FICHE METHODE sur la DERIVATION I) A quoi sert la «fonction dérivée» d une fonction?

Transcription

1 FICHE METHODE sur la DERIVATION I) A quoi sert la «fonction dérivée» d une fonction? a) Eemples :. Un solide se déplace sur un ae gradué ( en m ) et son abscisse en fonction du temps t ( en s ) est (t) = 5t² + 2t! Comment varie la vitesse V de ce solide en fonction du temps? (t) = V(t) = t + 2 (en m.s ) 2. Son compte en banque C en fonction du nombre de jours par rapport à aujourd hui est donné par C() = 2 + 3! De combien varie le compte chaque jour? C () = 3 ( 3 euros par jours ) 3. La recette R d un restaurateur en fonction du nombre de mois par rapport à ce mois est R() = ² +3 +! De combien varie la recette chaque mois? R () = ( elle varie d environ ) b) Remarques : Les fonctions permettent de décrire l évolution de certains phénomènes naturels. ( position d un solide en chute libre en fonction du temps, position d une planète en fonction du temps, ). Il est intéressant et souvent important de savoir si l évolution ( la variation ) est rapide, lente, nulle, positive ( croissance) ou négative ( décroissance ). Des scientifiques tels que Newton ( ),Leibniz ( ), on trouvé que la dérivée f d une fonction f donne toutes ces informations sur f. Il reste à savoir comment on détermine à partir de la fonction f, la fonction dérivée de f notée f ( si elle eiste! ). Il faut donc connaître certains résultats (qui suivent) concernant la dérivation. II) Qu est ce qu une fonction dérivée Définition : ( Tangente à une courbe en un point ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit C f la courbe représentative de f. Soit le nombre I. La droite d tangente à la courbe C f au point d abscisse est, si elle eiste, la seule et unique droite qui passe par le point A ( ;f( )) de la courbe C f et qui «se confond» avec la courbe C f sur un voisinage de ce point. f( ) A ( ;f( )) d C f Remarque : Certaines courbes n ont pas de tangente en certains points A Cette courbe en «dent de scie» n a pas de tangente au point A

2 Définition 2 : ( Nombre dérivé ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit C f la courbe représentative de f Soit le nombre I. Soit la tangente à la courbe C f au point d abscisse. Le nombre dérivé de f au point d abscisse est le coefficient directeur de la droite d tangente à la courbe C f au point d abscisse. Ce nombre est noté f ( ) ( «f prime de» ) Eemple : Pour la fonction f dont la courbe est représentée ci contre : Le nombre dérivé de f au point d abscisse = 7 est f (7) = coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse = 7. En prenant les points A(2,3) et B ( 2,) on obtient : f (7) = y B y A = 3 B A 2 2 = 7 =,7. 3 A d 2 2 B 3 d Propriété : ( Equation de la tangente ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Soit C f la courbe représentative de f L équation de la droite tangente à la courbe de f au point A ( ;f( )) d abscisse est de la forme : y = a + b avec a = f ( ) et y A = a A + b donc b = y A a A = f( ) f ( ). ( On peut aussi retenir : y = f ( ) ( ) + f( ) ) 2 = 7 2 Preuve : Une équation de droite ( non verticale ) est de la forme y = a +b. Par définition on a coefficient directeur de la tangente en = f ( ) De plus la tangente passe par A ( ;f( )) donc y A = a A + b puis b = f( ) f ( ). Eemple : ( Pour la fonction de l eemple ci dessus ) L équation de la tangente d 7 à la courbe de f au point d abscisse 7 est y = a + b avec : a = f (7) =,7. d 7 passe par A ( 7 ; f(7) = 6,5 ) donc f(7) = 6,5 y A = a A + b donc 6,5 =,7 7 + b donc b = 6,5 4,9 =,6. D ou l équation de la tangente cherchée : y =,7 +,6. 3 A d 2 2 B 3 d Définition 3 : ( fonction dérivée ) 2 = 7 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si pour toute valeur de I, le nombre dérivé f () eiste alors on dit que la fonction f est dérivable sur I. La fonction notée f qui à tout I associe le nombre f () est appelée la fonction dérivée de f. On note : f : I IR f ()

