LOIS DE PROBABILITÉ CONTINUES

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1 LOS DE PROBABLTÉ CONTNUES l eise des vriles léoires non discrèes, qui prennen oues les vleurs d'un inervlle de R. (orné ou non). Eemples : Le emps d'ene à un rrê de us ; l durée de vie d'un rnsisor ; l disnce du poin d'impc u cenre d'une cile On s inéresse lors à des événemens du ype : " X prend ses vleurs dns l'inervlle ". ) GÉNÉRALTÉS Eemple d'inroducion : Un enrepô ccueille ous les mins des cmions de livrison sur un créneu de deu heures d'ouverure, de 7h3 à 9h3. On considère X l vrile léoire donnn l'heure d'rrivée d'un cmion qui se présene ous les mins à l'enrepô u heures d'ouverure. On dme que l proilié que ce cmion rrive dns un inervlle de emps donné [ ; ] es égle à l'ire du domine compris enre l'e des scisses, les deu segmens rcés ci-conre, e les droies d'équions =, e =, prllèles à l'e des ordonnées. Ainsi, l proilié d'rrivée du cmion enre 8h e 9h es égle à l'ire colorée en rouge : P X [8 ; 9 ] =,5, L proilié qu'il rrive enre 9h e 9h3 es : P X [9 ; 9,5 ] = Enfin. on vérifie (e c'es indispensle) que : P X [7,5 ; 9,5 ] = 7,5 9,5 9 9,5 8,5 d =,375 8,5 d = On di que l foncion 8,5 es l densié de l vrile léoire X. Rppel : 8,5 = { 8,5 si 8,5 8,5 8,5 Remrque : Les vleurs plus ou moins grndes prises pr l foncion sur les différens inervlles donnen plus ou moins de poids à l proilié de ce inervlle. Ce qui eplique le nom de «densié» donné à l foncion. Soi un inervlle de R. On di qu'une vrile léoire X es coninue (solumen coninue ou à densié) sur, s'il eise une foncion f : posiive e coninue (suf peu-êre en quelques poins) sur nulle en dehors de elle que f es ppelée densié de X. =, e elle que pour ou inervlle J inclus dns : P X J = J Si = [ ; ] : = Si = [ ; [ : Si lim eise, on : = lim Remrques : L proilié de l réunion d un nomre fini quelconque d inervlles de disjoins deu à deu es égle à l somme des proiliés de ces inervlles. (D'près les propriéés de l'inégrle) Ainsi si J, K e J K = lors P X J K = P X J P X K L proilié que X prenne une vleur isolée de es nulle. En effe, pour ou réel de : P X = = P X [ ; ] = = On en dédui que pour ous réels e de, vec : P X [ ; ] =P X [ ; [ = P X ] ; ] = P X ] ; [ e P X = P X, ec... ) LO UNFORME L loi uniforme sur [ ; ], es l loi de proilié yn pour densié l foncion f définie sur [ ; ] pr l foncion consne : f : Soi X une vrile léoire suivn l loi uniforme sur [ ; ]. Pour ou inervlle [c ; d ], el que c d, on : P X [c ; d ] = d c Cee formule es à rpprocher de l formule : Nomre de cs fvorles Nomre de cs possiles vue dns les siuions d'équiproilié en nomre fini. Remrque : L proilié P X [c ; d ] es proporionnelle à l'mpliude de l'inervlle [c ; d ]. - Lois de proilié coninues - ueur : Pierre Lu - cours prof - pge / 5 -

2 Eemple : P X [ ; ] = P X ]4 ; 5[ = 4 Si c [ ; 5 ], P X [ ; c ] = c 4 Soi X une vrile léoire suivn l loi uniforme sur [ ; ]. On défini l'espérnce de X pr E X = On E X = d De mnière plus générle, l'espérnce d'une vrile léoire à densié f sur [ ; ] es définie pr E X = f d Cee définiion consiue un prolongemen dns le cdre coninu de l'espérnce d'une vrile léoire discrèe. 3 ) LO EXPONENTELLE Soi un réel sricemen posiif. L loi eponenielle de prmère es l loi de proilié yn pour densié l foncion f définie sur [ ; [ pr : f : e Propriéés : Soi X une vrile léoire suivn l loi eponenielle de prmère ( R * + ). Pour ou inervlle [c ; d ], el que c d, on : P X [c ; d ] = P c X d = c Pour ou réel, P X = P X = e Pour ou réel, P X = P X = P X =e d e d =e c e d Eemples : Les démonsrions des propriéés ci-dessus son ideniques. Soi X une vrile léoire suivn l loi eponenielle de prmère : P X = P X = e d = [ e ] = e 4 e = e e 4,7 e d = e = e,35 Remrques : On lim e d = ( en effe lim e = ) L proilié de l'inervlle [c ; d ] s'inerprèe comme l'ire comprise enre l coure représenn l densié, l'e des scisses e les droies d'équion = c e =d. Soi X une vrile léoire suivn l loi eponenielle de prmère ( R + * ). Pour ous réels posiifs s e, on : P X s X s = P X On di que l loi eponenielle es une loi de durée de vie sns vieillissemen Preuve : eigile P X s X P X s s X s = P X s Or, X s = X ]s ; [, X s = X ]s ; [ e X ]s ; [ X ]s ; [ Donc, X ]s ; [ X ]s ; [ = X s D'ure pr, P X s =e s e P X s= e s Ainsi, P X s X s = e s =e = P X e s Significion : Si pr eemple X désigne l durée de vie, eprimée en nnées, d un composn élecronique, l proilié qu il foncionne encore nnées schn qu il déjà foncionné pendn s nnées es l même que l proilié qu il foncionne pendn u moins nnées près s mise en service. - Lois de proilié coninues - ueur : Pierre Lu - cours prof - pge / 5 -

