φ = Q 1 x 1...Q n x n ψ, y u (( x F (x, y, z) wg(w, y)) z F (z, u, z)) y u w x v (( F (x, y, z) G(w, y)) F (v, u, v)).

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1 Alexandre DIKOVSKY Université de Nantes Logique Mathématique pour l'informatique 7.1. Forme normales. Cours 7. Systèmes formels du 1 er ordre Forme normale prénexe. Définition 1. φ L 1 est sous la forme normale prénexe (FNP), si elle est de la forme : φ = Q 1 x 1...Q n x n ψ, où Q 1,..., Q n sont des quantificateurs et ψ est une formule sans occurrence dequantificateur (Q 1 x 1...Q n x n est le préfixe de φ, ψ est la matrice de φ). Théorème 1. Toute formule φ L 1 peut être transformée en FNP équivalente. Exemple 1. y u (( x F(x, y, z) xg(x, y)) zf(z, u, z)) y u (( x F(x, y, z) xg(x, y)) zf(z, u, z)) y u (( x F (x, y, z) xg(x, y)) z F (z, u, z)) y u (( x F (x, y, z) wg(w, y)) z F (z, u, z)) y u ( w x ( F (x, y, z) G(w, y)) z F (z, u, z)) y u w x (( F (x, y, z) G(w, y)) z F (z, u, z)) y u w x (( F (x, y, z) G(w, y)) v F (v, u, v)) y u w x v (( F (x, y, z) G(w, y)) F (v, u, v)). Corollaire 1. Toute φ L 1 peut être transformée en FNP équivalente avec la matrice sous la FNC. Corollaire 2. Toute φ L 1 peut être transformée en une proposition du 1 er ordre en FNP faiblement équivalente dont la matrice est sous la FNC Forme normale clausale. Définition 2. Une formule φ L 1 est en forme normale littérale si dans cette formule s'applique qu'aux atomes, et il n'y a pas de, ni de. Un ensemble de clauses du premier ordre Γ est une forme normale clausale de φ si φ Γ. 1

2 Exemple x (p(x) (q(x) xq(x))) x ( p(x) ( q(x) xq(x))) x ( p(x) ( q(x) yq(y))) (forme littérale). 2. y z( r(z) p(f(y, z),y,z) q(y)) r(z) p(f(y, z),y,z) q(y) (élimination de ) ( r(z) p(f(y, z),y,z)) ( r(z) q(y)) ( FNC ) { r(z) p(f(y, z),y,z), r(z) q(y)} ( forme clausale ). 7.2 Skolémisation. SKOLEMISATION est une méthode qui permet d'éliminer les quantificateurs existentiels et obtenir une formule équivalente dans un sens très faible à la formule d'origine. La méthode s'applique aux formules en forme littérale. Définition 3. Deux ensembles de formules Γ 1, Γ 2 sont equi-cohérents (notation Γ 1 ec Γ 2 ), si Γ 1 est cohérent ssi Γ 2 l'est aussi ( c.-à.-d., Γ 1 a un modèle ssi Γ 2 a un modèle ). Lemme 1. [Skolem] Soit φ[ x ψ] l'occurrence la plus à gauche du quantificateur dans φ. Soit x 1,..., x n (n 0) tous les quantificateurs universels dans la portée desquels se trouve x ψ.posons η ˆ= φ[ x ψ\ ψ(x \ f c (x 1,..., x n ))], où f c /n est un nouveau foncteur (une nouvelle constante f c /0, si n =0). Alors, φ ec η. Ce lemme permet transformer les ensembles finis des formules en des ensembles de clauses équi-cohérents, la transformation étant implémentée par la procédure suivante : Skolem(Γ L 1 : fini) : pour toute φ Γ appliquer skolem(φ) - - indépendemment fin ; pour toute ψ Γ supprimer les quantificateurs universels dans ψ ; ψ := FNC(ψ) ; décomposer ψ en clauses C ψ ; Skolem := Skolem C ψ ; fin skolem(φ L 1 ) : φ := φ ; transformer φ en forme littérale ; φ dégager dans φ la première occurrence [ x ψ] de gauche ; tant qu'il y a des occurrences de dans --transformation en FNC - - fermeture universelle si ( [ x ψ] se trouve dans la portée des quantificateurs y 1,..., y n ) alors φ := φ[ x ψ\ ψ(x \ f c (x 1,..., x n ))] sinon φ := φ[ x ψ\ ψ(x \ f c )] fin_si fin_tant_que ; Lemme 2. Skolem(Γ) ec Γ pour tout ensemble fini Γ L 1. 2

