( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm

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1 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice - qcm Produit scalaire et espace ABCDEFGH est un cube d arête de longueur et on EF considère les milieux I et J des arêtes [ EH ] et [ ] La longueur BI 5 5 vaut BG EJ est égal 0 BG BA à DJ BG est égal CF BG 0 à 5 GI EJ est égal à 0 4 GBI a pour 7 à mesure en près degrés Un vecteur normal au plan ( BIG ) est : Exercice qcm L espace est muni d un repère orthonormé FD On considère les points A( ; ;, B( C( ; ; Un vecteur normal à ; ;, ABC a pour coordonnées : 0 a b c 0 Le plan passant par l origine et de vecteur n ; ; a pour équation : normal a x+ y+ z = b x+ y+ z = 0 c x+ y+ z = La droite passant par A( 0 ; ; et de vecteur est contenue dans le directeur u = i + j + plan d équation : a x+ y+ z = 0 b x y z = 0 c x+ y+ z = 0 EJ DJ 4 La droite ( OA ) avec A( ; 4; ) et le plan P d équation x y+ z+ = 0 sont : a sécants b parallèles c orthogonaux 5 Les plans d équations respectives x y+ z = 0 et x+ 5 y+ z = 0 sont : a sécants b parallèles c perpendiculaires Exercice vrai/faux Si deux droites de l espace sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles La droite d passant par A( ; ; ) et de u ; ; est orthogonale vecteur directeur au plan P d équation x+ y+ z = 0 u ; 0; est un vecteur directeur de la droite d intersection des plans P et P d équations respectives x y+ z = 0 et x+ 4 y 4 z 4 = 0 4 On se donne un plan P, un point C de l espace, non situé dans P, le projeté orthogonal A de C sur le plan P et un point M AB dans le plan P du cercle de diamètre [ ] Alors : «les droites ( CM ) et orthogonales» Exercice 4 vrai/faux ABCDEFGH est un cube et AB = Les points I et J sont AB les milieux respectifs de [ ] et [ CG ] AC AI = AC AI = AI AB IB IJ = IB IC = IB π 4 AB IJ = AB IC cos 5 AF HC = 0 MB sont - -

2 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice 5 On a représenté ci-dessous le cube OADBCFGE dans le, I désigne le centre repère orthonormé du carré DBEG, L et K les points définis par : 5 CL = CE et AK = AF Vérifier que OA = OB = OC 5 Déterminer une équation paramétrique de la OI où I désigne le milieu du segment droite [ AB ] 6 Déterminer les points communs à la droite S ( OI ) et la sphère Exercice 7 qcm Dans un repère orthonormé ( OI JK) points A( ; ;, B( ; ; ) et C( ; ;,,,, on donne les Donner les coordonnées des points A, E, I, K et L Calculer la norme du vecteur AE Déterminer les coordonnées du vecteur unitaire e, colinéaire à AE et de même sens Montrer que le triangle KIL est rectangle 4 Déterminer une équation de la sphère S de Ω ; ; qui passe par O Exercice 6 centre Dans un repère orthonormé ( ) points A( ; ; ), B( ; ; ) et C( ; ; ) on donne les Démontrer que les trois points A, B et C S de centre appartiennent à une sphère D( 0; 0; 4) dont on précisera le rayon Déterminer une équation cartésienne de ( S ) ( S ) est-elle la seule sphère passant par ces trois points? Les points A, B et C : a sont alignés b appartiennent à une même sphère de centre O c appartiennent à un même cercle de centre O Le triangle ABC est : a isocèle en A b isocèle en B c rectangle en B Le produit scalaire AB AC vaut : a b 9 c AC AB, AC vaut : 4 L angle géométrique de l angle a ABC π b π c Exercice 8 vrai/faux On considère les points A, B, C et S de coordonnées A ; 0; B 4 C ; 4; et respectives : ( ), ( ; ; ), S( 4; 0; 4) Le triangle ABC est rectangle en A Le triangle ABC est isocèle en A SO est orthogonal à AB 4 SO AC = Exercice 9 Dans le repère orthonormé ( ) on donne les droites et de représentations paramétriques : x = + t x = 5 t' y = t ( t R ) et y = t' ( t' R ) z = 7 + t z = t' Démontrer que les droites et sont orthogonales Sont-elles perpendiculaires? - -