3 Remrque : Cee loi modélise le phénomène de "mor sns vieillissemen", oservé pr eemple pour l désinégrion rdiocive. Soi X une vrile léoire suivn l loi eponenielle de prmère ( R * + ). On défini l'espérnce de X pr E X = lim On E X =. e d Preuve : eigile On cherche une primiive de f : e sur R + sous l forme d'une foncion F : m n e ( m R *, n R) F es dérivle sur R + pr produi de foncions dérivles sur R +. R +, F ' =m e m n e = m m n e En idenifin F ' à f, on oien : On en dédui que F : Ainsi, pour ou, on oien : e m= { m n = { m= n= e d = F F = e = e = Grâce u résuls de croissnces comprées, on conclu que E X = lim e d = e e Remrque : L'espérnce es ppelée l durée moyenne de vie de l vrile léoire X. 4 ) LO NORMALE CENTRÉE RÉDUTE A ) THÉORÈME DE MOVRE-LAPLACE L loi inomile es rès uilisée en modélision, mis cerines proiliés son impossiles à clculer pour l loi inomile. Grâce u héorème suivn, le clcul de ces proiliés es rendu possile à l'ide de l loi normle. C'es hisoriquemen l première moivion de l'uilision de l loi normle en prique. Théorème de Moivre-Lplce : dmis Soi X n une vrile léoire suivn l loi inomile B n ; p. On pose Z n = X n np np p. Pour ous réels e, vec : lim n P Z n [ ; ] = e d On considère que l limie es priquemen eine lorsqu'on simulnémen : n 3 np5 n p 5 B ) LO N(;) dmise Si f = e, lors : lim = e lim y = y L foncion f perme de définir une densié de proilié sur R. L loi normle cenrée réduie N ; es l loi de proilié yn pour densié l foncion f définie sur R pr f = e. Soi X une vrile léoire suivn l loi normle cenrée réduie N ;. On défini l'espérnce de X pr E X = lim On E X =. lim y y - Lois de proilié coninues - ueur : Pierre Lu - cours prof - pge 3 / 5 -

4 Preuve : eigile (on peu élir que ) = e d = [ e ] = e De l même fçon, on monre que : = e On lors : lim = e lim y y On en dédui que E ( X )=. y y = dmise Soi X une vrile léoire suivn l loi normle cenrée réduie N ;. L vrince de X es V X =E X E X = L moyenne des crrés des écrs à l moyenne. Remrque : L foncion f es pire e s coure e donc symérique pr rppor à l'e Oy. De plus, on ne connî ps de primiive eplicie de l foncion f. L plupr des clculs liés à l loi normle seron donc des esimions. Pr eemple, P,5 X,9 Théorème : Soi X une vrile léoire suivn l loi normle cenrée réduie N ;. Pour ou réel ] ; [, il eise un unique réel posiif u el que P u X u =. Preuve : eigile On considère l foncion g définie sur [ ; [ pr g = P X = Comme f es pire, on pour ou réel posiif : g = f d f d où f = e Comme f es coninue e posiive, on en dédui que g es dérivle, e que s dérivée f es sricemen posiive. g es donc sricemen croissne sur [ ; [. De plus g = e lim g = lim Soi ] ; [, on lors f d = = Grâce u héorème des vleurs inermédiires, on en dédui qu'il eise u moins un réel u [ ; [, el que g u =. Comme, de plus g es sricemen croissne, on en dédui que u es unique. Vleurs à connîre : u,5,96 u,,58 Sur le grphique ci-conre représenn l coure en cloche ssociée à l loi normle cenrée réduie, l'ire de l surfce en rouge es environ egle à,95. - Lois de proilié coninues - ueur : Pierre Lu - cours prof - pge 4 / 5 -

5 5 ) LO NORMALE N Soi un réel e un réel sricemen posiif. On di qu'une vrile léoire X sui l loi normle N, si l vrile léoire X normle cenrée réduie N ;. sui l loi Soi X une vrile léoire suivn l loi loi normle N. L'espérnce de X es E X = e l vrince de X es V X = ² P X [ ; ],683 P X [ ; ],954 P X [ 3 ; 3 ],997 Remrques : es l moyenne e l'écr ype de X ; es un prmère de posiion de X, e un prmère de dispersion. L densié de l loi normle N es représenée pr une coure en cloche don l'e de symérie vericl pour équion =. L vleur de es reliée à l'élemen de l coure : plus es pei, plus l cloche es resserrée uour de son e de symérie, e moins l dispersion es grnde. Représenion grphique : N vec = e = L coure ci-conre représene l loi normle N ; 4. Elle dme l droie d'équion = pour e de symérie. D'près l propriéé ci-dessus, P X [ ; 3 ],683 - Lois de proilié coninues - ueur : Pierre Lu - cours prof - pge 5 / 5 -