3 Définition 4. Un ensemble fini C de clauses du 1 er ordre est une forme normale clausale d'un ensemble de formules Γ, si C ec Γ. Le lemme 2 implique : G. Principe de skolémisation. Théorème 2. Tout ensemble fini Γ de formules du 1 er forme normale clausale Skolem(Γ) ec Γ. ordre peut être transformé en sa Exemple 3. La formule normale clausale Skolem(φ) comme suit : φ = r(z) x (p(x, y, z) q(y)) est transformée en sa forme φ y z (r(z) x (p(x, y, z) q(y))) ( ) y z ( r(z) x (p(x, y, z) q(y))) ( forme littérale ) ec y z ( r(z) p(f(y, z),y,z) q(y)) ( skolémisation ) r(z) p(f(y, z),y,z) q(y) ( élimination de ) ( r(z) p(f(y, z),y,z)) ( r(z) q(y)) ( FNC ) { r(z) p(f(y, z),y,z), r(z) q(y)} ( forme clausale ). H. Principe de cohérence pour les propositions Théorème 3. Quel que soient un ensemble Γ de propositions et une proposition φ du premier ordre : H. Γ = φ ssi l'ensemble Γ { φ} est non cohérent (n'a pas de modèle) Modèles d'herbrand. Ces modèles représentent les calculs symboliques de fonctions et de relations. On peut supposer sans perte de généralité que toute signature fonctionnelle Σ f a un ensemble non vide de constantes Σ c Σ f (sinon on prend Σ c = df {c/0}, c étant une nouvelle constante). On fixe pour Σ f le domaine d'herbrand H Σf = df T Σf (l'ensemble des termes fermés ( clos)). Ces termes représentent les valeurs symboliques. Exemple 4. Soit la signature Σ f = {a/0,f/1}. Alors H Σf = {a, f(a),f(f(a)),...}. Soit la formule x (p(x) q(x, f(x))). Alors H Σf = {c, f(c),f(f(c)),...}. Définition 5. Soit une signature Σ = (Σ p, Σ f ). Son interprétation I H est une interprétation d'herbrand si H Σf lui sert de domaine et si les foncteurs sont interprétés comme fonctions symboliques : f(t 1,..., t n ) I H = df f(t I H 1,..., t I H n ). Ainsi, pour un atome clos A H Σf, I H = A ssi A I H. Exemple 5. Soit la formule φ = x (p(x) p(f(x))) et une interprétation d'herbrand I H, où p(c) I H = p(f(c)) I H =... = p(f 9 (c)) I H =0,p(f 10 (c)) I H =1. Alors I H = p(f i (c)), pour tout i 10. C.-à-d., {p(f i (c)) i 10} = φ (est son modèle d'herbrand). 3