3 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice 0 On donne la propriété suivante : «Par un point de l espace, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée» Sur la figure donnée ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d arête On a placé : Les points I et J tels que BI = BC et EJ = EH ; IJ Le milieu K de [ ] P le projeté orthogonal de G sur le plan ( FIJ ) Exercice Dans l espace rapporté à un repère orthonormal A ; ;,, on considère les points B( 5; ; ), C( 6; ; ) et D( 4 ) ; ; Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle n ; ; est un Montrer que le vecteur vecteur normal au plan ( ABC ) En déduire une équation du plan ( ABC ) 4 Montrer que la distance du point D au plan ABC est égale à 5 Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume Exercice Une unité de longueur étant choisie dans l espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB =, AD = et AE = Partie A Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F IJ sont En déduire que les droites ( FK ) et orthogonales Démontrer que les droites ( GK ) et orthogonales IJ sont Démontrer que la droite ( IJ ) est orthogonale au plan ( FGK ) 4 Démontrer que la droite ( IJ ) est orthogonale au plan ( FGP ) 5 Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires 6 En déduire que les points F, P et K sont alignés Partie B L espace est rapporté au repère orthonormal ( A;AB,AD,AE) On appelle N le point d intersection de la droite ( GP ) et du plan ( ADB ) On note ( x, y, 0 ) les coordonnées du point N Donner les coordonnées des points F, G, I rt J GN est orthogonale Montrer que la droite aux droites ( FI ) et ( FJ ) Exprimer les produits scalaires GN FI GN FJ en fonction de x et y 4 Déterminer les coordonnées du point N 5 Placer alors le point P sur la figure et On appelle I le milieu de [ ] repère orthonormé AD L espace est muni du A; AB, AI, AE Déterminer, dans un repère choisi, les coordonnées des points F, G et H Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à Montrer que le triangle FIH est rectangle en I 4 En exprimant V d une autre façon, calculer la FIH distance d du point G au olan 5 Soit le vecteur n de coordonnées ( ; ; a Montrer que n est normal au plan FIH b En déduire une équation cartésienne FIH du plan c Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan ( FIH ) - -

4 ENSM cours pi Marc Bizet La droite ( AG ) est-elle perpendiculaire au plan ( FIH )? Donner un système d équations paramétriques de cette droite 7 Déterminer les coordonnées du point FIH d intersection K de ( AG ) et 8 Soit Γ la sphère de centre G passant par K Quelle est la nature de l intersection de Γ et du plan ( FIH )? Exercice Vrai/faux On considère le triangle rectangle en B tel que BAC = 0 Un point D se projette orthogonalement ABC et on a AD = AC = a Alors : en A sur le plan a AB AC = 4 BC CD = BC CA a CB CD = 4 a 4 BC CD = 4 Exercice 4 qcm ABCD est un tétraèdre régulier d arête a I et J sont AD les milieux respectifs des côtés [ BC ] et [ ] AI AD est égal à : a a b a c AJ AD AI CD est égal à : a 0 b AC CA c 4 a AI CJ est égal à : 4 a 4 a b a c AB BC IJ est égal à : a a b a AJ AI CJ CI c Exercice 5 Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle vérifiant : AB = AE = et AD = 4 Soit I le centre du rectangle EH ABFE et J le milieu du segment [ ] calculer les produits scalaires suivants : a BC IH b BJ FA c JI JG Déterminer à 0, près, la mesure en degrés de l angle IJG Exercice 6 qcm Soit ABCDEFGH un cube de côté On choisit le repère A, AB, AD, AE orthonormé y z = 0 est une équation cartésienne du plan : AHG a b ( AGC ) c ( ABG ) Le plan d équation x + y + z = est le plan : a ( EAC ) b ( EBD ) c ( BDG ) La droite de représentation paramétrique x = t y = ( t R ) est contenue dans le plan : z = t a ( BCH ) b ( BCD ) c ( CDH ) - 4 -

