Faculté de Médecine Université de Béjaia Première année B I O P H Y S I Q U E CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE

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1 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE GENERALITES a. Onde lumineuse : L onde lumineuse est une onde électromagnétique. Elle est constituée ar l association d un cham électrique et d un cham magnétique erendiculaires entre eux, vibrent en hase avec la même fréquence et se délacent avec la même vitesse. L onde lumineuse est vectorielle tandis que l onde acoustique (sonore) est scalaire. La roagation de l onde lumineuse est un hénomène de transort de l énergie liée à des articules transortant chacune un quantum d énergie (hoton) : / Où le vide - h j. s = constante de Planck - c 3 0 m/s = vitesse de la lumière dans - λ est la longueur de l onde lumineuse - υ est la fréquence de l onde lumineuse b. Indice de réfraction : Dans le vide, quelles que soient leurs fréquences, les ondes électromagnétiques (lumière) se roagent avec la même vitesse 3 0 /. Dans un milieu matériel la vitesse de la lumière déend de la fréquence mais reste toujours inférieure à. Le raort / s aelle «indice de réfraction» du milieu. La fréquence de l onde est toujours fixée ar la source et elle n est as modifiée lorsque la lumière asse d un milieu à un autre. CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

2 . λ. λ λ /λ / Quelques indices de réfraction Milieu transarent A ir Eau Verre Quartz Diamant Huile / à Pour l Homme la fraction du sectre visible s étend de 400 nm (violet) à 700 nm (Rouge). c. Princie de l otique géométrique : Le trajet emruntait ar la lumière issue d une source onctuelle est rectiligne dans un milieu homogène et isotroe. Un milieu homogène est un milieu dont la comosition est la même en tout oint. Un milieu isotroe est un milieu dont les roriétés sont les mêmes dans toutes les directions. CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

3 La marche de la lumière dans un système otique eut être étudiée en utilisant les lois et les résultats de la géométrie : c est l otique géométrique. Exemle de système otique Loi : Dans un milieu homogène et isotroe la lumière se roage en ligne droite. Il y a : et on distingue 3 tyes de faisceaux : 3 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

4 c. Princie de retour inverse de la lumière : La trajectoire suivie ar un rayon lumineux entre oints est indéendante du sens de roagation de la lumière. e. Princie de Fermat : Pour aller de à la lumière emrunte la trajectoire la lus courte dans le tems. Dans un milieu matériel, la lumière arcourt la distance endant le tems tel que :. Pendant ce même tems et dans le vide, la lumière aurait arcouru la distance :. Donc:. /. La distance est la longueur du chemin otique. Lorsque le milieu n est as homogène, la longueur du chemin otique est : Pour aller de à, la lumière ne rend as un chemin quelconque mais un arcourt tel, que le chemin otique soit extrémal (stationnaire) c est à dire our lequel : 4 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

5 II. REFLEXION ET REFRACTION DE LA LUMIERE Lorsque la lumière arrive à l interface de milieux transarents d indices de réfraction et (diotre), une artie est réfléchie dans le milieu d incidence n (onde réfléchie) tandis que le reste se roage dans le milieu de transmission (onde réfractée). Où : est la normale à l interface : est le oint d incidence α : est l angle d incidence α : est l angle de réfraction α : est l angle de réflexion a) Conditions de réflexion : - Les rayons incident, réfléchi et la normale doivent être colanaires (situés dans un même lan). - L angle d incidence doit être égale à l angle de réflexion ( α α ). b) Loi de Snell - Descartes : La vitesse des ondes électromagnétiques est inversement roortionnelle à l indice de réfraction du milieu dans lequel elles se roagent. α α α α α α 5 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

6 On a : α / α /, / n, est l indice de réfraction du milieu ar raort au milieu. On eut alors écrire : α α C est la loi de Snell-Descartes. c Conditions de réfraction :. Les rayons incident, réfracté et la normale doivent être colanaires.. Les rayons d incidence et de réfraction doivent satisfaire l égalité : α α Lorsque les angles α et α sont etits, α α et α α, cette égalité devient : α α ( α et α sont exrimés en radians). c. Réflexion totale et réfraction limite : angle critique. Lorsque la lumière asse d un milieu à un autre d indice lus etit (sa vitesse augmente), l angle d incidence est toujours inférieur à l angle de réfraction. L angle d incidence α our lequel l angle de réfraction et égal à 90 (maximum) est aelé angle critique 6 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

