sur [,[ d après la questio 6.b. 9. Ci-dessous, toute implicatio o écrite est fausse. Covergece ormale 2 dx x lx Covergece uiforme Covergece absolue Covergece simple http :// 6 c Jea-Louis Rouget, 22. Tous droits réservés.