Mathématiques. préparation à la Terminale STMG

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1 Mathématiques préparation à la Terminale STMG Correction Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 1/11

2 Notations : «appartient à», symbole utilisé entre un élément et un ensemble : symbole de l intersection : symbole de la réunion Ensembles de nombres est l ensemble vide N est l ensemble des nombres entiers naturels (positifs et nul) R est l ensemble des nombres réels Fractions (écrire sous la forme d une seule fraction) Pour tous réels,, et non-nuls + + = = = = Calculer sans calculatrice (puis vérifier à la calculatrice) = = = = = = = = = = = = 7 = = 5 Puissances Pour tous réels et non-nuls. Pour tous entiers naturels et. = 1 = = 1 = = = = = Formes d une expression algébrique Les identités remarquables + = + + = + + = ne pas confondre + = + = = ne pas confondre = + + = 3 Compléter = = 1 4 = = 7 2 Racines carrées Pour tous et positifs = si 0, = = Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 2/11

3 Equations signifie «est équivalent à» = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 0 Pour tout réel Si < 0 alors l équation = n admet pas de solution dans R Si = 0 alors l équation = admet une solution dans R qui est = 0 Si > 0 alors l équation = admet deux solutions dans R qui sont = et = Soit,, et quatre réels avec et non-nuls. = = ( produit en croix ) Exercice 1 Résoudre dans R les équations suivantes = 8 = 2 2 ; 2 2 = 25 = 1 = 0 = = 4 2 = 2 Inéquation QCM 1 ) Lorsqu on ajoute un même nombre aux deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si ne change pas 2 ) Lorsqu on multiplie par un même nombre 0 les deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si < 0 ne change pas 3 ) Lorsqu on soustrait un même nombre aux deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si ne change pas 4 ) Lorsqu on divise par un même nombre 0 les deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si < 0 ne change pas Signe d une expression QCM ( une seule bonne réponse ) 1 ) Le produit de deux facteurs négatifs est négatif positif ça dépend des facteurs 2 ) Le produit de deux facteurs positifs est négatif positif ça dépend des facteurs 3 ) Le produit de deux facteurs de signes contraires est négatif positif ça dépend des facteurs 4 ) La somme de deux termes négatifs est négative positive ça dépend des termes 5 ) La somme de deux termes positifs est négative positive ça dépend des termes 6 ) La somme de deux termes de signes contraires est négative positive ça dépend des termes Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 3/11

4 Pour tous et réels avec 0, l expression + s annule pour = + Signe de + Signe de 0 Signe de Pour tous, et réels avec 0, l expression + + est appelé trinôme (polynôme) du 2 nd degré Son discriminant Si Δ <0 alors + + n admet aucune racine. Si Δ =0 alors + + admet une seule racine (double). Si Δ >0 alors + + admet deux racines distinctes. Si Δ <0 = + Signe de + + Signe de = Si Δ =0 + Signe de + + Signe de 0 Signe de Si Δ >0 + Signe de + + Signe de 0 Signe de 0 Signe de Exercice 1 Soit la fonction définie sur R par = = 1;0 3; Exercice 2 a : Δ =196 ; =5 ; = = 9 ;2 5 ; Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 4/11

5 b : Δ0 ; = = 1 2 ; + 3 c : Δ49 ; = 1 ; = = ; 1 0 ; 6 Exercice 3 1. Soit la fonction définie sur l intervalle 0 ; 60 par = Δ1600 ; = 50 ; = = > 0 a pour solution = 10 ; 50 a. L artisan fait-il un bénéfice lorsqu il fabrique et vend de 11 à 49 vases. b. = = = 0 Δ400 ; = 40 ; = 20 L artisan fait un bénéfice de 300 exactement lorsqu il fabrique et vend 20 ou 40 vases. Equations de droite On se place dans un repère. Soit une droite d équation = + est appelé coefficient directeur et est appelé ordonnée à l origine On considère les points ; et ;. Si alors le coefficient directeur de la droite est égal à Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 5/11

