Compléments sur les couples aléatoires

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1 Licence Math et MASS, MATH54 : probabilités et statistiques Compléments sur les couples aléatoires 1 Couple image ans ce paragraphe, on va s intéresser à la loi d un vecteur aléatoire S, T qui s obtient comme image d un vecteur X, Y par une application u On connaît la loi du couple X, Y et on cherche la loi de S, T = ux, Y = u 1 X, Y, u X, Y On ne considèrera que des couples S, T et X, Y possédant une densité La méthode est alors la même que dans le cas unidimensionnel : on cherche la densité du couple S, T en faisant un changement de variables mais dans R Nous commençons par la formule de changement de variables dans ce contexte 11 Changement de variables Voici le cadre de l étude est un «ouvert» de R et h est une application de dans R On voudrait calculer l intégrale hx, y dxdy en introduisant un nouveau jeu de coordonnées s, t c est à dire en effectuant le changement de variables «s, t = ux, y» où u est une application de dans R Comme dans le cas réel, la fonction u doit être régulière C 1 -difféomorphisme La formule du changement de variables nécessite de la régularité sur la fonction qui permet de passer d un jeu de coordonnées à l autre : celle-ci doit être un C 1 - difféomorphisme éfinition Soient et deux ouverts de R u : R est un C 1 -difféormphisme de sur si u est une bijection de sur telle que u et u 1 soient de classe C 1 Si u : R est différentiable, sa différentielle u est représentée par la matrice suivante appelée matrice jacobienne x, y, ux, y = Le jacobien de u est le déterminant de cette matrice, soit x u 1 x, y y u 1 x, y x u x, y y u x, y x, y, Jux, y = det ux, y = x u 1 x, y y u x, y x u x, y y u 1 x, y On peut retenir le critère suivant : Proposition 1 Soient un ouvert de R et u : R une application injective de classe C 1 Si, pour tout x, y, Jux, y alors u est un ouvert de R et l application u est un C 1 difféomorphisme de sur u Si u est un C 1 difféomorphisme de sur alors u 1 est un C 1 difféomorphisme de sur On a dans ce cas, comme dans le cas réel, u 1 = u u 1 1 et en particulier, s, t, Ju 1 s, t = 1 Ju u 1 s, t 1 Université de Savoie, 1/11

2 Un cas particulier important est celui des fonctions u linéaires : x, y R u1 x, y a b, ux, y = = u x, y c d x y ; si M est la matrice qui apparaît ci-dessus, alors Jux, y = detm et donc l application u est un C 1 difféomorphisme de R dans R si et seulement si detm Formule du changement de variables Commençons par un énoncé précis Théorème Soient un ouvert de R, v un C 1 difféomorphisme sur Considérons une fonction h : v R borélienne Si h est positive ou intégrable sur v alors hx, y dxdy = v hvs, t Jvs, t dsdt 1 La signification de ce résultat est la suivante : si h est positive, les deux termes de l égalité précédente sont soit tout deux infinis soit tout deux finis et égaux ; sinon h est intégrable sur v si et seulement si h v Jv est intégrable sur et dans ce cas on a l égalité 1 La formule 1 correspond à un changement de variables du type x, y = vs, t où x, y sont les variables d intégration de départ dont on veut se débarasser En pratique, cette situation n est pas très fréquente ; il faut tout de même se souvenir du passage en coordonnées polaires On souhaite calculer hx, y dxdy en posant x = r cos θ, y = r sin θ Ceci correspond à la fonction vr, θ = r cos θ, r sin θ qui est un C 1 difféomorphisme de ], + [ ] π, π[ sur R \R le plan privé de la demi-droite y =, x Notez que v 1 x, y = r, θ avec r = x + y, et, θ = arctan y x + x + y Exemple Montrons que I = R exp x / dx = π Pour cela, calculons I : I = exp x / dx exp y / dy = exp x + y / dxdy, R R R puis comme la demi-droite y =, x est négligeable, I = exp x + y / dxdy = exp x + y / dxdy R R \R Effectuons le changement de variables x, y = r cos θ, r sin θ = vr, θ On a r, θ ], + [ ] π, π[, Jvr, θ = r xr, θ θ xr, θ r yr, θ θ yr, θ = cos θ r sin θ sin θ r cos θ = r La formule du changement de variables donne alors I = ],+ [ ] π,π[ exp r / r drdθ = θ <π + dθ r exp r / dr = π I est l intégrale d une fonction positive, donc I est positive ; il vient I = π

