RA Circuits logiques

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1 RA Circuits logiques Logique combinatoire Systèmes de numérotation représentation et arithmétique binaires. Équations logiques et méthodes de simplification Par: Jean-François Fortier 1 Plan Systèmes de numérotation Opérations mathématiques en binaire Codes BCD et GRAY Algèbre de Boole 2

2 Les principales bases Base Décimale (b = 10): a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Base Binaire (b = 2) a {0,1} Base Octale (b = 8) a {0,1,2,3,4,5,6,7} Base Hexadécimale (b = 16) a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 3 Changements de base Représentation de nombres décimaux De la base b à la base décimale De la base décimale à la base b Représentation de nombres binaires De binaire à octal De octal à binaire De binaire à hexadécimal De hexadécimal à binaire 4

3 De la base b à la base décimale (base 10) Ecrire simplement la forme polynomiale, puis calculer. Exemples: (237) 8 = 2x x x8 0 = (159) 10 (56A) 16 = 5x x x16 0 = (1386) 10 (101) 2 = 1x x x2 0 = (5) 10 5 De la base décimale à la base binaire Divisions successives: Exemple: (17) 10 = (?) 2 Solution de l'exemple: 17 2 = 8 reste = 4 reste = 2 reste = 1 reste = 0 reste 1 Donc le nombre est (10001) 2 6

4 De la base binaire à la base décimale Écrire sous la forme polynomiale Exemple: (01101) 2 = (?) 10 Solution de l'exemple: (01101) 2 = (0* * * * *2 0 ) 10 (01101) 2 = ( ) 10 (01101) 2 = (13) 10 7 De la base hexadécimale à la base binaire Opération inverse à la précédente Exemple: (3F5B) 16 = (?) 2 Solution de l'exemple: (3F5B) 16 = ( ) 2 8

5 De la base binaire à la base hexadécimale Conversion en groupant des ensembles de 4 bits. Exemple: ( ) 2 = (?) 16 Solution de l'exemple: ( ) 2 = (12D) 16 9 De la base octale à la base binaire Opération inverse à la précédente Exemple: (3452) 8 = (?) 2 Solution de l'exemple: (3452) 8 = ( ) 2 10

6 De la base binaire à la base octale Conversion en groupant des ensembles de 3 bits. Exemple: ( ) 2 = (?) 8 Rappel: 000 = 0 ; 001 = 1 ; 010 = 2 ; 011 = = 4 ; 101 = 5 ; 110 = 6 ; 111 = 7 Solution de l'exemple: ( ) 2 = (226) 8 11 De la base décimale à la base hexa Divisions successives: Exemple: (1386) 10 = (?) 16 Solution de l'exemple: = 86 reste 10 (ou A) = 5 reste = 0 reste 5 Donc le nombre est (56A) 16 12

7 Addition Opérations mathématiques en binaire Soustraction 13 Addition Opérations mathématiques en binaire La table d addition : = = = = 0 et report de 1 14

8 Opérations mathématiques en binaire Soustraction La table de soustraction : 0-0 = = 1 et retenue de = = 0 15 Opérations mathématiques en binaire Soustraction (suite) Complément à 1 : S obtient en complémentant le nombre binaire. Ex. A = Complément à 1 de A /A = Complément à 2 : S obtient en ajoutant 1 au complémentant à 1. Ex. A = /A = Complément à 2 de A = /A+1 =

9 Opérations mathématiques Soustraction (suite) Soustraction par complémentation à 2 et addition Ex On ajoute des 0s Complément à Complément à On ignore le report 17 Opérations mathématiques en binaire Soustraction (suite) Lorsque le bit le plus significatif = 1, le nombre est négatif Le complément à 2 du nombre négatif redonne le même nombre mais avec un signe positif 18

10 Codes BCD «Binary Coded Decimal» Gray ou binaire réfléchi 19 Code BCD Décimal Codé Binaire : Chaque chiffre d'un nombre est codé sur 4 bits Ce code simplifie la conversion décimale binaire 20

11 Code BCD (Binary coded decimal) Souvent utilisé par les machines à calculer. Combine les avantages du décimal et du binaire. Les chiffres de 0 à 9 suivent le code binaire naturel. Par contre, les valeurs de A à F ne sont pas utilisées. Opérations arithmétiques + complexes. 21 Code Gray Distance de 1 entre deux mots de code consécutif Ce code évite le changement simultané de 2 bits, et donc les états transitoires indésirables. 22

12 Algèbre de Boole Opérations de base Lois fondamentales Théorèmes de Morgan Tables de vérité Tables de Karnaugh 23 Opérations de base Reposent sur 3 opérateurs de base: ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont formées de ces 3 opérateurs 24

13 Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation: F = A ou F = /A 25 Fonction logique ET En anglais: AND Représentation: F = A * B ou A B ou AB 26

