TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

Transcription

1 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Dans ce travail dirigé, vous allez découvrir un modèle de la géométrie hyperbolique, le demi-plan de Poincaré. Vous pouvez supposer connu que R 2 muni des notions standard de droite, ordre, congruence de segment et d angles, est un plan euclidien. 1. Une géométrie d ordre Definition 1.1 (Structure de géométrie d incidence). On définit H = {z C : Im(z) > 0}, où C dénote le plan complexe. On pose = {{z H : Re(z) = x} : x R}; Ω = {{z H : z x = r} : x R, r R >0 }. L ensemble est l ensemble des demi-droites verticales issues de l axe des abscisses, tandis que Ω est l ensemble des demi-cercles ayant pour centre un point de l axe des abscisses. L ensemble abstrait des droites hyperbolique, que l on note D, est défini par D = Ω. La situation est représentée ci-dessous. 1

2 2 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Definition 1.2 (Structure de géométrie d ordre). On définit la relation d ordre hyperbolique O H H H, par (z 1, z 2, z 3 ) O si et seulement si l une des deux conditions ci-dessous est vérifiée : Il existe Γ Ω avec z 1, z 2, z 3 Γ et Re(z 1 ) Re(z 2 ) Re(z 3 ) dans R, On a Re(z 1 ) = Re(z 2 ) = Re(z 3 ) et Im(z 1 ) Im(z 2 ) Im(z 3 ) dans R. Pour éviter les confusions, lorsque nous parlons de droite, médiatrice, segment, etc, il s agit de ces objets pris dans leur sens traditionnel. On ajoutera l adjectif hyperbolique pour indiquer que nous parlons de cet objet dans le monde hyperbolique. Exercice 1 (Une géométrie d incidence). (i) Montrer que par deux points A B du demi-plan de Poincaré H, il passe une unique droite hyperbolique. Indication : Considérer la médiatrice du segment [AB] lorsque celui-ci n est pas vertical. (ii) Montrer que toute droite hyperbolique contient au moins deux points. (iii) Donner explicitement trois points non alignés au sens hyperbolique (Justifier). 2. Groupe des transformations de Möbius à coefficients réels Exercice 2 (Inversion de cercle unité). On considère l application inv : C \ {0} C \ {0} z 1 z = z z. 2 (i) Montrer que inv est une bijection. Quelle est son inverse? (ii) Soit D. Montrer que inv(d) = D si D est la demi-droite des ordonnées positives. Si D est la demi-droite issue de x 0, montrer que inv(d) Γ, où Γ est le demi-cercle de centre 1 2x 0 et de rayon 1 2x 0. Montrer que si Γ est un demi-cercle de centre c et de rayon c > 0, alors inv( Γ) D, où D est la demi-droite issue de 1 2c. (iii) En conclure que inv se restreint en une bijection inv : H H. (iv) Montrer que si Γ est un demi-cercle de centre c et de rayon r, r c, alors inv(γ) Λ, où Λ est le demi-cercle de centre c c 2 r 2 et de rayon r c 2 r 2.

3 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE 3 (v) En conclure que inv préserve les droites hyperboliques. (vi) Montrer que inv préserve l ordre hyperbolique des points alignés. Exercice 3 (Quelques transformations de Möbius). On considère les applications f : H H de la forme f(z) = az+b, avec a, b, c, d R cz+d tels que ad bc = 1, que l on nomme transformations de Möbius réelles de déterminant 1. (i) Montrer qu une symétrie d axe vertical préserve les droites hyperboliques et l ordre hyperbolique des points alignés. (ii) Montrer que toute transformation de Möbius est une bijection qui préserve les droites hyperboliques et l ordre hyperbolique des points alignés. Indication : Dans le cas où c 0, montrer que f(z) = l exercice précédent. 1 + a, et utiliser c 2 z+cd c (iii) Soit GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 à coefficient dans R qui sont inversibles. On le munit de la multipliciaton de matrice usuelle. On rappelle que le determinant a b d une matrice M = Mat(2, 2)(R) est défini par det M = ad bc. c d Vérifier que det : GL 2 (R) (R \ {0}, ) est un homomorphisme de groupe. (iv) On définit l ensemble SL 2 (R) = a c b d : a, b, c, d R, ad bc = 1 Vérifier que c est un sous groupe de GL 2 (R). Montrer que l application φ : SL 2 (R) Bij(H) a b φ(f) avec φ(f)(z) = az + b pour tout z H. c d cz + d est un homomorphisme de groupes. En déduire que les transformations de Möbius réelles de déterminant 1 forment un sous-groupe de Bij(H). (v) On considère les applications f : H H de la forme f(z) = a z+b, avec a, b, c, d c z+d R tels que ad bc = 1, que l on nomme transformations de Möbius réelles de déterminant 1. Soit g une transformation de Möbius réelle de déterminant