5 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice 7 vrai/faux On considère les points A, B, C et S de coordonnées A ; 0; B 4 C ; 4; et respectives ( ), ( ; ; ), S( 4; 0; 4) x + z = 0 est une équation du plan le vecteur n( ; 0; ) ( ABC ) le vecteur j est normal au plan ( ABC ) 4 Les plans ( ABC ) et ABC est normal au plan CSB se coupent suivant une droite qui a pour vecteur directeur : u ; 4; 5 l ensemble des points de coordonnées 6 5t; 0; + t avec t réel est une droite qui porte une arête du tétraèdre SABC Exercice 8 qcm L espace est rapporté à un repère orthonormé Soient A et B deux points distincts de l espace L ensemble des points M de l espace tels que MA = MB est : a l ensemble vide b un plan c une sphère Les droites de représentations paramétriques respectives : x = x = t' y = + t ( t R ) et y = 7 4t' ( t' R ) z = + t z = t' sont : a parallèles b sécantes c non coplanaires La droite de représentation paramétrique x = 4t y = + t ( t R ) et le plan d équation z = + t x y + 5z = 0 sont : a orthogonaux b parallèles c ni orthogonaux, ni parallèles M x; y; z tels que : 4 L ensemble des points x y + z = 0 et x + 4y 4z + = 0 est a l ensemble vide b une droite c un plan Exercice 9 Donner, pour chaque plan P, les éléments manquants de la liste suivante : un point un vecteur normal deux vecteurs non colinéaires une équation cartésienne P passe par le point B( 4 vecteur normal n( ; ; 5) P a pour équation cartésienne : x + y z = 0 4 A ; ; ; ; et a pour P passe par les points ( ), B( 0 C( ; ; 5 P passe par le point A( ; ; ) ; ;, 4 P a pour équation cartésienne y = et i et j sont deux vecteurs de P Exercice 0 qcm Dans l espace rapporté à un repère orthonormé OA, OJ, OG on considère les cubes OABJGDEH et JBCKHEFI Le triangle GBI est : a isocèle b équilatéral c rectangle le produit scalaire AH FC est égal à : a b c Les points B, C, I, H : a Sont coplanaires b Forment un rectangle c Forment un carré 4 une représentation paramétrique de la droite ( KE ) est : x = t = + z = t a y t ( t R ) - 5 -

6 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 x = + 4t = z = 4t x = t y = + t t R z = t b y t ( t R ) c 5 Une équation cartésienne du plan ( GBK ) est : a x + y z = 0 b x + y = 0 c x + y + z = 7 Soit M un point quelconque du segment [ ] On pose CM = λcd avec λ [ 0 ; ] CD λ λ + cosamb = a Montrer que ( λ λ + ) b On pose f ( λ ) = ( λ λ + ) Prouver que cos AMB = f ( λ ) c Etudier les variations de f d En déduire la position de M pour laquelle l angle AMB est maximum Quelle est le valeur de ce maximum? Exercice vrai/faux La droite passant par A( ; ; et de 5 vecteur directeur u est parallèle au plan d équation : x + y + z + = 0 L ensemble des points M de l espace dont les x; y; z vérifient l équation coordonnées y = x + est une droite Les plans P et P d équations respectives : x y + z = 5 et 4x + y z = 0 sont perpendiculaires 4 Le plan P d équation x y z + = 0 passe par A( 0 0 ; ; et est dirigé par u et u 0 Exercice - vrai/faux Dans l espace muni du repère orthonormé, on considère les points : A( ; 0;, B( ; ; et C( ; ; Placer sur une figure les points A, B et C dans O, i, j le plan Montrer que le triangle ABC est équilatéral de centre O Déterminer l ensemble des points M de l espace équidistants des points A et B 4 Déterminer l ensemble des points N de l espace équidistants des points B et C 5 En déduire l ensemble des points P de l espace équidistants A, B et C 6 Montrer qu il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est positive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier, et calculer ses coordonnées Exercice Le solide ci-dessous est un antiprisme dont les bases carrées sont parallèles et telles que les diagonales de l un sont parallèles aux côtés de l autre Ses faces latérales sont des triangles équilatéraux Calculer les produits scalaires AC BD AC BI En déduire que le plan perpendiculaire au plan ( ABC ) et BDI est Démontrer que le plan médiateur de [ BD ] est un plan de symétrie de ce solide Exercice 4 Soient points de l espace A, B, C non alignés et soit un réel de l intervalle [ ; ] On note G le barycentre du système : {( A ; ),( B ; ),( C ; )} + Représenter les points A, B, C, le milieu I de [ BC ] et construire les points G et G Montrer que, pour tout réel de l intervalle [ ; ], on a l égalité : AG = BC + Etablir le tableau de variation de la fonction f ; par : définie sur [ ] f ( x) = x x