6 Exercice Donner une équation de chacune des droites d à d d : =3 d : =5 d = d : = d : = 2 d : Dans le repère ci-contre, tracer les droites d à d telles que d 31 d d Etude de fonction Exercice C f y L ensemble de définition de la fonction est 4 ;4 0,51,5 41 L image de 0 par la fonction est 3 1 a pour image 4 par la fonction =3 a pour solutions 2 et x = 2 ;0 >0 a pour ensemble de solutions = 3 ;1 3 ;4 Le minimum de la fonction est 1 Le maximum de la fonction est 4 Dresser le tableau de variations et le tableau de signes de la fonction Dérivation Si la fonction est dérivable en alors le nombre dérivé de la fonction en est le réel tel que graphiquement, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a La tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation : = + Remarque : le point de la courbe de d abscisse a pour coordonnées ; Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 6/11

7 Lecture graphique ,5 1 3 =, 3 =, 0 =, 0 =, 2 =, 2 =, 4 =, 4 =,. y C f 4 3 B T 1 T 2 2 T 4 1 D -4 A x -1 C T 3 Fonctions de référence Fonction est définie et dérivable sur Fonction dérivée = avec R R = = R = = R = = R = = + + avec,, des réels tels que 0 = avec,,, des réels tels que 0 R R = + = + + Utilisation de la dérivée Soit une fonction dérivable sur un intervalle. La fonction est croissante sur pour tout réel de, on a 0 La fonction est décroissante sur pour tout réel de, on a 0 Pour chacune des fonctions suivantes définies sur R : 1. Déterminer et étudier son signe. 2. Dresser le tableau de variations de la fonction. = = = = + Δ36 = 1 = Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 7/11

8 Optimisation Dans une usine de produits cosmétiques, le coût de fabrication journalier d un crème est donné (en euros) par : = , où est la quantité en kilogrammes, pour 0 ;25. Le prix de vente est de 90 le kilo et on suppose que toute la production de l entreprise est vendue. La recette, en fonction de kilogrammes de produits vendus, est notée. La représentation P de la fonction et la représentation de la fonction sont données ci-dessous. 1. = = donc bénéfice est de 72 pour 8 kilogrammes vendus. 3. Δ =900 ; =20 ; = = donc 0 5 ;20 4. L entreprise doit vendre entre 5 kg et 20 kg pour réaliser des bénéfices. 5. L entreprise réalise des bénéfices lorsque le coût est inférieur à la recette, c est-à-dire lorsque la courbe sous la droite. 6. = Dresser le tableau de variations de sur l intervalle 0 ; ,5 25 = , La production qui génèrera le meilleur bénéfice est 12,5 kg. Ce bénéfice maximum est 112,5 Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 8/11

9 Arrondir La valeur arrondie au dixième de 1928, est 1928,4 La valeur arrondie à l unité de 1928, est 1928 La valeur arrondie au millième de 1928, est 1928,375 La valeur arrondie à la centaine de 1928, est 1900 La valeur arrondie au centième de 2 est 1,41 La valeur arrondie à 10 de 1,25 est 3,815 Pourcentages Le é d une valeur à une valeur est = Augmenter une quantité de % revient à multiplier cette quantité par + Diminuer une quantité de % revient à à multiplier cette quantité par Faire évoluer une quantité d un taux revient à multiplier cette quantité par + Faire évoluer une quantité d un taux puis d un taux revient à multiplier cette quantité par + + Soit et deux valeurs d une même grandeur. Définir «l indice de base 100 de cette grandeur correspondant à» c est associer à le nombre = 100 et à le nombre tel que et sont proportionnels à et. Exercice Les questions sont indépendantes 1. Le prix d un article est passé en un mois de 28 à 29,54. Déterminer le taux d évolution de cet article. = 29,54 28 = = 0,055 =, % Le prix d une matière première a augmenté de 150 %. Il a été multiplié par 1 + =, 3. Un prix a été multiplié par 0,75. Il a subi une baisse de 25 % car 1 = 0,75 4. Deux augmentations successives de 10 % correspondent à une augmentation de 21 % = 1,1 1,1 = 1,21 = Le prix d un article toutes taxes comprises (TTC) est le prix hors taxes (HT) augmenté de la TVA. Le prix TTC d un article est 150. Déterminer son prix HT avec une TVA de 20 %. Prix HT 1 + TVA = Prix TTC Prix HT = Prix HT = 150 1,2 = Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 9/11