7 On a: /, α α / α /. Lorsque l angle d incidence déasse l angle α toute la lumière sera réfléchie (réflexion totale).l angle α corresond à la limite de la réfraction. La réflexion exige l égalité des angles d incidence et de réflexion. α α α α α Donc une réflexion est un cas articulier de la réfraction avec l indice ). Exemles : d. Disersion : Comme l angle de réfraction est fonction de l indice du milieu, c est à dire de la longueur d onde λ, il est alors différent our les différentes couleurs constituant la lumière blanche (chaque couleur est une onde électromagnétique avec sa rore longueur d onde). Ce hénomène s aelle disersion. 7 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

8 Exemles :. utilisez le rincie de Fermat our établir la loi de la réflexion et la loi de la réfraction. Cas de la réflexion : La longueur du chemin otique est : / /. Le chemin suivi ar la lumière est tel, que / / / / / α α α α 8 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

9 Cas de la réfraction : La longueur du chemin otique est / / / / / / α α 0 α α. Un faisceau de lumière verte, de longueur d onde égale à 5 0 dans le vide, énètre une laque de verre dont l indice de réfraction vaut,5. Quelle est la vitesse de la lumière verte dans le verre? Quelle est la longueur d onde de la lumière verte dans le verre? On a : / / 3 0 /.5 0 /. λ /λ / λ λ / λ 5 0 : λ 5 0 / CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

10 3. Un homme de taille m se tient droit dans un lac de rofondeur.5 m. L angle d incidence est de 30. Calculer la longueur de l ombre au fond du lac si l indice de réfraction de l eau est n =4/3. La longueur demandée est. α / α α 4/3 α α α.0 α / α III. SYSTEMES OPTIQUES A. Surfaces d ondes : Loi de MALUS La surface d ondes est un ensemble de oints équidistants, en chemin otique, d une source onctuelle ou d un objet éclairé. Dans un milieu homogène et isotroe les surfaces d ondes d une source onctuelle sont des shères concentriques (ossédant le même centre). Tous les rayons issus de la source S sont erendiculaires aux surfaces d ondes. 0 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

11 Loi de MALUS : Quelle que soit la nature du milieu où ils se roagent, les rayons lumineux issus de la source sont erendiculaires à la surface d ondes Σ. Réfraction atmoshérique : Lorsque le milieu n est as homogène (l indice n est as constant), les surfaces d ondes ne sont as concentriques. Phénomène de mirage: CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

12 B. Différents tyes de systèmes otiques : Un système otique est un ensemble de milieux transarents séarés ar des surfaces olies (diotres). A l intérieur de ces systèmes la lumière subit des réflexions et des réfractions. On distingue : - Système diotrique : C est un système dans lequel la lumière subit uniquement des réfractions. - Système catotrique : c est un système dans lequel la lumière subit uniquement des réflexions. - Système catadiotrique : C est un système dans lequel la lumière subit des réflexions et des réfractions. C. Image d un oint lumineux Les rayons sortant du système otique convergent tous en. On dit qu il y a stigmatisme rigoureux. Les oints et sont dits conjugués ar raort à ) : lorsque l un est l objet, l autre est l image. CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

13 Lorsque les rayons sortant ne convergent as, le système est dit astigmatique Lorsque les rayons sortant assent ar une etite région, on dit qu il stigmatisme aroché. Soient 3 oints, et aartenant à un lan erendiculaire à l axe otique. Si les images resectives, et aartiennent toutes à un lan qui est aussi erendiculaire à l axe otique et que le système est stigmatique, on dit qu il y alanétisme. Lorsque les distances, et ne sont as erçues ar l œil humain, on dit qu il y a stigmatisme aroché. Conditions de Gauss our le stigmatisme aroché :. Les rayons incidents doivent être ar- axiaux (les angles sont etits). Les angles d incidence sur les diotres sont très etits. 3 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

14 Conditions d Abbé our lusieurs oints : Lorsque on a lusieurs oints qui aartiennent à un lan erendiculaires à l axe otique, leurs images à travers un diotre otique s obtiennent en mesurant les distances entre un oint objet et ces oints ar la relation suivante : sin sin Objet et image L œil voit l image, ar contre l œil ne la voit as. Ceendant, eut voir l image lorsqu elle est rojetée sur un écran (elle devient alors un objet 4 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

