2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES

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1 ES DPOES PASSFS EEMENTAES. nroducon es composans ulsés en élecronque présenen des bornes élecrques ou pôles permean leur connexon dans un réseau. On dsngue : - les dpôles ( pôles) comme les réssances, les condensaeurs, les bobnes, les ples, les dodes, - les quadrpôles (4 pôles) comme par exemple les ransformaeurs, les flres.. aracérsque d un dpole So un dpole raersé par un couran élecrque e don la dfférence de poenel enre ses bornes es U. a caracérsque de ce dpole es la courbe =f(u). Suan l allure de cee courbe, on peu dsnguer dfférenes famlles de dpole. Dpole lnéare : la caracérsque =f(u) es une droe d équaon =au+b. Par exemple, les réssances e les généraeurs de enson e de couran déaux son des dpoles lnéares. S la caracérsque =f(u) n es pas une droe le dpole es non lnéare Dpole passf : un dpôle es passf s son nensé de cour-crcu es nulle e s la dfférence de poenel à ses bornes es nulle en crcu ouer. D auremen, pour un dpole passf, on a = s U=.es ros crcus passfs prncpaux son la réssance, la bobne d nducon e la capacé. Dans les aures cas, on d que le dpole es acf. Exemple : () e dpole es lnéare e passf (l s ag d une réssance) e dpole es non lnéare e passf (dode) e dpole 3 es lnéare e acf (généraeur de enson non parfa) e dpole 4 es lnéare e acf (généraeur de enson parfa) (3) () U.3 es dpôles passfs élémenares.3. éssance erans aueurs ulsen la ermnologe réssor pour ben dsnguer le nom du dpôle. Dans ce documen, nous ulserons le mo réssance pour désgner le dpôle e sa aleur. 8

2 Une réssance es un dpôle consué par un maérau conduceur e caracérsé par sa réssance exprmée en ohm ( Ω ) a réssance s oben comme su : l = ρ s Où ρ es la réssé en Ω m, l es la longueur e s es la secon du conduceur. 8 Praquemen ρ are enre e 6 Ωm. l exse égalemen des réssances don la réssance are en foncon d un paramère comme la empéraure (hermsance)..3. Bobne d nducon a bobne d nducon es un dpôle consué d un conduceur méallque enroulé auour d un suppor cylndrque. orsqu un couran raerse celle-c, elle produ un champ magnéque dans l espace enronnan e coeffcen d nducon ou nducance qu s exprme en henry (H) es le suan : s = µ N l N es le nombre de spres. s es la secon du conduceur méallque en m e l es la longueur du suppor cylndrque. 7 µ = 4π H/m dans le de Une bobne pure n exse pas. En praque, elle es oujours en sére aec une pee réssance..3.3 ondensaeur e condensaeur es formé de deux plaques méallques séparées par un solan. a réparon de charge sur une plaque nflue sur la réparon des charges sur l aure plaque. e condensaeur es caracérsé par sa capacé qu s exprme en farad (F): S = ε e S es la surface de l armaure du condensaeur e e es la dsance enre les deux armaures. ε es la permé en F/m. Elle dépend du mleu e de la permé du de ε = 8,84. F/m omme farad représene une rès grande capacé, on ulse généralemen les sous-mulples comme le µ F, nf e pf..4 os générales des dpôles passfs l exse deux chox pour l orenaon du couran e de la dfférence de poenel 9

3 DPOE onenon récepeur DPOE onenon généraeur Nous allons manenan rappeler les los générales des 3 ypes de dpôles passfs élémenares : réssance, bobne e condensaeur : d = = = d d = d = G = d = d en ohms (Ω) en henry en farad remarques : d Dans une bobne, le couran ne peu pas subr une araon bruale : = + mplquera une dfférence de d poenel = +. De la même façon, la dfférence de poenel aux bornes d un condensaeur ne peu pas arer brualemen d nsananémen : = + mplquera un couran = +. d En connu, la bobne es un cour-crcu e le condensaeur es un crcu ouer.

4 .5 Assocaon de dpôles de même naure en sére : = + = + = + = + d d = + d d = + d d = + d = = + d + d Généralsaon : Généralsaon : Généralsaon : = = = en parallèle : = + = + = + = + d = = + d + d = + d d = + d d = + d d Généralsaon : = Généralsaon : = Généralsaon : =.6 os des dpôles en régme snusoïdal

5 Après aor rappelé les los générales, nous allons nous néresser au régme snusoïdal qu es le régme de fonconnemen le plus souen ulsé en élecronque. So un couran aran en foncon du emps selon la lo snusoïdale suane : ( ) = sn( + θ ) es l amplude maxmum du sgnal en ampère. () snθ T So Φ( ) = + θ la phase du couran foncon lnéare en foncon du emps en radan. θ es la phase à l orgne : θ = Φ() En déran Φ par rappor au emps on oben la pulsaon w : dφ = en radan/seconde d a fréquence f es le nombre de pérodes par seconde. f s oben en dsan la pulsaon par π dφ f = = en seconde - ou Herz π d π Pour éer des calculs fasdeux lors de l éude des assocaons de dpoles en sére e en parallèle on ulse deux méhodes praques: - le dagramme de Fresnel - la noaon complexe.7 Dagrammes de Fresnel es dagrammes de Fresnel permeen de représener graphquemen e par des eceurs r e r dans une base orhonormée. Supposons pour smplfer que la phase à l orgne θ =. On a donc ( ) = sn Applquons les los d ohm aux dpôles réssance, bobne e condensaeur. as de la réssance : = = sn = V sn aec V = es deux eceurs r e r son en phase V =

