CHAPITRE IV EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 CHAPITRE IV EQUATIONS DIFFERENTIELLES Objctifs Un équation différntill st un équation dans laqull l inconnu st un fonction f. D plus, ctt équation fait intrvnir la fonction f ainsi qu ss dérivés, d où l trm différntil. Ls équations différntills apparaissnt naturllmnt dans d nombru domains : physiqu, élctricité, biologi, évolution ds populations, modélisation informatiqu. En élctricité par mpl, l équilibr stationnair d un circuit élctriqu (Résistanc-Bobin) st traduit par l équation : E = Ri + Li où i st un fonction du tmps t iɺ désign la dérivé d la fonction i. En physiqu ncor, si N(t) désign l nombr d noyau désintégrés à l instant t, l périnc montr qu N '( t) = λn( t) où λ st un constant. La résolution d cs équations st donc fondamntal dans d nombru domains : déjà rncontrés lors d la construction d la fonction ponntill, nous étudirons n priorité ls équations différntills du typ y = ay + b, où la fonction y st l inconnu, t a t b sont du réls. Animations liés sur l sit : Equation différntill : ctt applt java prmt d détrminr la courb rprésntant la solution d un équation différntill qu vous choisissz. Vous pouvz aussi tracr un fonction d votr choi, pour comparr votr solution à l équation avc la vrai solution. Méthod d'eulr : notr prmièr équation différntill pour construir la fonction ponntill. Ctt animation mt n plac l princip d la méthod d Eulr D. PINEL, Sit Mathmitc :

2 I - Vocabulair. Généralités. Dans un équation différntill l inconnu st un fonction, noté y n général. Not Tous ls rcics ou démonstrations ds propriétés d c chapitr s trouvnt à la fin d c documnt. L équation st dit différntill car ll fait intrvnir ls dérivés succssivs d la fonction y. Rapplons n fft qu la dérivé st associé à un tau, qui st lui-mêm un différnc (quotint ds variations d y sur variation d ) : d où l trm différntil. Résoudr l équation différntill y = ay + b c st trouvr touts ls fonctions f dérivabls sur IR tlls qu pour tout, f () = af() + b où a t b sont du constants (indépndant d ). Précisons aussi qu l équation y = ay + b st dit du prmir ordr car ll fait intrvnir sulmnt la dérivé prmièr. Evidmmnt, il y ds équations différntills du 2 èm ordr, du 3 èm II Résolution d y = ay, a constant réll Théorèm II-1. (1) Ls fonctions solutions d l équation y = ay sont ls fonctions définis sur IR par f() = k a, k IR. (2) Il ist un uniqu fonction dérivabl f tll qu y = ay t y( 0 )= y 0 : k st alors fié par ctt condition initial. Indication pour l (1) : f ( ) Dérivr la fonction a où f t un solution d (E) t conclur. Ercic II-2 (1) Résoudr l équation différntill (E) : y = 3y. (2) Détrminr la solution d (E) dont la courb rprésntativ pass par l point d coordonnés (2,3). Ercic II-3 (1) Résoudr l équation différntill (E) y = 2y. (2) En déduir la solution d (E) dont la courb rprésntativ admt, au point d absciss 0, un tangnt parallèl à la droit d équation y = III Résolution d y = ay + b, a (non nul) t b constants rélls Théorèm III-1. Soit a un rél non nul. (1) Ls fonctions solutions d l équation y = ay + b sont ls fonctions définis sur IR par f() = k a b/a k IR. (2) Il ist un uniqu fonction dérivabl f tll qu y = ay + b t y( 0 )= y 0 : k st alors fié par ctt condition initial. Indication pour l (1) : Chrchr un solution particulièr d qui soit un fonction constant. A l aid d ctt fonction, s ramnr au théorèm II-1. Ercic III-2 Résoudr l équation 2y + y = D. PINEL, Sit Mathmitc :

