Quadripôles passifs linéaires : corrigé des exercices

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1 Exercice : diviser de tension On considère le dispositif ci contre :. Étde d circit v de l'entrée Qadripôles passifs linéaires : corrigé des exercices a. Exprimer l impédance d entrée d qadripôle en fonction de, et. Les résistances et sont en parallèle et ler association est en série avec d'où l'impédance d'entrée e +. + b. En dédire la valer efficace de i e (t) si v e (t) 5.sin(000.t) et 500 W. Les valers des résistances permettent de calcler e Ω et comme v e (t) e i e (t ) (d'après la loi d'ohm) alors i e (t ) v e(t) 5.sin (000.t) 5 sin(000.t). e e e La valer maximale de i e (t ) est de 5 3,57 ma soit ne valer efficace 400 3,57,5 ma kw et kw forment le diviser de tension. est la résistance de charge. L impédance interne d générater imposant v e (t) est spposée nlle.. Exprimer l impédance de sortie d qadripôle en fonction de et. Por déterminer l'impédance de sortie, il fat débrancher la charge (ici ) et remplacer le générater placé en entrée par son impédance interne ce qi revient ici à placer en entrée n cort circit car cette impédance interne est nlle. Le circit à étdier se rédit ax résistances et en parallèle soit Z s s Calcler la fonction de transfert T V s associés respectivement à v e (t) et v s (t). V e à vide ( est débranchée). V e et V s sont les nombres complexes On appliqe la loi d diviser de tension V s + V e ce qi donne T V s V e + 4. Le schéma ci contre représente le qadripôle avec ne résistance en sortie. Indiqer les valers littérales des résistances et de la sorce de tension. D'après ce qi précède e +. + ; s. + et T + Exprimer V s en fonction de V e et des résistances, et. Qadripôles Page sr 0 TSET 04 05

2 On appliqe la loi d diviser de tension sr la maille de sortie : V s T V + e pis on remplace la s fonction de transfert et la résistance de sortie par les expressions trovées précédemment V s + V + e V ( + )+ e + Exercice : détermination d'impédances d'entrée et de sortie Les qadripôles représentés ci dessos sont «attaqés» par n générater dont l'impédance interne est ne résistance notée g. La charge est représentée par ne impédance Z. Déterminer por chacn d'ex les impédances complexes d'entrée et de sortie lorsqe Z est résistive (Z ) pis lorsqe Z est constitée d'ne capacité C en parallèle avec ne résistance. Por chaqe sitation, il est conseillé de dessiner le schéma... Por le qadripôle de gache sr charge résistive Impédance d'entrée : la capacité C est en parallèle avec la résistance et ler association est en série avec la résistance soit jc ω j C ω j C ω (mltiplication par j C ω a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : l'impédance interne d générater est placée en entrée d qadripôle, elle en série avec la résistance et ler association est en parallèle avec la capacité C soit ( g +) j C ω Z s g ++ g + + j( g +)C ω jc ω (mltiplication par j C ω a nmérater et dénominater). Por le qadripôle de gache sr charge résistive et capacitive C. Impédance d'entrée : les dex capacités C et C sont en parallèle (elles s'additionnent) avec la résistance et ler association est en série avec la résistance soit j(c+c )ω j + (C+C )ω j(c +C )ω (mltiplication par j C ω a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : elle est identiqe à celle de la sitation précédente (le schéma est inchangé). Qadripôles Page sr 0 TSET 04 05

3 Por le qadripôle d milie sr charge résistive Impédance d'entrée : l'indctance L est en parallèle avec la résistance et ler association est en série avec la résistance soit j Lω + (mltiplication par + j L ω j C ω a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : l'impédance interne d générater est placée en entrée d qadripôle, elle en série avec la résistance et ler association est en parallèle avec l'indctance L soit Z s ( g+) j Lω g ++ j L ω (mltiplication par j C ω a nmérater et dénominater). Por le qadripôle d milie sr charge résistive et capacitive C. Impédance d'entrée : l'indctance L et la capacité C sont en parallèle avec la résistance et ler association est en série avec la résistance soit j + + L ω j L ω + j C ω j L ω+ + LC ( j ω) + (mltiplication par j L ω a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : elle est identiqe à celle de la sitation précédente (le schéma est inchangé). Por le qadripôle de droite sr charge résistive Impédance d'entrée : la capacité est en parallèle avec les résistances et et ler association est en série Z avec la résistance soit e j C ω + + j C ω + (mltiplication par a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : l'impédance interne d générater est placée en entrée d qadripôle, elle en série avec la résistance et ler association est en parallèle avec la résistance et la capacité C soit ( Z s + + g ) + j C ω + + g + j ( + g )C ω + g (mltiplication par + g a nmérater et dénominater). Por le qadripôle de droite sr charge résistive et capacitive C. Impédance d'entrée : les dex capacités C et C sont en parallèle (les capacités en parallèle s'ajotent, il fat remplacer «C» par «C + C» dans les éqations) avec les résistances et et ler association est Z en série avec la résistance soit e j(c +C )ω + + j (C+C )ω + (mltiplication par a nmérater et dénominater). Impédance de sortie : elle est identiqe à celle de la sitation précédente (le schéma est inchangé). Qadripôles Page 3 sr 0 TSET 04 05

