Proprié té s dé gé omé trié plané

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1 Proprié té s dé gé omé trié plané Droites Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles (fig.1). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. De même, si deux droites sont parallèles entre elles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une alors elle est aussi perpendiculaire à l autre (fig.2). Si AC + CB = AB, alors A, C et B sont alignés (fig.3) Si (AB) et (AC) sont parallèles alors les points A, B et C sont alignés (fig.4) Figure 3 Figure 4 Médiatrice Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c est la médiatrice de ce segment (fig.1). Si un point est sur la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. De même, si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d un segment alors c est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités d un segment et est perpendiculaire à ce segment, alors c est la médiatrice de ce segment (fig.2). 1

2 Triangle Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. De même, si dans un triangle la longueur de la médiane issue d un sommet est égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet. (fig.1) Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l hypoténuse (fig.2). Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. De même, si un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté (fig.3). Si un point est situé sur la médiane d un triangle et qu il est situé au 2/3 par rapport au sommet alors c est le centre de gravité du triangle. De même, si une droite passe par un sommet et par le centre de gravité d un triangle alors elle coupe le côté opposé au sommet en son milieu (fig.4). Si une droite passe par un sommet et l orthocentre d un triangle, alors elle est perpendiculaire au côté du triangle opposé à ce sommet (fig.5). Si un triangle est isocèle alors la hauteur issu du sommet principal est aussi une médiane et une médiatrice (fig.6). Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit (et réciproquement) (fig.1 : AD 2 = AB 2 + BD 2 ). Théorème de Thalès : si deux droites sont sécantes en A, que chaque droite dispose de deux points B et C et B et C, et si (BB ) // (CC ), alors AB = AB = BB et réciproquement (fig.7). AC AC CC Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 7 2

3 Parallélogramme Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c est un paraléllogramme (fig.1). Si les diagonales d un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme (fig.2). Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur (fig.3). Figure 3 Losange Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et si ses côtés sont parallèles deux à deux alors c est un losange. De même, si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange (fig. 1). Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu et qui sont perpendiculaires, alors c est un losange. De même, si un quadrilatère est un parallélogramme qui a des diagonales perpendiculaires alors c est un losange (fig.2) Cercle Si deux points sont sur un cercle, alors le centre de ce cercle est équidistant de ces deux points (fig.1) Si dans un cercle un triangle a pour sommet les extrémités d un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point (fig 2.). 3

4 Rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits alors c est un rectangle (fig.1). Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, sont de même longueur et ses quatre angles sont droits. De même, si un quadrilatère est un parallélogramme qui a un angle droit alors c est un rectangle (fig.2). Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueur, alors c est un rectangle. De même si un quadrilatère est un parallélogramme qui a des diagonales de même longueur alors c est un rectangle (fig.3). Figure 3 Carré Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur (= est un losange) et un angle droit, alors c est un carré (fig.1). Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (fig.1). Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur, alors c est un carré. De même, si un quadrilatère est un losange qui a un angle droit et deux diagonales de même longueur, alors c est un carré (fig.2). 4

5 Angles Dans un triangle la somme des angles est égale à 180 (fig.1). Si un triangle est isocèle, il a deux angles de même mesure (fig.1). Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont de même mesure, et ses angles consécutifs sont supplémentaires (fig.2) Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure (fig.3). Deux angles alternes-internes ou correspondants formés par des droites parallèles sont de même mesure. De même, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ou correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles (fig.4). Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux (fig.5). Si dans un cercle un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre (fig.6). Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 5