15 éclairé). L image est réelle car elle eut être rojetée sur un écran. Tous les rayons émergents assent réellement ar leur oint de convergence. L objet est réel car tous les rayons incidents assent réellement ar et en lus on eut le toucher. Lorsque l image ne eut as être rojetée sur un écran et que les rayons lumineux ne assent as réellement ar leur oint de convergence, on dit qu elle est virtuelle. Ici l objet A est réel, l image A est virtuelle. 5 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

16 L objet est réel our. Le oint est une image réelle our le système et, en même tems, il rerésente un objet réel our le système.le oint est une image réelle our les systèmes et. A est un oint objet our le système.il est réel. est une image virtuelle our le système et un objet virtuel our le système. est une image réelle our le système. CAS GENERAL : 6 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

17 IV DIOPTRE PLAN : Un diotre lan est une surface lane qui séare deux milieux transarents. Suosons que la lumière se roage d un milieu d indice vers un milieu d indice inférieur. On a : et Donc :. / Comme On obtient : / Dans le cas du stigmatisme aroché ( ),on aura : C est la formule de conjugaison du diotre lan our un objet onctuel. Objet non onctuel : Soit un objet non onctuel qui se trouve dans un milieu transarent d indice de réfraction. Soit un diotre lan et horizontal qui séare ce milieu d un autre milieu transarent d indice. On définit l agrandissement ar le raort : 7 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

18 Lorsque l objet est arallèle à la surface du diotre, on constate que l agrandissement est égal à l unité uisque les dimensions de l image et de l objet sont égales. Donc : Lorsque l objet n est as arallèle au diotre, l agrandissement est différent de l unité. 8 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

19 L agrandissement est. Or : et Ceci nous donne: Donc : IV. LAMES A FACES PARALLELES: Suosons que l indice de réfraction de la lame est suérieur à celui du milieu dans lequel elle s y trouve. Les lois de Descartes aux oints d incidence et s écrivent resectivement et. Donc. La déviation totale de rayon incident est: 0. La déviation est nulle mais le rayon, à la sortie de la lame s est délacé de telle que : 9 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

20 Le délacement du rayon lumineux est : Généralement, on symbolise un diotre ar,, où et sont resectivement les indices de réfraction des milieux d incidence (où se trouve l objet) et de transmission (où se forme l image). est le oint d incidence normale sur le diotre (oint d intersection entre le diotre et la normale assant ar le oint objet). La lame à faces arallèles est caractérisée ar diotres,, et,,. Soit A un objet dans le milieu d indice. Déterminons son image à travers la lame d éaisseur. Pour le diotre,,, l image de est telle que :. Pour le diotre,,, est l image de (qui est l objet our ce diotre). La osition de est telle que :. L image est aussi l image de (image définitive) donnée ar la lame à faces arallèles : 0 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

21 V. LES SURFACES REFRINGENTES SPHERIQUES a. Signes de convention : Les distances sont mesurées à artir de l axe otique ou/et à artir de la normale à l axe otique et assant ar le sommet du diotre. Les angles sont mesurés à artir de l axe ou/et à artir des normales au diotre de rayon. Les signes ris ar convention sont indiqués sur la figure. b. Invariant d Abbé Soit un diotre de rayon et de centre. Il séare milieux transarents d indices et. Il donne d un objet une image. CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

22 On a : n sinα = n sinα Comme α et α sont des angles très etits, on eut alors écrire : sin α = α et sinα = α. Donc la relation de Descartes s écrit : n α = nα. Or d arès le schéma on a : * i = α β ou α = β i * α = β i n( β i) = n( β i) h h h h h h h Comme β =, i = et β = on aura : n = n R R R n = n = Cons tan te. C est l invariant d Abbé. R R Lorsque l image se forme à l infini ( = ), l objet se trouve à la distance = f dite «distance focale objet). Lorsque l objet se trouve à l infini ( = ), l image se forme à la distance = f dite «distance focale image). Cas des surfaces convexes ( f 0 et f 0) * f nr = ( n n) n R ** f = ( n n) On remarque que f n = f n Cas des surfaces concaves ( f 0 et f 0) * f = nr ( n n) ** f = nr ( n n) CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

