Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen

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1 Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen A- Changements de référentiels Aspect Cinématique I. Introduction L objet de ce paragraphe est d établir, d un point de vue cinématique, les lois permettant d obtenir les expressions de la vitesse et de l accélération dans un référentiel connaissant leur expression dans un autre référentiel et le mouvement du nouveau référentiel par rapport à l ancien. Référentiel R Référentiel R Le référentiel absolu : Il s agit du référentiel!, considéré comme fixe, constitué du repère d espace (O,i, j,k ) auquel on lie une horloge qui mesure le temps. On notera (x,y,z ) les coordonnées du point matériel M et t le temps associé. Le référentiel relatif : Il s agit du référentiel! ', considéré comme mobile, constitué du repère d espace (O,i, j,k ) auquel on lie une horloge qui mesure le temps. On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel M et t le temps associé. Le temps étant absolu en mécanique classique, les deux horloges mesurent le même temps. Ces appellations sont formelles et n ont pas de significations intrinsèques. Les deux référentiels jouent des rôles parfaitement symétriques, le seul point important est l existence d un mouvement relatif de l un par rapport à l autre. Le mouvement quelconque de R peut se décomposer de la manière suivante : - une translation du centre O (dans le référentiel R) : ce mouvement peut être quelconque (éventuellement suivre un cercle) 1

2 - une rotation des axes O x, O y et O z (par rapport aux axes Ox, Oy et Oz) : La rotation de R par rapport à R est le changement de direction des seuls axes O x, O y et O z par rapport aux axes Ox, Oy et Oz (sans rapport avec la trajectoire du point O ) II. Vecteur rotation instantané de R par rapport à R Définition Dans le cas d une rotation des axes O x, O y et O z par rapport aux axes Ox, Oy et Oz ( les origines O et O confondues), on définit le vecteur-rotation instantanée : est la vitesse angulaire de rotation en rad/s le vecteur unitaire autour duquel se fait la rotation Exemple =, = =, =, Dans le cas d une rotation quelconque, on peut écrire le vecteur-rotation instantanée : = + + III. Dérivée dans le référentiel R d un vecteur exprimé dans le référentiel R Soit A un vecteur quelconque exprimé dans R, on montre que la dérivée de A dans le référentiel R est donnée par la formule : = + 2

3 La démonstration est effectuée en classe. Cette relation va permettre de donner des relations entre les vitesses relatives et absolues en remplaçant A par le vecteur-position, puis dans un second temps entre les accélérations en remplaçant A par les vecteurs vitesses. IV. Composition des mouvements Composition des vitesses a) Position du problème Soient R et R les deux référentiels précédemment définis. On note le vecteur-rotation instantanée de R par rapport à R. Soit M un point de masse m en déplacement par rapport aux référentiels R et R. Nous allons utiliser les notations suivantes : Le référentiel absolu: Il s agit du référentiel R, considéré comme fixe, constitué du repère d espace (,, On notera (x,y,z ) les coordonnées du point matériel M dans R. Le référentiel relatif (mobile) : Il s agit du référentiel R, considéré comme mobile, constitué du repère d espace (, On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel M dans R. On notera aussi = la vitesse absolue de M dans R = la vitesse relative de M dans R = De même = = a(m) /R l accélération absolue de M dans R = = a(m) /R l accélération relative de M dans R = L objet de ce paragraphe est d établir, d un point de vue cinématique, les lois permettant d obtenir les expressions de la vitesse et de l accélération dans un référentiel connaissant leur expression dans un référentiel mobile R et le mouvement du référentiel R par rapport à au fixe R. 1) Composition des vitesses Soit le vecteur-position exprimé dans le référentiel relatif R = + + = + = + 3

4 = + + y + = + + y + = + + y + Or x = x + ] = car dans R + ] = dans R = + = dans R = + + y + = + + Finalement = + + ) = + = + = + = + + = = + c est la loi de composition des vitesses Avec = vitesse relative = + vitesse d entraînement : effet de la translation de R par rapport à R ( déplacement de l origine O ) Donc : + : effet de la rotation de R par rapport à R 2) Mouvements particuliers a) Translation pure Cs où le référentiel relatif R' est en mouvement de translation par rapport au référentiel absolu. Cela signifie que, à chaque instant, les vecteurs de base i', j' et k' gardent une direction fixe dans l espace. Il y a deux types de translation comme cela est illustré sur la figure cidessous. 4

5 La loi de composition des vitesses + Avec = et = + = car il n y a pas de rotation. D où + = b) Rotation pure La loi de composition des vitesses + Avec = et = + = car il n y a pas de - rotation, O est fixe dans R. D où + = c) Retour sur le vecteur-rotation instantanée Soient R et R les deux référentiels précédemment définis. On note instantanée de R par rapport à R. le vecteur-rotation On a aussi = + (I) = + = (II) Par identification de (I) et (II), on a : = = car = 0 Donc la dérivée de ne dépend pas du référentiel dans lequel on l effectue. Soit un vecteur A et R 0, R 1 et R 2 trois référentiels en mouvement relatif les uns par rapport aux autres. On note : le vecteur-rotation instantanée de R 1 par rapport à R 0. = 5

6 le vecteur-rotation instantanée de R 2 par rapport à R 0. le vecteur-rotation instantanée de R 2 par rapport à R 1. = + et = + = + + = + ( + (I ) Or (II) Par identification de (I) et (II) on a: 3) Composition des accélérations Soit M un point de masse m en déplacement par rapport aux référentiels R et R. Par définition des accélérations, on peut écrire : + On cherche l accélération absolue de M dans R : a(m) /R = = La loi de composition des accélérations s obtient en dérivant la loi de composition des vitesses : = + + = = + = + = = + + ] = + + ] = + + ] = + + a loi de composition des accélérations s écrit : = + Avec : = = a(m) /R : Accélération relative = + 6