10 Statistiques Exercice 1 Le tableau suivant donne les âges des membres d un club de sport. Age (ans) Effectif ECC = = 48 = = = 389, ans 24 = 48 pair donc Médiane = moyenne entre 24 ème valeur et 25 ème valeur = moyenne entre 16 et 16 = = 12 donc le 1er quartile est la 12 ème valeur = ; = 36 donc le 3ème quartile est la 36 ème valeur = Exercice 2 Dans une entreprise, la répartition des salaires est donnée par le tableau suivant. Salaire (euros) 1000 ; ; ; ; 6000 centre Pourcentage 19 % 43 % 26 % 12 % FFC 19 % 62 % 88 % 100 % = , , , ,12 = euros Suites définitions La suite est croissante N, 0 La suite est décroissante N, 0 Une suite est arithmétique donné et N, = + avec une constante Une suite est géométrique donné et N, = avec une constante expression du terme général est arithmétique de 1 er terme et de raison N, = + est géométrique de 1 er terme et de raison N, = Exercice 1 Soit la suite arithmétique de premier terme = 15 et de raison = 3 1. = 15+3= puis = 12+3= 2. = + = + 3. = = Exercice 2 Soit la suite géométrique de premier terme = 125 et de raison q = 1,03 1. =125 1,03=, et =128,75 1,03=132,6125, 2. =, 3. =125 1,03, ,746<200 et 200,588>200 donc dépasse pour la 1 ère fois 200 au rang = Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 10/11

11 Probabilités Soit A et B deux événements. Soit A l événement contraire de A. A=1 A A B=A+B A B Loi binomiale Une épreuve de Bernoulli de paramètre est une expérience aléatoire n ayant que deux issues possibles appelées succès et échec, notées et avec = On considère un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de épreuves de Bernoulli de paramètres identiques et indépendantes Soit la variable aléatoire égale au nombre de succès. On dit que suit la loi binomiale de paramètres n et p, on note ~ B ; L espérance de est = elle représente le nombre moyen de succès Exercice 1 Chez un fabricant de calculatrices, une étude a montré que 10 % des produits ont un défaut. Lors de la commande groupée, le lycée a commandé un lot de 150 calculatrices. Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes. On définit la variable aléatoire donnant le nombre de calculatrices défectueuses. 1. Justifier que suit la loi binomiale de paramètres =150 et =0,1. Le lot de 150 calculatrices peut être assimilé à un tirage avec remise de 150 calculatrices parmi les très nombreuses calculatrices produites par le fabriquant. 2. La probabilité qu exactement 10 calculatrices soient défectueuses est égale à, 3. = 10 13, , QCM ( choisir la (les) bonne(s) réponse(s) et compléter les pointillés en arrondissant à 10 ) 4. 15, 1 < <15 6. La probabilité qu au plus 10 calculatrices soient défectueuses dans ce lot est égale à, >10 < >20, 1 < Intervalle de fluctuation de 2 nde Exercice avec l intervalle de fluctuation de 2 nde 7. La probabilité qu il y ait de 11 à 18 calculatrices défectueuses dans ce lot est égale à, < résultats à 10 = 57 = 3 4 =0,75 = ,8772 =0, ;0, ,6175 ;0, donc on ne rejette pas l affirmation du laboratoire pharmaceutique. Mathématiques préparation à la Terminale STMG correction page 11/11