Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes, puissances

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1 Tous droits résrvés Studyrama 00 En partnariat avc : Fich téléchargé sur wwwstudyramacom Séri S Nº : 00 Fich Corrigés Fich : Eponntills, logarithms, puissancs Opérations élémntairs t fonction ponntill Ercic B ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ) B 0 Opérations élémntairs t fonction logarithm Ercic a) A ln ln() b) B ln ln() ln() c) C 6 ) ln( ln ln() ln() ln() ln() Fonction ponntill t cntr d symétri Ercic a) On calcul séparémnt chacun ds du mmbrs d ctt égalité f ( ) f () ( ) f () Cs du quantités f ( ) t f () sont touts du égals à Donc on a bin f () f ( ) b) Pour la suit, il suffit d utilisr l résultat précédnt f () f ( ) d où : f () f ( ) ) ( () f f C qui signifi qu l point A st l miliu d [MM ] avc M d coordonnés (, f ()) t M d coordonnés (, f ( )) On put donc conclur qu l point A st un cntr d symétri d la courb

2 Fich Corrigés Nº : 00 Séri S Parité Ercic On constat qu l intrvall ], [ sur lqul la fonction st défini st symétriqu par rapport à zéro D autr part, compt tnu d la rmarqu l n a ln b, il vint : b a f ( ) l n f () La fonction f st impair Fonction logarithm népérin t cntr d symétri Ercic Dans l rpèr d origin O, un équation d la courb st : y ln Dans l rpèr d origin A, un équation d la courb st : X Y X ln X X Y X ln X Dans l rpèr d origin A, ctt courb st rprésntativ d la fonction h défini sur ] ; [ h(x) X X ln X L domain st symétriqu par rapport à 0 X h( X) X ln X ln X X h( X) X ln h(x) X ( ) ( X ) ( ) ( X ) X X ln X La fonction h st impair donc l origin A du rpèr st un cntr d symétri d la courb Conclusion : l point A st un cntr d symétri d la courb ] ; [ par Equations, ponntill népérinn, logarithm népérin Ercic 6 a) On sait qu la fonction p st strictmnt positiv, ctt équation n a donc pas d solution : S Ø 7 ln ln b) Pour tout rél, équivaut à 7 ln, soit ncor : Donc S 7 7 c) L égalité st défini si t sulmnt si l on a simultanémnt : > 0 t > 0 t > 0 c st-à-dir : > t > t > L nsmbl d définition st : ] ; [ Pour tout >, ls propositions suivants sont équivalnts : ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ln( ) ( ) ( ) ( ) ² 6 ² 0 ou Tous droits résrvés Studyrama 00 Fich téléchargé sur wwwstudyramacom En partnariat avc :

3 Fich Corrigés Nº : 00 Séri S Un sul d cs du valurs st supériur à Conclusion : S {} d) L égalité st défini si t sulmnt si l on a simultanémnt ² 6 > 0 t > 0 qui st équivalnt à ] ; [ ] ; [ t ] ; [ L nsmbl d définition st : ] ; [ ] ; [ Pour tout ] ; [ ] ; [, ls propositions suivants sont équivalnts : ln(² 6) ln( ) ² 6 ² 0 ou (qui convinnnt touts du) Conclusion : S { ; } Equations t fonction ponntill d bas a Ercic 7 Il vint : ( ) ln() 7 ( 7) ln() ( ) ln() ( 7) ln() L équation s écrit alors : c qui équivaut succssivmnt à : ( ) ln() ( 7) ln() ln() ln() ln() 7 ln() (ln() ln()) ln() 7 ln() ln() 7 ln() ln() ln() ln() 7 ln() Donc : S ln() ln() Equation du scond dgré t ponntill Ercic On pos X, l équation s écrit alors X² X, soit sous la form canoniqu : X² X 0 L discriminant d ctt équation st Δ ( )² () ( ) 96 ² Ls solutions d l équation X² X 0 sont donc t L équation équivaut alors à ou ; or : équivaut à ln n a pas d solution car la fonction p st strictmnt positiv Conclusion : S {ln()} Equation du scond dgré t logarithm Ercic 9 On pos X ln(), l équation dvint X² X 77 0 L discriminant d ctt équation st : Δ ( )² ()( 77) ² L équation X² X 77 0 a donc du solutions : t 7 Ainsi l équation (ln())² ln() 77 0 équivaut à ln ou ln 7 Tous droits résrvés Studyrama 00 Fich téléchargé sur wwwstudyramacom En partnariat avc :