7 + : Accélération d entraînement = : Accélération de Coriolis Mouvements particuliers Si le référentiel R est en mouvement de translation (pas nécessairement rectiligne) par rapport à R : = 0, on a alors tout simplement = a(m) /R = = + = a(m) /R + Si le référentiel R est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R (c est à dire qu en plus, le point O n a pas d accélération) : = a(m) /R = = = a(m) /R Soient R 1 et R 2, deux référentiels Galiléens, un point M de masse m pseudo-isolée en mouvement dans R 1 et R 2.Le principe d inertie s applique : une masse pseudo-isolée suit un mouvement rectiligne uniforme, donc a(m)/r1 = a(m)/ R2 = 0. Ce principe reste valable quelle que soit la vitesse du point M, donc quelle que soit V M /R2. On peut donc en conclure que = = 0 est vérifiée quelque soit la vitesse donc + = 0 si alors On conclue que R 1 et R 2 sont galiléens : Conclusion : Un référentiel en translation rectiligne par rapport à un autre référentiel galiléen est lui même galiléen. Alors on peut écrire que pour tout point M en mouvement dans R 1 et R 2 : a(m) /R1 = a(m) /R2 7

8 B- Changements de référentiels Aspect Dynamique I. Forces d inerties 1) Le PFD dans un référentiel non galiléen Soit un point matériel M de masse m, soumis à la résultante des forces F = F ext. Le Principe Fondamentale de la Dynamique dans un référentiel R galiléen (référentiel dit absolu) s écrit : m a a = m a(m)/r = F F étant la résultante des forces extérieures Soit maintenant un référentiel R' (référentiel dit relatif) en mouvement quelconque par rapport à R. 2) Comment écrire le PFD dans le référentiel R? Dans R', l accélération relative de la particule a r est donnée par la loi de composition des accélérations : = + On peut donc écrire dans R la relation fondamentale de la dynamique comme suit : - - ) = - - = ) Forces d inertie La relation encadrée précédente montre qu un observateur lié à R' doit ajouter à termes pour décrire le mouvement de la particule : deux Force d'inertie d'entrainement : = - Force d'inertie de Coriolis : = - Ces termes, homogènes à des forces, sont appelés forces d inertie du fait de leur proportionnalité à la masse inerte m. D une autre manière, on peut dire que la relation fondamentale de la dynamique sous sa forme galiléenne m a(m)/r = F restera valable dans un référentiel non galiléen à condition d inclure dans les forces appliquées également les forces d inerties. Le PDF dans R s écrit aussi : = Remarque Pour que la force d inertie de Coriolis soit présente, deux conditions doivent être satisfaites : - Il faut d une part que le référentiel relatif en mouvement ait un mouvement de rotation par rapport au référentiel absolu fixe, dans ce cas : 8

9 - Si la condition précédente est satisfaite, il faut encore que la particule ait une vitesse non nulle dans le référentiel relatif, c est-à-dire : Si la particule est au repos dans le référentiel relatif, II. Théorème du moment cinétique Soit O un point fixe de R en mouvement quelconque par rapport à R galiléen et F la résultante des forces s exerçant sur un point matériel M Dérivons le moment cinétique en O du point M dans R L o (M/ R ) = _O M m V (M/ R ) = ) = 0 D après le PDF dans R : =, on a Dans R non galiléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique en rajoutant les moments des forces d inertie d entraînement et de Coriolis. ) III. Mouvement de rotation, à la vitesse angulaire = Cte On considère, dans le cadre du programme, le cas ou le référentiel mobile R à un mouvement de rotation, à la vitesse angulaire, par rapport au référentiel fixe R autour de l axe commun z = z ' avec les origines confondues (O = O ' à chaque instant). Le vecteur-rotation instantanée est : = Le référentiel R, considéré comme fixe, constitué du repère d espace (,, d origine O. Le référentiel R, considéré comme mobile, constitué du repère d espace (, d origine O confondu avec O en rotation autour de Oz. 9

10 Bien sûr on suppose que R est galiléen. R est en rotation, ne l est pas. Le vecteur-rotation instantanée est = = Force d inertie d entraînement : Avec : + 1 er terme : = 0 car O est confondu avec O 2 ème terme : car 3 ème terme : D où La force d entraînement est : = ) = ) = Interprétation physique Pour un mouvement circulaire, l accélération est centripète dirigée vers le centre de rotation. La force d inertie d entraînement est appelée force centrifuge et dirigée de H vers M : elle fuit le centre de rotation H. IV. Exemple : 1) Pendule simple de longueur l accroché au plafond d un camion animé d un mouvement de translation uniformément accéléré. Le système à étudier est le point matériel M de masse m Référentiels R(O, i, j, k), terrestre galiléen, R (O, i, j, k ), lié au camion Bilan des forces : P = m g Tension du fil : T = -T u r Forces d inertie : f ie = - m a e = -m a (O )/R = -ma i f ic = - 2m R /R V r = 0 ( R est en translation par rapport à R : R /R = 0) Le PFD dans R : m a = P + T + f ie + f ic A l équilibre de la masse m par rapport au camion : 0 = P + T + f ie On déduit On obtient ainsi l inclinaison par rapport à la verticale de la direction d équilibre du fil : tan o = 10