3 Ercic III-2 Détrminr la solution d 2y + y = 1 tll qu y( 1) = 2. IV Ercics Classiqus Ercic IV-1 Soit (E) l équation différntill y ' 2y = t (Eo) : y ' 2y = Vérifir qu la fonction défini par u 0 ( ) = st solution d (E). 2. Résoudr l équation différntill (Eo). 3. Montrr qu u st solution d (E) u u0 st solution d (Eo). 4. En déduir ls solutions d (E). 5. Détrminr la solution f d (E) qui s annul n 1. Ercic IV-2 (Bac Blanc 2005) On désign par θ(t) la tmpératur (primé n dgré Clsius) d un corps à l instant t (primé n hur). A l instant t = 0, c corps dont la tmpératur st d 100 C st placé dans un sall à 20 C. D après la loi d rfroidissmnt d Nwton, la vitss d rfroidissmnt θ (t) st proportionnll à la différnc ntr la tmpératur du corps t cll d la sall. On suppos qu l cofficint d rfroidissmnt st -2, Justifir qu θ (t) = 2,08 θ(t) + 41,6. 2. En déduir l prssion d θ(t). 3. Détrminr l sns d variation d la fonction θ sur [0 ; + [. 4. Calculr la limit d θ n +. Intrprétr c résultat. 5. Détrminr la tmpératur du corps, arrondi au dgré, au bout d 20 minuts puis au bout d 30 minuts. 6. Détrminr la valur act du tmps au bout duqul l corps tombra à 30 C. En donnr un valur approché D. PINEL, Sit Mathmitc :

4 Corrigé ds démonstrations ou rcics. Démonstration II-1. (1) Supposons qu f soit solution d l équation différntill f = af. a f ( ) Nous voulons prouvr qu f ( ) = k cad qu = k (un ponntill n s annul pas). a f ( ) a Considérons alors la fonction g( ) = = f ( ). a Nous allons montrr qu g st constant sur IR, égal à 1. g st dérivabl comm produit d fonctions dérivabls. On a, pour tout rél, a a g '( ) = ' f ( ) + f '( ) cad '( ) a a g = a f ( ) + a f ( ) puisqu f = a f. ( ) Ainsi g '( ) = 0, IR. f ( ) a g st donc constant sur IR, donc il ist un rél k tl qu g( ) = = k f ( ) = k, pour a tout. (2) Nous savons donc qu f() = k a où C st un rél : comm y( 0 )= y 0 on a y 0 = C ao t comm un ponntill n s annul pas, C st défini d manièr uniqu. Corrigé Ercic II-2. (1) L équation y = 3y a un infinité d solutions, ls fonctions f() = k 3 où k st rél. (2) On impos donc la condition y(2) = 3 : l uniqu solution d (E) st alors f() = Corrigé Ercic II-3. (1) Ls solutions d (E) sont ls fonctions définis su IR par f() = k 2, où k st un rél. (2) f st d la form : f() = k 2. Comm la tangnt au point au point d absciss 0 à C st parallèl à D : y = -4+1, cs du droits ont l mêm cofficint dirctur, -4. Mais l cofficint dirctur d ctt tangnt st f (0) : donc 2k = -4 t k = 2. La sul solution st donc: f() = 2-2 Démonstration III-1. (2) La démonstration du scond point st idntiqu à cll d II-1. (1) Démontrons la propriété voulu : Méthod 1 : On rmarqu tout d abord qu la fonction constant y0 = b/a st solution particulièr d (E). y ' = ay + b Ainsi y = ay + b y ' y0 ' = ay + b ( ay0 + b) ( y y0 ) =a( y y0 ) c qui équivaut à y0 ' = ay0 + b dir qu la fonction y y0 st solution d l équation vu n II-1. On sait alors qu il ist un rél k tl qu y y0 = k y( ) = k. a Méthod 2 : Posons u = ay + b d sort qu u = ay. Ainsi y solution d (E) y = ay + b u = au il ist k tll qu u() = k a d après l théorèm II-1. Par conséqunt, y solution d (E) ay = k a b y = k/a a b/a y = K a b/a où K st un rél. a a b Corrigé Ercic III-2. D après l théorèm III-1, ls solutions d y = ½y + ½ sont ls fonctions du typ f() = k /2 + 1 où k st un rél qulconqu D. PINEL, Sit Mathmitc :