7 ENSM cours pi Marc Bizet En déduire l ensemble des points G quand ; Pour la suite de décrit l intervalle [ ] l exercice, aucune figure n est demandée 5 Déterminer l ensemble E des points M de l espace tels que : MA + MB MC = MA MB + MC 6 Déterminer l ensemble F des points M de l espace tels que : MA + MB MC = MA MB + MC 7 L espace est maintenant rapporté à un repère Les points A, B, C orthonormal ont pour coordonnées respectives ( 0; 0; ), ( ; ; et ( ; ; 5) Le point G et les ensembles E et F sont définis comme cidessus a Calculer les coordonnées de G et G Montrer que les ensembles E et F sont sécants b Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F Exercice 5 concours 0 On considère un cube ABCDEFGH de côté et le point M de la demi-droite AE défini par : [ ) AM = AE Déterminer le volume du tétraèdre ABDM I est le barycentre du système de points M;,( B;,( D; a Exprimer BI en fonction de BM et de BD b Calculer BI AM et BI AD et en déduire BI MD c On admettra que DI MB = 0 ; préciser ce que représente I pour le triangle BDM Démontrer les égalités AI MB = 0 et AI MD = 0 En déduire une propriété de la droite ( AI ) 4 Montrer que le triangle BDM est isocèle, calculer son aire et déterminer la distance AK Exercice 6 concours 005 Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les trois points suivants : A( ; 0;, B( ; ; et C( 8 4) n est demandée ; ; Aucune figure A partir de deux vecteurs u( x, y, z) et v( x y z ) définit un troisième vecteur w = u v x'', y'', z'' vérifient : coordonnées x'' = yz' y' z y'' = x' z xz' z'' = xy' x' y ', ', ', on Exprimer, pour un point M( x y z) dont les,, les coordonnées du vecteur AM BM en fonction de x, y, z Définir le lieu des points M tels que AM BM = 0 en remarquant que la relation est vérifiée si M = A ou si M = B x + y z = 4 Résoudre le système : x y z = x + y z = 8 4 Montrer qu il existe un unique point N vérifiant AN BN = CN et donner les coordonnées du point N Exercice 7 exercice de prépa L espace est muni du repère orthonormal Soient P et Q des plans d équations respectives x 4 y + 0 = 0 et x y + z = 0 Montrer que les plans P et Q sont sécants On dit que ax + by + cz + d = 0 est une équation normale du plan lorsque a + b + c = Déterminer une équation normale pour chacun des plans P et Q? Soit ax + by + cz + d = 0 une équation du plan Π Soit A un point de coordonnées x ; y ; z Dans quel cas a-t-on ( A A A ) d ( A, Π ) = axa + bya + cza + d? 4 Soit ( E ) l ensemble des points M de l espace tels que d ( M, P) = d ( M, Q) Montrer que E est la réunion de deux plans perpendiculaires - 7 -

8 ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice 8 L espace est muni du repère orthonormé O ; i, j, On considère les points A( ; ; ), B( ; 7 ; 4 ), C( ; ; ) Montrer que l ensemble des barycentres de ( A, λ ), ( B, λ ) et ( C, 4λ ), λ R est la droite dont une x = + t = z = + t équation paramétrique est y t ( t R ) Exercice 9 L espace est rapporté au repère orthonormé O ; i, j, Soit ( P ) le plan d équation x y + z 4 = 0 Déterminer une équation de la sphère de rayon 6, ; ; P tangente en C( 0 6 ) au plan 5 On donne H( ; ; 5 ) et H' ( ; 0 ; 4 ) Vérifier que H ( D) et H' ( D' ) 6 Démontrer que ( HH' ) est perpendiculaire à ( D ) et ( D ') 7 Calculer HH', la distance entre ( D ) et ( D ') 8 Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MH' HH' = 6 Exercice Dans un carré de côté 0 cm, on a tracé le patron d un tétraèdre représenté ci-contre, où le sommet situé en haut à droite est relié aux milieux de deux côtés On veut réaliser le tétraèdre et y enfermer une boule qui soit parfaitement tangente aux quatre faces du tétraèdre Exercice 0 On considère les plans ( P ) et Q d équations respectives z = x + y + et x + 6 y z 4 = 0 Démontrer que les plans ( P ) et Q sont parallèles Déterminer la distance entre ces deux plans De façon générale, si on considère les deux plans d équations respectives : ax + by + z + d = 0 et ax + by + cz + d = 0, montrer que la distance entre ces deux plans d d est D = a + b + c Quelle sera le diamètre de cette boule? Exercice On considère le point A( ; 8 ; 4 ) u( ; 5 ; ) ( ) et le vecteur dans un repère orthonormal Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( D ) passant par A et de vecteur directeur u On considère les plans ( P ) et ( Q ) d équations cartésiennes respectives x y z = 7 et x z = Démontrer que les plans ( P ) et Q sont sécants Donner une représentation paramétrique de D' = P Q 4 Démontrer que ( D ) et ( ') coplanaires D ne sont pas - 8 -

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