4 Fich Corrigés Nº : 00 Séri S ln() équivaut à ln() 7 équivaut à S, 7 Conclusion : { } 7 Inéquation simpl t ponntill Ercic 0 équivaut à ln c st-à-dir à ln Conclusion : S ] ; ln()[ Inéquation simpl t logarithm Ercic ln( ) ist si t sulmnt si > 0, c st-à-dir < Pour < ln( ) équivaut à c st-à-dir à Finalmnt,on obtint < Conclusion S [ ; [ Inéquation du scond dgré t ponntill Ercic, il vint X² X 0 qui st un inéquation du scond dgré On calcul Δ ()² () ( ) 9 C discriminant st strictmnt positif L trinôm admt du racins : t Il st négatif, donc du sign contrair d a (ici a ) si t sulmnt si X Pour obtnir ls solutions d l inéquation proposé, on utilis l changmnt d variabl X X équivaut à C qui donn car l inégalité équivaut à ln() 0 Conclusion : S ] ; 0] Compt tnu d ( ) st toujours vérifié (un ponntill st strictmnt positiv donc supériur à ) Inéquation du scond dgré t logarithm Ercic On pos X ln(), il vint X² X 6 > 0 L trinôm X² X 6 a pour racins t, il st strictmnt positif (c st-à-dir du sign d son cofficint dominant) si t sulmnt si X < ou X > Par conséqunt (ln())² ln() 6 > 0 équivaut à ln < ou ln > La prmièr inégalité équivaut à < La duièm inégalité équivaut à > Et tout cci pour > 0 S 0, ; Conclusion ] [ ] [ Tous droits résrvés Studyrama 00 Fich téléchargé sur wwwstudyramacom En partnariat avc :

5 Fich Corrigés Nº : 00 Séri S Dérivation d fonctions utilisant la fonction p Ercic u La fonction f st du typ avc u() ; donc u () Finalmnt f () Dérivation d fonctions utilisant la fonction ln Ercic Ctt fonction st du typ u² avc u() ln() La dérivé st du typ uu Donc f () (ln()) ln() pour > 0 Ercic 6 La fonction f st du typ ln(u), u dérivabl t strictmnt positiv sur tout intrvall n contnant pas 0 On sait qu alors ( l n u) u' u On n déduit qu f st dérivabl dans tout intrvall I n contnant pas 0, t f ' () pour appartnant à I On a : g u v avc u : t v : ln( ) La fonction u st évidmmnt dérivabl dans ], 0[ La fonction v st la composé d dérivabl t strictmnt positiv sur ], 0[, par la fonction ln, dérivabl sur ]0, [ Ell st donc dérivabl sur ], 0[ D tout cci il résult qu la fonction g st dérivabl sur ], 0[ t g (u v) u v u v ntraîn g () ln( ) ln( ) pour tout > 0 Limits t croissancs comparés Ercic 7 L un ds du limits n st pas un form indétrminé a) Etud n : lim ( ) t lim ntraînnt lim f ( ) Etud n : lim ( ) t lim 0 n prmttnt pas d utilisr l théorèm «limit d un produit» Pour lvr ctt indétrmination t pouvoir appliqur ls résultats sur ls croissancs comparés, on mt ² n factur : f ( ) pour < 0 D après ls résultats sur ls croissancs comparés, il vint : lim 0 D autr part lim Il n résult : lim f ( ) 0 0 b) Etud n : lim t lim ( ) n prmttnt pas d utilisr l théorèm «limit d un somm» Pour lvr ctt indétrmination t pouvoir appliqur ls résultats sur ls croissancs comparés, on mt n factur : g() pour tout D lim il résult lim 0 puis lim Tous droits résrvés Studyrama 00 Fich téléchargé sur wwwstudyramacom En partnariat avc :

6 Fich Corrigés Nº : 00 Séri S Compt tnu d lim on conclut : lim g() Rmarqu : mttr ² st possibl aussi Etud n : D lim 0 t lim on déduit lim g() Ercic ln() a) ln() ln() ln() f () ln() Il suffit maintnant d prndr ls limits d chaqu trm : lim 0 d après ls résultats sur ls croissancs comparés ds fonctions logarithm t puissanc lim car lim ln() ln() lim car lim lim 0 Donc lim f () 0 0 b) Pour la fonction g, on procèd d la mêm manièr : mttr n factur l trm l plus puissant ² ln() g() ln() lim 0 t lim En conclusion lim g() Tous droits résrvés Studyrama 00 Fich téléchargé sur wwwstudyramacom En partnariat avc :