4 Exercice 3 : mesres d'impédances d'entrée et de sortie On considère n qadripôle dont les bornes d'entrée sont reliées à n générater de résistance interne égale à 75 W. La charge d qadripôle est égale à 50 W. Por déterminer les impédances d'entrée et de sortie d qadripôle, on tilise les montages ci dessos : Indications des appareils : 8,4 V et 67 ma Indications des appareils : 7,5 V et 33 ma. Le GBF délivre ne tension sinsoïdale, indiqer le type des appareils de mesre tilisés (MS o «classiqes») ainsi qe ler position (AC, DC, AC + DC). Totes les granders étant sinsoïdales, des mltimètres «classiqes» en position AC sont sffisants.. Impédance d'entrée a. Indiqer le montage tilisé por sa détermination. C'est le montage de gache : la résistance de charge est branchée en sortie et les mesres sont faites sr les corant et tension en entrée. b. Qelle est la valer de la résistance? D'après l'énoncé, la charge d qadripôle est égale à 50 W, c'est donc la valer de la résistance. c. Calcler le modle de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesre. V e avec V I e 8,4 V et I e 67 ma soit 8,4 5 Ω 3 e Impédance de sortie a. Qelle est la valer de la résistance? D'après l'énoncé, la résistance interne d générater placé én entrée d qadripôle est égale à 75 W, c'est donc la valer de la résistance. b. Calcler le modle de cette impédance d'entrée à partir des indications des appareils de mesre. Z s V s avec V I s 7,5 V et I s 33 ma soit Z s 7,5 7 Ω 3 s 33.0 c. Proposer ne méthode por la détermination expérimentale de l'argment de l'impédance de sortie. On complète le montage de droite en rajotant ne entrée d'oscilloscope por visaliser la tension entre les points S et S ; ne résistance en série avec le GBF ax bornes de laqelle est placée ne entrée d'oscilloscope por visaliser l'image d corant. La détermination de l'argment de l'impédance de sortie se fait en mesrant le déphasage entre les dex traces affichées à l'oscilloscope. Qadripôles Page 4 sr 0 TSET 04 05

5 Exercice 4 : Étde d'n qadripôle On étdie le qadripôle représenté ci contre. La résistance placée entre ses bornes de sortie représente sa charge.. Détermination de l'impédance d'entrée a. Exprimer l'impédance d'entrée d qadripôle en fonction de C,, et de la plsation w des granders d'entrée. Les résistances et sont en parallèle et ler association est en série avec la capacité C. + + j C ω kw, C 470 nf, 470 W b. Mettre l'impédance d'entrée sos la forme e + j X e et donner les expressions de e et X e en fonction des éléments d montage. Comme j j, la relation précédente devient Z e + j C ω proposée dans l'énoncé e + et X e C ω et en identifiant avec la forme c. Vers qelle valer tend le modle de l'impédance d'entrée si les granders d'entrée sont contines? aisonnement «physiqe» : si les granders sont contines alors la capacité se comporte comme n circit overt et l'impédance d'entrée tend vers l'infini. aisonnement «mathématiqe» : le modle de l'impédance d'entrée s'écrit Z ( e + ) +( C ω ), si la plsation w tend vers zéro (contin) alors tend vers l'infini.. Étde por ne fréqence de 000 Hz La tension d'entrée d qadripôle est sinsoïdale, de fréqence khz et de valer efficace 8 V. a. Calcler le modle de l'impédance d'entrée por khz. Le modle de l'impédance d'entrée s'écrit ( ) +( π 000 ) 466 Ω b. En dédire la valer efficace de l'intensité en entrée d qadripôle. Pisqe V e alors I I e V e 8 7, ma e 466 c. Calcler l'argment de l'impédance d'entrée por khz. cos(arg( )) ( + ) +( C ω ) soit por khz La partie imaginaire étant négative, l'argment sera négatif. Expression d cosins : + ( + ) +( C ω ) ,686 qi donne 466 Arg( )arccos (0,686) 47 Qadripôles Page 5 sr 0 TSET 04 05