3 Application : Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci dessous. On a construit une partie des tangentes au points d abscisses 3 ; 9 ; 5 ; ; 5 et. y La fonction dérivée f de la fonction f est telle que l on ait le tableau de valeurs ci dessous Valeur de Valeur de f () ( f () est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse ) Propriété 2 : ( Théorème du signe de la dérivée ) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR. On distingue 3 cas : Si f () pour tout I Alors f est croissante sur I. Si f () pour tout I Alors f est décroissante sur I. Si f () = pour tout I Alors f est constante sur I. Preuve : (Admis) Application : Soit la fonction f dont la courbe est représentée ci contre, on lit : f () = pour { ; 2}. f () pour [ ; ] [2 ; 35]. f () pour [ ; 2]. Valeur de 2 35 Signe de f () + + Variations de f() 2 35 Remarque : Il ne faut pas confondre le signe de f() (courbe au dessus ou en dessous de l ae (O)) avec le signe de f () ( fonction f croissante ou décroissante ). Sur l eemple ci dessus f() est positif pour [ ; 35] alors que le signe de f () varie en fonction de.

4 Propriété 3 : ( Tableau des dérivées usuelles ) f() ( se dérive en ) f () a IR a ( a IR ) a ² n ( n * ) n n ² 2 ² n n ( n * ) n U() + V() ( U et V deu fonctions dérivables ) a U() ( U une fonctions dérivable et ( a IR )) U() V() ( U et V deu fonctions dérivables ) U() ( U une fonction dérivable ) U() V() ( U et V deu fonctions dérivables ) 2 U () + V () a U () U () V() + U() V () U () [ U()]² U () V() U() V () [ V()]² Preuve : (Admis) Applications : Si f() = ² Alors f () = = Si f() = + 2 ² + = Alors f () = + 2 ² ² Si f() = Alors f = uv donc f = u v + uv avec u = u = donc f () = + 4 Si f() = alors f = u v 2 = + 2. donc f = u v uv v² v = v = 2 = ² avec u = 2 +3 u = 2 v = 5 2 v = 2 2. donc f () = 2(5 2) (2 +3)( 2) ( 5 2)² = ( 5 2)² = 6 ( 5 2)².

5 Soit f () = ² 6 + pour [, 6 ], étudions les variations de cette fonction. ) On a f () = 2-6 2) On étudie le signe de 2 6 en fonction de ( 2 6 est un binôme dont on sait étudier le signe : = 3. ) Valeur de 3 6 Signe de ) On déduit de ce qui précède le tableau de variations de la fonction f Valeur de 3 6 Signe de Variations de f() 2. f ( ) = ² =. La fonction f admet donc un MINIMUM qui vaut 2 et qui est atteint pour = 3. EXERCICES DERIVATION : Eercice : ( Relire et mémoriser les définitions et 2 du cours ). ) Soit la fonction f dont la courbe est donnée ci dessous ainsi quelques tangentes. a) Déterminer les nombres dérivés f ( 2), f (8), f ( 5), f (), f (5), f ().

6 y ) Soit f la fonction dont la courbe est donnée ci dessous. On sait de plus que f (,5) = ; f ( 3) = 5 ; f (3) = 7 y Construire les droite tangentes à la courbe au points d abscisses,5 ; 3 et 3. Eercice 2 : ( Relire et mémoriser la propriété du cours ). Soit f la fonction dont on sait que : f() f () ) Construire dans un repère, les 4 tangentes à la courbe de 4 ainsi qu une courbe possible pour f. 2) Donner les équations des tangentes au points d abscisses 4 ; 2 et. Eercice 3 : ( Relire et mémoriser la définition 3 du cours ).

7 Pour la fonction f de l eercice, compléter le tableau de valeurs suivant f () f () Eercice 4 : ( Relire et mémoriser la propriété 2 du cours ). Soit f la fonction dont la courbe est donnée ci dessous. y ) Mettre le long de la courbe de f et au dessus, des signes + ou indiquant le signe de f(). ( en rouge par eemple ) 2) Mettre le long de la courbe de f et en dessous, des signes + ou indiquant le signe de f (). ( utiliser une autre couleur et indiquer la légende sur le graphique ) 3) Construire un tableau indiquant le signe de f () et les variations de f() pour [ 4,5 ; 5]. 4) Résoudre les équations ou inéquations suivantes : a) f () = b) f () = c) f () d) f (). Eercice 5 : ( Relire et mémoriser la propriété 3 du cours ). ) Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes. a) f() = 3 + ² + + b) f() = 4 c) f() = 5 d) f() = + ² + 3 e) f() = ² f) f() = 5² + 8 g) f() = 3 5² ) Etudier les variations de la fonction f définie par f() = ² +3 8 sur [ ; 3].

8