4 Définition 6. Une proposition du 1 er ordre est universelle si elle est en forme prénexe et si les quantificateurs qui apparaissent dans son préfixe sont tous universels. Nous allons la dénoter φ quand φ est sa matrice. Par exemple, toute clause du 1 er ordre est une proposition universelle. L'importance des modèles d'herbrand provient du théorème suivant dû à Herbrand. Théorème 4. [Herbrand] Un ensemble de propositions universelles est cohérent ssi il a un modèle d'herbrand. Idée depreuve : Soit clos(γ) = {θ(φ) φ Γ, θ une substitution sur le domaine d Herbrand}. Alors, les énoncés suivants sont équivalents : (i) Γ cohérent; (ii) H = Γpour un modèle d'herbrand H ; (iii) clos(γ) est cohérent. De plus, dans les modèles d'herbrand au lieu des afféctations arbitraires de valeurs aux variables nous avons des substitutions de termes. Corollaire 3. Soit une proposition universelle φ et une substitution θ (pas forcement fermée). Alors, φ = φθ. Pour vérifier l'équi-cohérence et la conséquence, on peut se limiter aux modèles d'herbrand : Corollaire 4. Un ensemble de formules Γ est cohérent ssi sa FN clausale cl(γ) a un modèle d'herbrand. Corollaire 5. Soient Γ 1, Γ 2 deux ensembles de propositions universelles. Alors, Γ 1 =Γ 2 ssi H = Γ 1 implique H = Γ 2, pour tout modèle d'herbrand H (notation Γ 1 = h Γ 2 ) Extension de la méthode des tableaux aux propositions du premier ordre Soit U un ensemble infini de nouvelles variables : U Var=. Extension de la classification de formules : -formules < x ψ > x φ x φ Formules dérivées φ(x\x) φ(x\x) X U étant une nouvelle variable. -formules < x ψ > Formules dérivées x φ φ(x\f(x 1,..., X n )) x φ φ(x\f(x 1,..., X n )) X 1,..., X n U f étant un nouveau foncteur (une constante si n =0). étant les variables introduites dans la -formule avant son développement, Nouvelles règles d'extension d'une branche : -extension : {T, [ B,< x φ>]} {T, [ B,< x φ>, φ(x\x) ]} 4

5 (X U étant nouvelle par rapport à B ). -extension : {T, [ B,< x φ>]} {T, [ B,< x φ>, φ(x\f(x 1,..., X n )) ]} (X 1,..., X n étant toutes les U-variables dans φ). Nouvelle règle de fermeture d'une branche : Une branche B =[φ 1,..., φ n ] est fermée par un unificateur σ :(Var U) T Σ [Var U], si φ j σ = φ i σ pour deux littéraux φ j et φ i et 1 i, j n, dans B. Un tableau est fermé si toutes ses branches sont fermées par un même unificateur. La méthode des tableaux du 1 er ordre : Soit un ensemble Γ de propositions et une proposition φ du premier ordre Pour prouver Γ t φ : (1) Créer le tableau initial : T 0 = {[Γ, φ]} toute variable libre étant remplacée par une variable X i U. (2) Etablir une preuve T 0 t... t T n, dont chaque pas T n 1 t T n est - soit une extension d'une branche B T n 1 par une -formule, ou -formule, ou - formule, - soit une ramification d'une branche B T n 1 par une -formule. (3) Γ t φ, si le dernier tableau T n de cette preuve est fermé. Exemple 6. w x R(x, w, g(x, w)) t w x y R(x, w, y) 1. w x R(x, w, g(x, w)) [ Γ ] 2. w x y R(x, w, y) [ φ ] 3. x R(x, c 0,g(x, c 0 )) [ :1/c 0 ] 4. x y R(x, X 1,y) [ :2/X 1 ] 5. R(X 2,c 0,g(X 2,c 0 )) [ :3/X 2 ] 6. y R(f 1 (X 1 ),X 1,y) [ :4/f 1 (X 1 )] - - X 1 appartenant à la formule 4 7. R(f 1 (X 1 ),X 1,X 3 ) [ :6/X 3 ] Cette branche est fermée par l'unificateur de 5 et 7, ce qui ferme le tableau. σ(x 1 )=c 0, σ(x 2 )=f 1 (c 0 ), σ(x 3 )=g(f 1 (c 0 ),c 0 ) Exemple 7. x y p(x, y) t x y p(y, x) 1. x y p(x, y) [ Γ ] 2. x y p(y, x) [ φ ] 3. y p(c 0,y) [ :1/c 0 ] 4. p(c 0,X 1 ) [ :3/X 1 ] 5. y p(y, c 1 ) [ :2/c 1 ] - - aucune U-variable dans 2 6. p(x 2,c 1 ) [ :5/X 2 ] 5