6 d. En dédire le déphasage de la tension par rapport à l'intensité en entrée d qadripôle. Pisqe V e I e alors Arg( ) Arg(V e ) Arg(I e ) soit Arg(V e ) Arg( )+ Arg(I e ), la tension est déphasée de Arg( ) 47 par rapport à l'intensité : la tension est en retard de 47 sr l'intensité. e. Parmi les graphes ci dessos et cex de la page sivante, leqel (o lesqels) pet (pevent) correspondre a cas étdié? Échelle verticale : ne division por 5 ma o ne division por V. Le corant est en retard L'amplitde de l'intensité ne correspond pas L'amplitde de l'intensité ne correspond pas L'amplitde de l'intensité ne correspond pas L'amplitde de l'intensité ne correspond pas L'amplitde de l'intensité correspond et le déphasage est proche de 50. Qadripôles Page 6 sr 0 TSET 04 05

7 Exercice 5 : répartiter d'antenne Une antenne de télévision se comporte comme n dipôle d'impédance de sortie égale à 75 W. Elle est reliée a téléviser par n câble d'impédance caractéristiqe Z 0, spposée résistive et égale à 75 W.. Exprimer la pissance P a transmise par l'antenne en fonction de la pissance P r q'elle reçoit. L'adaptation d'impédance étant réalisée, la pissance P a est égale à la moitié de P r Démonstration : Valer efficace de la tension ax bornes d téléviser (circit de réception) : V t a + V a avec V a la valer efficace de la tension ax bornes de l'antenne, a 0 la résistance de sortie de l'antenne et la résistance d'entrée d téléviser 0. Les impédances étant spposées résistives : P r V a et P + a V t a V a ( P a P + a + a + r et comme a 0 alors P a a P r On sohaite relier qatre télévisers à cette antenne. V + a ) a ce qi donne. Premier montage : le raccordement réalisé est schématisé ci contre. a. Calcler l'impédance ve par l'antenne. Comparer la pissance P a4 transmise par l'antenne dans cette sitation avec la pissance P a. Les impédances des qatre télévisers sont en parallèle, l'antenne «voit» donc ne impédance 4t ,75 Ω. On a maintenant P 4t a4 P 4t + r 8,75 a 8,75+75 P 0,P r r b. Calcler la pissance reçe par chaqe téléviser. Les télévisers étant identiqes, ils reçoivent le qart de la pissance calclée précédemment soit P t4 0, 4 P r0,05p r ce qi correspond à n dixième de ce qe recevait n téléviser sel. 3. Dexième montage : por améliorer le fonctionnement, le montage ci contre est proposé (les résistances sont notée ). a. Exprimer l'impédance éqivalente ve par l'antenne en fonction de et 0. Il y a qatre associations série de et 0 ( + 0 ) qi sont connectées en parallèle ( l'ensemble est en série avec ne résistance ) et D'où l'impédance éqivalente (résistive pisqe totes les atres impédances le sont) : e b. Calcler por qe la charge branchée sr l'antenne soit égale à son impédance caractéristiqe. Qadripôles Page 7 sr 0 TSET 04 05