6 as de la bobne : = d d = d d ( sn ) π = cos = V sn( + ) aec V = Pour la bobne, le eceur r es en aance de π sur le eceur r. V = as du condensaeur : = d d = sn = cos = V sn( π ) aec V = Pour le condensaeur, le eceur r es en reard de π sur le eceur r. Pour les unés,, V = e son homogènes à des ohms (Ω). orsque,, la bobne se compore comme un cour-crcu. e, le condensaeur se compore comme un crcu ouer. orsque,, la bobne se compore comme un crcu ouer e, le condensaeur se compore comme un cour crcu. Nous allons manenan nous neresser à l assocaon de dpoles de naure dfférenes. as de l assocaon d une réssance e d une capacé en sére : = = sn sn π = d = cos = sn( ) = + = V sn( + ϕ) 3

7 ϕ r w r r le eceur r es la somme des eceurs r ϕ es l angle enre les eceurs r e r e r On a : V = + = + an ϕ = ϕ = arcan as de l assocaon d une réssance e d une bobne en sére : = = sn sn d π = = cos = sn( + ) d = + = V sn( + ) r ϕ ϕ r r le eceur r es la somme des eceurs ϕ es l angle enre les eceurs r e r r e r On a : V + = + = an ϕ = ϕ = arcan 4

8 .8 Noaon complexe e mpédance complexe Dans le cas du régme snusodal, on ulse les nombres complexes pour smplfer les calculs des dpôles de naure dfférene. Une grandeur snusodale (couran ou dfférence de poenel) es caracérsé par deux nombres : l amplude e la phase Φ( ) = + θ. l es donc naurel de représener une grandeur snusodale par un nombre complexe lorsque le crcu es lnéare e que les opéraons à effecuer son auss lnéares. Défnon : un crcu es lnéare s : soums à un couran ( ) = cos, la dfférence de poenel es ( ) = V cos( + ϕ) soums à un couran ( ) = sn, la dfférence de poenel es ( ) = V sn( + ϕ) alors soums à la combnason lnéare λ ( ) + µ ( ), la dfférence de poenel es de la forme λ ) + µ ( ) ( λ + µ λ + µ Posons λ = e µ = j. a dfférence de poenel assocée à la combnason lnéare ) = ( ) + j ( ) = (cos + j sn ) = exp( j ) es la suane : ( ( ) = ( ) + j ( ) = V [ cos( + ϕ) + j sn( + ϕ) ] = V exp( j + ϕ) Dans le rese de ce documen, on se lmera à l éude des crcus lnéares aec des opéraeurs lnéares (addon, mulplcaon par consane, déraon, négraon). S le couran es de la forme ) = cos = ( ( )) pare réelle de (), la dfférence de poenel ( ( ) = V (cos + ϕ) = ( ( )) ( ( ) = V (sn + ϕ) = ( ( )) pare réelle de (). De même la dfférence de poenel ) assocé au couran ) = sn = ( ( )) es ( On défn l mpédance complexe Z d un dpôle comme su : Z = aec = exp( j ) e = V exp( j + ) as de la réssance : Nous aons u que = On a : ϕ = exp( j ) mpédance complexe de la réssance es donc : Z = as de la bobne : 5

9 d = d d calculons : d d d d d = cos( ) + j sn( ) d d = [ sn( ) + j cos( )] = j cos( ) sn( ) j j cos( ) + j sn( ) = j dérer reen donc à mulpler par j On a : = [ ] = d d = j = j exp( j ) mpédance complexe de la bobne es donc : Z = j as du condensaeur : = d calculons d : d ) d + = cos( j sn( ) d = sn( ) j cos( ) j = cos( ) sn( ) j cos( ) + j sn( ) = j j négrer reen donc à dser par j On a : = [ ] = d = j = j exp( j ) mpédance complexe du condensaeur es donc : Z = j 6

10 omme dans le paragraphe précéden sur le dagramme de Fresnel, nous allons manenan éuder l assocaon de dpoles de naure dfférenes en ulsan les mpédances complexes. as de l assocaon d une réssance e d une capacé en sére : snusodal => = exp( j ) => => = = j = + = + = Z. j On reroue le module e l argumen de Z = Z exp( jϕ) : Z + = e anϕ = as de l assocaon d une réssance e d une bobne en sére : snusodal => = exp( j ) => = => = j [ + j ] = Z = + =. On reroue le module e l argumen de Z = Z exp( jϕ) : Z + = e an ϕ = On reroue aec les mpédances complexes les même los que celles éables pour l assocaon de dpôles de même naure : Z Z Z Z = Z + Z 7

11 Z Z Z = + Z Z Z On a ans u que l ulsaon de l mpédance complexe perme de remplacer les équaons dfférenelles par des équaons algébrques ce qu smplfe grandemen l éude de l assocaon de crcus de naure dfférene en régme snusodal. 8