5 Corrigé Ercic III-2. - D après l rcic précédnt, ls solutions d y = ½y + ½ sont ls fonctions du typ f() = k /2 + 1 où k st un rél qulconqu. - Comm f(-1) = 2, k 1/2 + 1 = 2 k = 1/ = 1/2 L uniqu solution st donc la fonction f défini par f() = 1/2 / Corrigé Ercic IV-1. Rmarquons déjà qu l théorèm III-1 n s appliqu pas puisqu (b dépnd d ). Suivons donc l agncmnt ds qustions u0 ' 2u0 = 2 = donc u 0 st solution d (E). 1. On a ( ) b = n st pas un constant 2. Ls solutions d l équation (Eo) sont ls fonctions du typ y( ) 2 = k où k st un rél. 3. u u0 st solution d (Eo) signifi par définition qu ( ) ( ) u u ' 2 u u = 0 u ' 2 u = u ' 2u Mais comm u 0 st solution d (E) (Q1), on a : u u0 st solution d (Eo) u ' 2u = c qui signifi par définition d (E), qu u u0 st solution d (Eo) u st solution d (E). 4. D après la qustion 3, u st solution d (E) u u0 st solution d (Eo). 2 Or ls solutions d (Eo) sont ls fonctions du typ y( ) = k où k st un rél (Q2). Ainsi, u st solution d (E) 5. f st d la form 2 f ( ) k u u = k u = k + u u = k où k st un constant réll. 0 0 ( ) = puisqu solution d (E). Comm f(1) = 0, on a 0 = k²- cad k = Ainsi, f ( ) = st la solution chrché Corrigé Ercic IV-2. On désign par θ(t) la tmpératur (primé n dgré Clsius) d un corps à l instant t (primé n hur). A l instant t = 0, c corps dont la tmpératur st d 100 C st placé dans un sall à 20 C. D après la loi d rfroidissmnt d Nwton, la vitss d rfroidissmnt θ (t) st proportionnll à la différnc ntr la tmpératur du corps t cll d la sall. On suppos qu l cofficint d rfroidissmnt st -2,08. REM : avant tout calcul, il st clair qu la tmpératur du corps va décroîtr (cad θ décroissant) t qu la tmpératur du corps va tndr vrs cll d la sall (cad lim θ ( t) = 20 ). C gnr d réflion avant calcul nous prmttra d évitr d évntulls rrurs 1. Justifir qu θ (t) = 2,08 θ(t) + 41,6. D après l énoncé, θ '( t) st proportionnl à θ ( t) 20. On dit qu l cofficint d proportionnalité st - θ '( t) = 2,08 θ ( t) 20 = 2,08 θ ( t) + 41,6. 2,08 donc ( ) 2. En déduir l prssion d θ(t). 2,08t 41,6 2,08t D après l cours, on n déduit qu θ ( t) = K + = K ,08 2,08t Mais nous avons la condition initial θ (0) = 100 K + 20 = 100 K = 80 t on a donc θ ( t) = Détrminr l sns d variation d la fonction θ sur [0 ; + [ D. PINEL, Sit Mathmitc :

6 Ctt fonction st dérivabl sur IR+ t nous avons '( ) 80 ( 2,08) 2,08 t θ t = < 0 toujours positiv. Donc θ st décroissant sur IR+. < 0 > 0 car un ponntill st 4. Calculr la limit d θ n +. Intrprétr c résultat. t Vu qu lim 0 donc vrs cll d la sall. 2,08t =, on a par composition θ t ( ) lim ( ) = lim = 20 : la tmpératur du corps tnd 5. Détrminr la tmpératur du corps, arrondi au dgré, au bout d 20 minuts puis au bout d 30 minuts. Attntion, l tmps st primé n hur! 2, min = 1/3 hur t θ ( ) = ,9 soit 60 C arrondi au dgré. 3 2, min = 1/2 hur t θ ( ) = ,3 soit 48 C arrondi au dgré Détrminr la valur act du tmps au bout duqul l corps tombra à 30 C. En donnr un valur approché. 1 ln 2,08 2, t t 8 On résout θ ( t) = = 30 = 2, 08t = ln t = 0, 99 soit nviron 1h , D. PINEL, Sit Mathmitc :