23 N.B : Les surfaces concaves et convexes déendent aussi les indices de réfraction des milieux qu elles séarent /. Ces cas seront traités en TD. Les foyers qui se trouvent sur l axe otique sont des foyers rinciaux et ceux qui aartiennent au lan erendiculaire à l axe et qui asse ar le foyer rincial sont dits foyers secondaires voir TD. c. Agrandissement : il est défini comme le raort entre la grandeur de l image et celle de l objet. Pour trouver la osition de l image il faut tracer les rayons suivants :. Le rayon arallèle à l axe émerge en assant ar le foyer.. Le rayon qui asse ar le centre n est as dévié. L agrandissement est défini ar : y γ = y y y y On a : tgα = = = R R y y R n γ = = = y R n n n n Comme R = γ = n n n R R R = R. VI. LES LENTILLES a. Définitions Une lentille est un système réfringent constitué d interfaces dont l une au moins est courbée. Une lentille mince est comosée d un seul élément et résente deux 3 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

24 interfaces réfringentes. L éaisseur d une lentille mince est négligeable devant son diamètre. On distingue :. les lentilles convergentes convexes, ositives. les lentilles divergentes concaves, négatives b. Formule des lentilles minces Soit une lentille mince de rayons de courbures R et R, de centres C et C et fabriquée ar un matériau d indice de réfraction n. L objet se trouve au oint et son image se forme au oint. 4 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

25 5 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI Pour le diotre de rayon R l invariant d Abbé s écrit : = R n R n L image obtenue ar le remier diotre qui se forme à la distance de S sera considérée comme objet our le second diotre de rayon R et de centre C. L image de cet objet est qui se forme à la distance de S = R n R n R n n R n n = Or R n R n n n + = ) )( ( n n R R n n = ) )( ( R R n n = qui est la formule des lentilles minces.

26 Les distances focales : Si Si f n n R R n ( )( n R R = = f = ( )( ) = = f = ) f On constate que f = f et la formule des lentilles eut tout simlement s écrire : = f c. Construction de l image d un objet erendiculaire à l axe otique Il existe trois 3 rayons qu on eut facilement suivre à travers la lentille : Tout rayon qui asse ar le centre otique n est as dévié. Tout rayon incident arallèle à l axe émerge de la lentille en assant ar le foyer. Tout rayon qui asse ar le foyer émerge arallèlement à l axe otique. 6 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

27 i agrandissement : γ = y y tgα = y = y y = y ii Formule de Newton : On a : = f Or = x + f et = x + f x + f x + f = f Arès le déveloement on obtient : xx = ff. C est la formule de Newton d Nature de l Image Il suffit de déterminer la nature de l image à artir du signe de sa osition signe de f. A artir de la formule des lentilles : = on tire : =. f f + Cas de lentilles convergentes f 0 objet réel : 0 f i) Si f ( f = f ) + 0 γ = 0 ;. Donc 0, l image est réelle et renversée 7 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

28 f ii) Si 0 f + 0 γ = 0 ;. Donc 0, l image est virtuelle et droite Objet virtuel : 0 On a toujours 0 et γ = 0. L image est réelle et droite. 8 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

29 Cas de lentilles divergentes ( f 0) Objet réel : 0 On a toujours 0 et γ = 0. L image est donc virtuelle et droite. Objet virtuel : 0 * Si 0 f 0, l image est réelle et droite γ = 0 ; 9 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

30 * Si 0 0 γ = 0, l image est virtuelle et renversée e Formule de Bessel C est une méthode de calcul de la distance focale d une lentille. Bessel a montré qu entre un écran et un objet fixes, il existe ositions de la lentille en faisant délacer la lentille our lesquelles l image est nette sur l écran la formule des lentilles minces = est vérifiée uniquement lorsque l image de l objet est f nette sur l écran. Soient D la distance entre l écran et l objet et d la distance entre les ositions de la lentille our lesquelles l image est nette sur l écran. 30 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

31 On a : = f D + = f + D + Df = 0. Cette équation admet solutions lorsque = D 4Df 0 D 4 f. Les solutions sont : D + D 4Df = et D D 4Df =. La distance entre ces ositions est d = = D 4Df Donc : d = D 4Df f = D d 4D f Vergence des lentilles convergence ou uissance La vergence d une lentille est donnée ar la formule : V = f Comme n n = = ( )( ), on aura V = = ( )( ) f n R R n R R 3 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