14 Application de la porte ET 27 Fonction logique OU En anglais: OR Représentation: F = A + B 28

15 Application de la porte OU 29 Fonction logique NON-ET En anglais: NAND Représentation: F = A * B 30

16 Application de la porte NON ET 31 Fonction logique NON-OU En anglais: NOR Représentation: F = A + B 32

17 Application 33 Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: EXOR Représentation: F = A B B*A+B*A /B*A B*/A 34

18 Fonction NON OU-EXCLUSIF En anglais: EXNOR Représentation: F = A B /B*/A + B*A /B*/A B*A 35 Lois fondamentales de l algèbre booléenne Règles, postulats et théorèmes Utiles pour la simplification des équations logiques! 36

19 Règles, postulats et théorèmes Fermeture: Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. Commutativité A + B = B + A A * B = B * A 37 Règles, postulats et théorèmes Associativité A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C Distributivité ET/OU: A(B + C) = AB + AC OU/ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C) 38

20 Règles, postulats et théorèmes Idempotence A + A = A A * A = A Complémentarité A + A = 1 A * A = 0 39 Règles, postulats et théorèmes Identités remarquables 1 + A = 1 et 1 * A = A 0 + A = A et 0 * A = 0 Distributivité interne A + (B + C) = (A + B) + (A + C) A * (B * C) = (A * B) * (A * C) 40

21 Règles (ou propriétés) de l algèbre booléenne 41 Postulats 42

22 Théorèmes 43 Théorèmes de De Morgan 1) X+Y+Z = XYZ X Y X Y X Y Z Z Z X Y Z 44

23 Théorèmes de De Morgan 2) XYZ = X+Y+Z X Y X Y X Y Z Z Z X Y Z 45 Mise en équation Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0. On peut donc écrire: S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A 46

24 Exemple de simplification S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif" 47 La simplification des équations La simplification est essentielle. On veut avoir le circuit le plus simple possible... La simplification peut être un processus long si le système est complexe. Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier. 48

25 Méthodes de simplification Il est possible d obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique. Méthode de simplification graphique: Diagrammes de Karnaugh 49 Diagrammes de Karnaugh Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2 n (1, 2, 4, 8, 16,...) n = Nombre d entrées 50

26 Diagrammes de Karnaugh Avec n = 2: Entrées B et A 4 cases 51 Diagrammes de Karnaugh Avec n = 3: Entrées C, B et A 8 cases Code de Gray 52

27 Diagrammes de Karnaugh Avec n = 4: Entrées D, C, B et A 16 cases Code de Gray 53 Exemple (Karnaugh) TABLE DE VÉRITÉ DIAGRAMME DE KARNAUGH 54

28 Diagrammes de Karnaugh À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents. Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table La taille d un groupe est un multiple de 2 k (1, 2, 4, 8,...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré. 55 Exemple (Karnaugh) Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B C./B.A /C.B./A+C.B./A=B./A 56

29 Table de Karnaugh Former les plus gros groupes possibles. Termes plus simples. Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes. 57 Exemple (Karnaugh) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. La table se referme sur elle même. /C./A /D.C./B.A /C.B 58

30 Ex. Décodeur BCD 7 Segment 59 Réalisation d une fonction F exprimée en somme de produits avec des portes NON-ET SOP, F = (W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z) /{ /[F] } = /{ /[(W*X) + (/Y*Z) + (X*/Y) + (W*Z)] } F = /{ /(W*X) * /(/Y*Z) * /(X*/Y) * /(W*Z) } À partir de SOP, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-ET 60

31 Réalisation d une fonction F exprimée en produit de sommes avec des portes NON-OU POS F = (W+/Y) * (X+Z) /{ /[F] } = /{ /[(W+/Y) * (X+Z)] } F = /{ /(W+/Y) + /(X+Z)] } À partir de POS, on obtient une réalisation avec seulement des portes NON-OU C est la réalisation la plus simple : 1 X Quad 2-Input NOR 61 MULTIPLEXEUR 4 à 1 I0 I1 I2 I3 4-1 MUX Out S1 S0 Out 0 0 I0 0 1 I1 1 0 I2 1 1 I3 S1 S0 Écrivez l équation de sortie 62

32 DÉMULTIPLEXEUR 1 à 4 O0 In 4-1 MUX O1 O2 Écrivez l équation de sortie O3 S1 S0 - : non utilisé S1 S0 O0 O1 O2 O3 0 0 In In In In 63 DÉCODEUR 2 à 4 O0 I1 I0 O0 O1 O2 O3 I0 I1 Décodeur 2-4 O1 O2 O Écrivez l équation de sortie 64

33 ENCODEUR 4 à 2 I0 I0 I1 I2 I3 O1 O0 I1 I2 Encodeur 4-2 O0 O I Écrivez l équation de sortie 65 ENCODEUR DE PRIORITÉ 4 à 2 I0 I0 I1 I2 I3 O1 O0 I1 I2 Encodeur de Priorité 4-2 O0 O1 1 X X X X X X 1 0 I Écrivez l équation de sortie 66