3 Changement de variables s, t = ux, y En pratique, on veut calculer hx, y dxdy et on effectue le changement de variables s, t = ux, y où u est un C 1 difféomorphisme de sur := u On se ramène au cadre d application de la formule 1 en considérant v = u 1 puisque x, y = u 1 s, t On a alors hx, y dxdy = hx, y dxdy = u 1 Ju s, t 1 s, t dsdt, u 1 h et comme = u et Ju 1 = Ju u 1 1, on a finalement h x, y dxdy = u h u 1 s, t Ju u 1 dsdt s, t Pour appliquer cette formule, on doit calculer, s, t u, En pratique, on détermine le rapport x, y, h u 1 s, t Ju u 1 s, t hx, y Jux, y que l on exprime en fonction des coordonnées s, t On a ainsi hx, y/ Jux, y = gs, t et hx, y dxdy = gs, t dsdt u Cela permet dans certains cas d éviter d inverser la fonction u 1 Application aux couples aléatoires Le point de départ est un vecteur aléatoire Z = X, Y dont on connaît la loi P Z au travers de sa densité p Z x, y = 1 x, y px, y où est un ouvert de R On cherche la loi du vecteur aléatoire U = S, T défini par S, T = ux, Y où u est un C 1 difféomorphisme sur On essaie de déterminer la densité p U de S, T Soit f : R R une fonction borélienne et bornée ; calculons E[fS, T ] de deux façons différentes Tout d abord, E[fS, T ] = fs, tp U s, t dsdt ; R mais aussi, comme la densité de X, Y est 1 x, y px, y, E[fS, T ] = E[fuX, Y ] = fux, ypx, y dxdy Comme u est un C 1 difféomorphisme, on fait le changement de variables s, t = ux, y qui conduit à cf avec hx, y = fux, ypx, y E [fs, T ] = fs, t p u 1 s, t u Ju u 1 s, t dsdt = fs, t 1 u s, t p u 1 s, t R Ju u 1 s, t dsdt On obtient donc s, t R, p U s, t = 1 u s, t p u 1 s, t En pratique, on peut suivre le plan suivant : 3 Ju u 1 s, t

4 on montre que u est C 1 et injective sur ; on montre que, pour x, y, Jux, y en calculant le jacobien ; on détermine le domaine u : très souvent on doit inverser u ie exprimer x, y en fonction de s, t ; on utilise la méthode ci-dessus : il reste à exprimer px, y/ Jux, y en fonction de s, t Exemple Soient X et Y deux va indépendantes, X de loi Expλ et Y de loi Expµ, λ, µ > éterminons la loi du couple X/Y, Y Pour se ramener à la situation que l on vient de décrire on introduit les variables S = X/Y et T = Y On cherche la loi de S, T Soit f une fonction borélienne et bornée ; calculons E[fS, T ] On a E[fS, T ] = E [f X/Y, Y ] = fx/y, y λe λx µe µy dxdy ],+ [ Considérons la fonction u :], + [ R définie par ux, y = x/y, y u est de classe C sur l ouvert =], + [ et on a x, y ], + [ 1/y x/y, Jux, y = 1 = 1 y u est injective : si x/y, y = x /y, y alors x = x et y = y éterminons u ], + [ Trivialement, u ], + [ ], + [ ; remarquons que s, t = ux, y signifie que x = st et y = t c est u 1 Il vient alors u ], + [ =], + [ La formule du changement de variables donne E[fS, T ] = λµ fs, t te λst e µt dsdt ],+ [ Le couple U = S, T a donc pour densité p U s, t = λµ t exp tλs + µ 1 s> 1 t> Remarquons que dans cet exemple comme dans bien d autres, on peut éviter de faire un changement de variables en dimension deux En effet, on a, d après le théorème de Fubini, + + E[fS, T ] = λµ f x ],+ [ y, y e λx e µy dxdy = λµ e µy f x y, y e λx dx dy Pour y > fixé, on fait le changement de variables réelles s = x/y, pour obtenir et par suite + fx/y, y e λx dx = ce qui est le résultat que l on avait trouvé + fs, y ye λsy ds, E [fs, T ] = λµ fs, y ye λsy e µy dsdy, ],+ [ Rudiments sur les vecteurs gaussiens ans ce paragraphe, nous examinons très brièvement un cas particulier de couples aléatoires, celui des vecteurs gaussiens Les vecteurs gaussiens sont souvent utilisés car, d un point de vue pratique, ils conduisent à des calculs relativement simples Pour pouvoir utiliser certaines notations matricielles, convenons de représenter les couples aléatoires comme des vecteurs colonnes ie X = X 1, X t où t désigne la transposition e plus, si x et y sont deux vecteurs de R on note xy leur produit scalaire xy = x t y = x 1 y 1 + x y 4