32 Ici n est l indice de réfraction du matériau dans lequel est taillée cette lentille, n est l indice du milieu dans lequel se trouve la lentille. Si n = V = ( n )( ) R R La vergence se mesure en diotries ou m. g Doublet : Un doublet est l association de lentilles minces, situées sur le même axe et distantes de «e». Le doublet est défini ar 3 aramètres : D ( i, j, k) tels que : f i e f = = = a. j k Où a est l échelle du doublet, i, j et k sont des entiers. f et f sont les distances focales images des lentilles constituant le doublet. La vergence d un doublet est donnée ar : V = V + V evv Où V et V sont les vergences des lentilles séarément et e la distance entre elles. Si e = 0 V = V + V VII. LE PRISME a Définition : Un risme est un milieu transarent d indice n limité ar diotres lans faisant entre eux un angle A aelé angle au sommet. On utilise le risme our diserser la lumière ou our mesurer les indices de réfraction des liquides transarents. 3 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

33 b Déviation donnée ar un risme Soit un risme d indice n et ayant our angle au sommet A. la lumière rentre ar une face sous un angle d incidence α et sort ar l autre face sous un angle α. Le risme se trouve dans un milieu d indice. On a : sinα = n sinα n sin( α ) = sin( α ) π π A + ( α ) + ( + α ) = π A = α α π D) + ( α α ) + ( α α ) = π D α α A ( = Lorsque les angles sont etits conditions de Gauss, les relations récédentes deviennent : α = nα n α = α A = α α D = α α A c Déviation minimale : lorsque l angle d incidence varie il existe un rayon qui émerge arallèlement à la base du risme. La déviation corresondante est dite déviation minimale. 33 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

34 Lorsque à D = α m α m m = α m = α m, la déviation est égale A Une fois la déviation minimale est calculée, on détermine alors l indice de réfraction du risme ou du liquide transarent qui s y trouve ar la relation : A sinα m = nsin( ) Dm + A) sin( n = A sin( ) III. LES SURFACES REFLECHISSANTES (MIROIRS) a) Définition : Toute surface réfléchissante est un miroir. Selon la forme de la surface on distingue : les miroirs lans et shériques. b) Miroir lan : c est une surface lane réfléchissante. L image A B donnée ar un miroir lan est : Virtuelle De même grandeur que l objet ( γ = ) Droite Symétrique de l objet ar raort au miroir. 34 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

35 Déviation donnée ar un miroir : La déviation donnée ar un miroir lan, lorsque l angle d incidence estα, est égale à : D = π α Exemle : Soient miroirs lans non erendiculaires M et M faisant entre eux un angle β. Quelle est la déviation totale donnée ar ces miroirs? D D + D = = ( ) ( ) π α + π α = π ( α + α ) = ( π β ) Exemle : Soient miroirs lans non erendiculaires M et M. Soit un oint lumineux A figure. Construire géométriquement les ositions des images de A données ar ces miroirs. 35 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

36 Les 3 images sont formées aux sommets d un rectangle. c) Miroirs shériques :. Définitions : Les miroirs shériques sont des surfaces réfléchissantes shériques (de rayon R et de centre C). On distingue tyes de miroirs shériques : Convexe et concave. 36 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

37 . Formules des miroirs shériques A artir des formules de conjugaisons obtenues our les diotres shériques, on va retrouver celles des miroirs shériques. Considérons une réflexion comme une réfraction d un milieu d indice n vers un milieu d indice n = - n. On a : n sin( α ) = nsin( α π ) n sin( α) = n sin( α ) S il y a réflexion on a : α = α n = n Pour un diotre shérique : n( ) = n( ) R R n R f = n n nr f = n n n γ = n Pour un miroir shérique : En remlaçant n ar + = R R f = f = γ = n, on obtient : 37 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

38 On constate qu un miroir shérique ossède un seul foyer situé au centre du rayon de courbure du miroir. La formule de conjugaison our un miroir shérique est : + = R = f Quelques constructions géométriques : Miroir concave AB = objet réel A B =image réelle renversée et réduite. γ 0, γ AB = objet réel A B =image réelle renversée et agrandie γ 0, γ 38 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI

39 AB = objet virtuel A B =image réelle renversée et agrandie γ 0, γ Miroir convexe AB = objet réel A B =image virtuelle droite γ 0, γ AB = objet virtuel A B =image virtuelle inversée γ 0, γ AB = objet virtuel A B =image réelle droite γ 0, γ 39 CHAPITRE 4 OPTIQUE GEOMETRIQUE D. DJOUADI