6 La branche et le tableau sont fermés par l'unificateur σ 1 (X 1 )=c 1, σ 1 (X 2 )=c 0. Théorème 5. Soit T 1 t T 2 par l'application d'une règle r à une branche de T 1. Alors, (i) s'il existe un modèle M 1 = T 1, il en existe aussi pour T 2 : M 2 = T 2, (ii) T 1 ec T 2. Corollary 1. (Correction). Si Γ t φ, alors Γ = φ Extension de la méthode de résolution La résolution du 1 er ordre s'applique aux ensembles de clauses du 1 er ordre. Un tel ensemble Γ 1 étant donné, la règle étendue de résolution qu'on peut lui appliquer est la suivante. Règle de résolution du 1 er ordre : Γ 1 r Γ 2 si Γ 1 =Γ {Cl 1 A 1... A n } {Cl 2 B 1... B m } Γ 2 =Γ 1 ({Cl 1 Cl 2 })θ, A 1,..., A n,b 1,..., B m étant des atomes (n, m > 0), et θ l'unificateur le plus général de {A 1,..., A n,b 1,..., B m }, c.-à-d., A 1 θ =... = A n θ = B 1 θ =... = B m θ. La méthode de résolution du 1 er ordre : Pour prouver Γ r φ : (1) Transformer Γ { φ} en forme normale clausale Γ 0 équi-cohérente : Γ { φ} ec Γ 0. (2) Etablir une preuve Γ 0 r Γ 1 r... r Γ k,où Γ k. Exemple 8. Prouver x (p(x) y q(y)) r xp(x) y q(y). (1) Skolémisation : (1') Skolémisation : x (p(x) y q(y)) x (p(x) y q(y)) x y ( p(x) q(y)) ec x p(x) yq(y) ec x ( p(x) q(f(x))) x p(x) q(c) { p(x) q(f(x))}. { p(x) q(c)}. ( x p(x) y q(y)) ( x p(x) y q(y)) { x p(x), y q(y)} ec { x p(x), y q(y)} ec {p(a), y q(y)} {p(a), y q(y)} {p(a), q(y)}. {p(a), q(y)}. (2) Preuve : 1. p(x) q(f(x)) 2. p(a) 3. q(y) 4. q(f(a)) [1, 2] σ 1 = {x a} 5. [3, 4] σ 2 = {y f(a)} (2') Preuve : 1. p(x) q(c) 2. p(a) 3. q(y) 4. q(c) [1, 2] σ 1 = {x a} 5. [3, 4] σ 2 = {y c} Exemple 9. x (p(x) (s(x) q(g(x)))), y s(g(y)), x p(x) r yq(y). (1) Skolémisation : 6

7 x (p(x) (s(x) q(g(x)))) x ( p(x) s(x) q(g(x))) p(x) s(x) q(g(x)). y s(g(y)) ec s(g(c 0 )). x p(x) p(x). y q(y) q(y). (2) Preuve : 1. p(x) s(x) q(g(x)) 2. s(g(c 0 )) 3. p(x) 4. q(y) 5. s(x) q(g(x)) [1, 3] 6. q(g(g(c 0 ))) [2, 5] σ 1 = {x g(c 0 )} 7. [4, 6] σ 2 = {y g(g(c 0 ))} Théorème 6. Soient deux ensembles de clauses Γ 1, Γ 2. Si Γ 1 r Γ 2, alors Γ 1 =Γ 2. Corollaire 6. (correction) Si Γ r φ, alors Γ = φ Extension du calcul naturel Notation : Pour un ensemble Γ de formules de L 1, {Γ} x veut dire que x n'a pas d'occurence libre dans les formules de Γ. Règles supplémentaires de quantification : ( + ) {Γ} x φ Γ xφ ( ) Γ xφ (x estlibrepourtdansφ) Γ φ(x\t) ( + ) Γ φ(x\t) (x estlibrepourtdansφ) Γ xφ ( ) Γ xφ { } x [φ] {θ} x Γ θ Exemple 10. Soit d Σ f une constante. Alors N p(d) xp(x) : 7

8 [p(d)] 1 ax p(d) + x libre pour d dans p(x) x p(x) 1 + p(d) xp(x) Exemple 11. x (φ {ψ} x ) N x (φ ψ) xφ ψ [φ] 1 [ x φ] 2 x (φ ψ) φ x φ x libre pour x φ ψ ψ {ψ} x, { x (φ ψ)} x 1 2 ψ + x φ ψ Exemple 12. N x ( φ xφ) 8

9 [ x φ] 1 x φ x libre pour x φ 1 + x φ φ φ xφ + x ( φ xφ) contrapos : sans hypothèses A B B A Théorème 7. (correction) Si Γ N φ, alors Γ = φ. 9