4 4 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE 1. Montrer que g inv et inv g sont des transformations de Möbius réelles de déterminant 1. Monter que toute transformation de Möbius réelle de déterminant 1 peut s écrire de ces deux façons. (vi) En déduire que l ensemble des transformations de Möbius de déterminant 1 ou 1 est un groupe qui agit sur H et qui préserve l ordre hyperbolique des points alignés. On appelle transformation de Möbius réelle une transformation de Möbius de déterminant 1 ou 1. Exercice 4. (i) Montrer qu une transformation de Möbius réelle de déterminant 1 qui fixe 2 points de H distincts est l identité. (ii) Soit Γ Ω un demi-cercle de centre c et de rayon r et X = c + re iθ Γ. Soit 0 < θ < θ. Trouver une transformation de Möbius réelle φ de déterminant 1, telle que φ(x) = i et φ(y ) est un imaginaire pur de module supérieur à 1. Indication : Utiliser une composition de translation, d inversion de cercle et d homotéthie de rapport positif. (iii) Soit D une demi-droite issue de x 0 et X D. Trouver une transformation de Möbius réelle φ de déterminant 1 telle que φ(x) = i et φ(x + i) est un imaginaire pur de module supérieur à Une géométrie d ordre Exercice 5 (Une géométrie d ordre). (i) Vérifier que (H, D, O) est une géométrie vérifiant les axiomes (O1), (O2) et (O3). (ii) Monter que si une demi-droite verticale coupe un segment [AB] (non vertical), alors cette demi-droite coupe le segment hyperbolique [AB], et réciproquement. Indication : Penser au théorème de la valeur intermédiaire. (iii) Montrer que (H, D, O) vérifie l axiome de Pasch (O4). Indication : On pourra utiliser l exercice précédent et l axiome de Pasch dans R 2.

5 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE 5 4. Action de groupe et axiomes de Hilbert Dans cet section, nous allons démonter le théorème du cours. Exercice 6. Soit (E, D, ) une géométrie d ordre, G un groupe et G E E une action de ce groupe qui préserve l ordre. C est-à-dire, pour tout A, B, C E tels que A B C, et g G, on a ga gb gc. On définit l ensemble X = {(r, a) : r est une demi-droite et a un demi-plan bordé par la droite supportant r}, et on rapelle (cf cours 2) que G agit naturellement sur X. On suppose de plus que G1: L action G X X est transitive, et pour tout x X, Stab(x) = {1 G }. Autrement dit, il il existe un unique element g G qui envoie un élément donné de X sur un autre. G2: Pour A, B deux points, il existe g G tel que ga = B et gb = A. On dit que g permute A et B. G3: Pour r 1, r 2 deux demi-droites ayant même origine, il existe g G qui permute r 1 et r 2. On munit (E, D, ) des relations de congruence de segment et d angles induites par l action de G. Les axiomes (C2) et (C5) sont automatiquement vérifiés. (i) Soit r une demi droite d origine x et g G l unique élément tel que gr = r et qui inverse les demis-plans définis par r.(il existe un unique tel g par (G1).) Montrer que g 2 = 1 G. En utilisant l ordre, en déduire que pour tout X r, gx = X. (ii) En ce servant de l axiome (G2), montrer que si [A, B] = G [C, D], il existe g G tel que ga = C, gb = D. (iii) Montrer que (G1) et (G2) impliquent que l axiome (C1) est vérifié. (iv) Montrer que (C3) est vérifié. Indication : Superposer les figures. (v) Montrer que (G1) et (G3) impliquent que l axiome (C4) est vérifié. (vi) Montrer que (C6) est vérifié Indication : Superposer les figures.

6 6 TD DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Exercice 7. (i) Dans les conditions de l exercice précédent, (E, D,, = G, = G ) est un plan de Hilbert. Montrer qu il existe un homomorphisme de groupe bijectif G Isom(E). Indication : On pourra utiliser le fait que toute isométrie peut s écrire comme une composée de symétries. (ii) Soit E un plan de Hilbert. Montrer que l action de Isom(E) sur E vérifie les axiomes (G1) (G3). Indication : Utiliser les théorèmes du cours et les constructions vues au exercices : perpendiculaire, point milieu, etc. On note Möb le groupe des transformations de Möbius réelles de déterminant 1 ou 1. Exercice 8 (Un plan de Hilbert). (i) Déduire de l exercice 4 que l axiome (G1) est vérifié par l action Möb H H. Indication : Pour l unicité se restreindre au cas de la demi-droite verticale d origine i et contenant 2i. Trouver les fonctions de Möbius qui fixent i. Conclure. (ii) Utiliser le principe de conjugaison pour construire les transformations de Möbius nécéssaires pour montrer que les axiomes (G2) et (G3) sont vérifiés. Indication : Pour (G3), on pourra utiliser l exercice 2 et une homotéthie bien choisie pour résoudre le cas simple où une des demi-droites est verticale et l autre est un demi-cercle dont le centre et le rayon ont même module. (iii) En déduire que H est un plan de Hilbert dont le groupe des isométries est Möb. 5. Indépendance de l axiome des parallèles Exercice 9. Déduire du cours et des exercices que l axiome de Playfair (P ) est indépendant des axiomes d un plan de Hilbert, autrement dit, que l on ne peut prouver ni réfuter (P ) à partir des axiomes du plan de Hilbert.