Arithmétique modulaire

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1 Bellepierre November 25, 2012

2 Arithmétique Définition L arithmétique est la science des nombres entiers

3 La division Euclidienne Étant donnés deux entiers naturels a et b avec b 0, la division euclidienne de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que a = b q + r avec 0 r < b a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

4 La division Euclidienne Étant donnés deux entiers naturels a et b avec b 0, la division euclidienne de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que a = b q + r avec 0 r < b a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste. Exemple Pour a=49 et b=8, on trouve q=6 et r=1

5 La division Euclidienne en math Définition mathématique (a, b) N N,!(q, r); a = bq + r et 0 r < b. On lit pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple d entier q et r tel que...

6 La division Euclidienne en math Définition mathématique (a, b) N N,!(q, r); a = bq + r et 0 r < b. On lit pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple d entier q et r tel que... Remarque q et r existent toujours et sont uniques.

7 La division Euclidienne en informatique Algo en français Une manière naturelle de définir le quotient est de se demander : Dans a, combien de fois b? Pour répondre à cette question, on examine d abord si a est strictement inférieur à b. Dans l affirmative, q = 0 et r = a. Dans la négative, on soustrait b à a autant de fois que nécessaire pour que le résultat devienne strictement inférieur à b. Le nombre de soustractions effectuées est alors q, et la dernière valeur de a est r.

8 La division Euclidienne en informatique La division Euclidienne Variables : a,q,r,nbsous : entiers b : entier non nul Début : lire a et b Si a<b alors q 0 r a Sinon nbsous 0 r a Répéter r r-b nbsous nbsous+1 Jusqu à r<b q nbsous Afficher La division de a par b vaut q Afficher Le reste vaut r Fin :

9 La division Euclidienne en informatique Variables : a,q : entiers b : entier non nul Début : lire a et b q 0 Tant que b a a a-b q q+1 Afficher Le quotient vaut q Afficher Le reste vaut a Fin : La division Euclidienne en light

10 Multiple et diviseur Définition mathématique a et b sont deux entiers où b 0 On dit que b divise a si il existe un entier q tel que a=bq On note b a

11 Multiple et diviseur Définition mathématique a et b sont deux entiers où b 0 On dit que b divise a si il existe un entier q tel que a=bq On note b a Exemple Pour a=48 et b=8, on trouve q=6. Remarques b divise a si le reste dans la division vaut 0. a est un multiple de b.

12 Nombre Premier Définition mathématique Un nombre strictement supérieur à 1 est premier si il n est divisible que par lui même et par 1.

13 Nombre Premier Définition mathématique Un nombre strictement supérieur à 1 est premier si il n est divisible que par lui même et par 1. Exemple Remarques 1 n est pas un nombre premier.

14 Test de primalité Algorithme en français Une manière naturelle est de tester la divisibilité par les nombres inférieurs. Remarques On peut améliorer pour tester si un entier N est premier, en testant la divisibilité par tous les nombres inférieur à N On peut encore améliorer pour tester si un entier N est premier, en testant la divisibilité par tous les nombres premiers inférieur à N

15 Test de primalité en informatique Test de primalité Variables : n : entiers supérieur à 1 i : entiers rep : chaine Début : rep est premier lire n Pour i allant de 2 à n-1 Si i n alors rep n est pas premier Afficher rep Fin :

16 Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l ordre d écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers :

17 Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l ordre d écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers : Déterminer le plus petit diviseur de N autre que 1 : c est le plus petit facteur premier de N. Diviser N par ce facteur premier : le quotient est M.

18 Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l ordre d écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers : Déterminer le plus petit diviseur de N autre que 1 : c est le plus petit facteur premier de N. Diviser N par ce facteur premier : le quotient est M. Tant que M > 1, faire (1) et (2) avec M.

19 Composition des nombres entiers Décomposition en facteur premier Variables : N,d : entiers Début : lire N Tant que N>1 d 2 Tant que d ne divise pas N d d+1 N N/d afficher d Fin :

20 Composition des nombres entiers II Variables : N,d : entiers Début : lire N d 2 répéter si d divise N alors afficher N N N/d sinon d d+1 tant que N>1 Afficher N Fin : Décomposition en facteur premier

21 Composition commune de deux nombres Définition Deux nombres sont premiers entre eux si ils n ont que 1 comme diviseur commun.

22 Composition commune de deux nombres Définition Deux nombres sont premiers entre eux si ils n ont que 1 comme diviseur commun. Premiers entre eux?? 27 et 56 sont premiers entre eux. 27 et 36 ne sont pas premiers entre eux.

23 Plus Grand Diviseur Commun Définition On note PGCD(a,b) le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres non nuls a et b.

24 Plus Grand Diviseur Commun Définition On note PGCD(a,b) le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres non nuls a et b. Exemples PGCD(27,56)=1 PGCD(27,36)=9 Remarque Deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a,b)=1

25 Algorithme D Euclide Théorème PGCD(a,b)=PGCD(b,r) où r est le reste dans la division de a par b algorithme en français On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début. On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précédent de la suite.

26 Algorithme D Euclide

27 Algorithme D Euclide Algo Euclide Variables : a,b;r : entiers Début : lire a et b répéter Déterminer le reste r de la divison de a par b a b b r tant que r 0 Afficher b Fin :