5 éfinition Un couple aléatoire X = X 1, X t suit la loi normale centrée réduite de dimension, N, I, si X 1 et X sont deux var normales centrées réduites indépendantes Si X est un tel couple alors X possède une densité qui est : x = x 1, x R, px = px 1, x = 1 π exp x 1 + x = 1 π exp xt x Comme dans le cas de variables aléatoires réelles, la loi d un couple X est déterminée par sa fonction caractéristique qui est la fonction de R dans C définie par [ λ R, ϕ ] ] X λ = E e iλt X = E [e iλ 1X 1 e iλ X Si X suit la loi N, I, l indépendance de X 1 et X conduit immédiatement à : λ R, ϕ X λ = ϕ X1 λ 1 ϕ X λ = e λ 1 / e λ / = exp λ t λ/ éfinition Un vecteur aléatoire Y est gaussien si Y = AX + µ où µ est un vecteur de R, A est une matrice réelle de taille et X un vecteur normal centré réduit Calculons la fonction caractéristique de Y On a, pour λ R, [ ] [ ] [ ] t ϕ Y λ = E exp iλ t AX + µ = e iλtµ E exp iλ t AX = e iλtµ E exp i A t λ X, et par suite, ϕ Y λ = e iλtµ ϕ X A t λ = exp iλ t µ λt AA t λ On note Γ la matrice AA t Γ est une matrice symétrique, semi-définie positive On montre facilement que Γ est la matrice de variance-covariance de Y c est à dire Γ = V[Y 1 ] Cov[Y 1, Y ] Cov[Y 1, Y ] V[Y ] où Cov[Y 1, Y ] = E [Y 1 E[Y 1 ] Y E[Y ]] autre part le vecteur µ est simplement le vecteur des moyennes de Y ie µ = E[Y 1 ], E[Y ] t Comme dans le cas réel, on voit que la loi d un couple gaussien est déterminée par la moyenne µ et la matrice de variance-covariance Γ On dit que Y suit la loi N µ, Γ Remarques Si Y est un vecteur gaussien, alors les marginales sont des gaussiennes En effet, si t R, on a, posant λ = t, t, ce qui montre que Y 1 suit la loi N µ 1, Γ 1,1 ϕ Y λ = ϕ Y1 t = exp itµ 1 Γ 1,1 t /, On aimerait à présent savoir si le vecteur Y possède une densité En fait cela n est vrai que si la matrice Γ est inversible, ce qui revient à dire que la matrice A est inversible puisque det Γ = det A Supposons donc que det Γ > Soit f une fonction borélienne et bornée de R dans R On a E[fY ] = E[fAX + µ] = 1 fax + µ exp xt x dx 1 dx π R 5,

6 Effectuons le changement de variables y = Ax + µ = ux soit x = A 1 y µ = vy, pour obtenir comme Jvy = det A 1, E [fy ] = 1 fy exp π R A 1 y µ t A 1 y µ det A 1 dy1 dy On a A 1 t = A t 1 et A t 1 A 1 = AA t 1 = Γ 1 ; on en déduit tout d abord que A 1 y µ t A 1 y µ y µ t Γ 1 y µ, puis notant que det A 1 = det Γ 1/, 1 E[fY ] = π fy exp y µt Γ 1 y µ dy 1 dy det Γ R Y admet donc pour densité la fonction p Y définie par y R 1, p Y y = π det Γ exp y µt Γ 1 y µ 6

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