8 On doit obtenir e soit + 0 4( 0 ) qi donne soit finalement c. Calcler la pissance reçe par chaqe récepter et la comparer avec celle de la sitation précédente. L'adaptation d'impédance étant réalisée, P t4adapt P r ; es télévisers étant identiqes, ils reçoivent le qart de cette pissance soit P t4adapt 4 P r0,5 P r ce qi correspond à n qart de ce qe recevait n téléviser sel mais à dex fois et demi ce qe recevait chaqe téléviser sans le répartiter. Exercice 6 : adaptation d'impédance et rendement Un générater sinsoïdal est représenté par ne fém de valer efficace E g en série avec ne résistance g et ne réactance X g (constitant l'impédance d générater). La fréqence est notée f. Une impédance Z, constitée d'ne résistance en série avec ne réactance X, est placée ax bornes d générater (charge).. Dessiner le schéma de l'association.. Expression de l'intensité dans le circit a. Exprimer le nombre complexe I associé à l'intensité à travers le générater en fonction des éléments d montage. Les 4 impédances sont en série et somise à la tension E g d'où le nombre complexe associé a corant E g I g + j X g + + j X b. Exprimer la valer efficace de l'intensité à travers le générater. On prend le modle d nombre complexe précédent : I ( g + ) +(X g +X ) 3. L'adaptation d'impédance est réalisée. a. Écrire la novelle expression de la valer efficace de l'intensité à travers le générater. D'après le cors, on a alors g et X g X ce qi donne I E g b. Exprimer le pissance fornie par le générater et celle reçe par la charge. Calcler le rendement. Cette sitation est elle sohaitable dans le cas de la distribtion d'énergie électriqe. Le générater «fornit» sa pissance à l'association série des résistances soit E g La charge «reçoit» P I E g P g I E g. Le rendement η P P g 0,5, cette sitation n'est pas sohaitable dans le cas de la distribtion électriqe. Qadripôles Page 8 sr 0 TSET 04 05

9 Exercice 7 : adaptation en tension Un capter de masse délivre à vide ne tension V p0 évolant entre 0 et 0 V lorsqe la masse M q'il mesre évole de 0 à 5000 kg. Le facter de proportionnalité entre V p0 et M est noté K : V p0 K.M.. Calcler K. Por M5000 kg, on a V p0 0V ce qi donne K V/kg La résistance de sortie d capter est notée p et vat kw. Le capter pet donc être représenté par ne fém (notée E p ) en série avec la résistance p. Le capter est raccordé à ne entrée d'atomate dont la résistance d'entrée est notée a.. Tensions en entrée de l'atomate a. Exprimer V p (tension de sortie d capter) en fonction de E p, p et a (il pet être jdiciex de représenter le schéma éqivalent). La loi d diviser de tension permet d'écrire : V p E p a p + a b. Calcler V p si a 5 kw lorsqe M 500 kg. Si M 500 kg alors E p K M V ce qi donne V p 5 c. Qelle valer de a donnerait V p 5 V lorsqe M 500 kg? Il fadrait qe a tende vers l'infini. Exercice 8: démonstration de la condition d'adaptation d'impédance Le schéma ci contre représente la liaison entre dex qadripôles, l'n est représenté par E s et Z s (fém et impédance de sortie), l'atre est représenté par son impédance d'entrée ,7 V. Expression de la pissance transmise à a. Exprimer I en fonction des éléments d montage D'après la loi d'ohm : Z s s j X s et e j X e E s I E s Z s + s + e + j(x s +X e ) b. Exprimer la pissance P transmise a second qadripôle en fonction de e, X e, s, X s et E s. Le second qadripôle reçoit ne pissance P e I et I ce qi donne ( s + e ) +(X s +X e ) E s P e ( s + e ) +( X s + X e ). L'objectif est de montrer qe la pissance transmise est maximale si les impédances et Z s ont des parties réelles égales et des parties imaginaires de même valer absole mais de signes contraires. a. La pissance est maximale si le dénominater est minimal, en dédire la condition sr les parties imaginaires des impédances de sortie et d'entrée. Écrire l'expression de P lorsqe cette condition est vérifiée. Por qe le dénominater soit minimal, il fat qe la partie imaginaire de l'impédance Z s + soit nlle ce qi donne X s +X e 0 d'où X s X e E s Qadripôles Page 9 sr 0 TSET 04 05

10 E L'expression de la pissance devient P s e ( s + e ) b. Déterminer l'expression de la dérivée de P (qestion.a) par rapport à e et montrer q'elle s'annle lorsqe e s. On pet écrire P avec v e E s et v( s + e ), la dérivée de de P par rapport à e pet dp s'écrire v' v ' d e v avec 'E s et v '( s + e ) dp ( s+ e ) E s e E s ( s + e ) d e [( s + e ) ] Cette dérivée s'annle si son nmérater est nl : ( s + e ) E s e E s ( s + e )0 en simplifiant par E s pis en développant, on obtient Les termes s e se simplifient, il en est de même por e pet s'écrire ( s e )( s + e )0 s + s e + e s e e 0 et e La dérivée s'annle por s e ce qi n'est physiqement pas possible et s e d'où s e 0 qi Qadripôles Page 0 sr 0 TSET 04 05