TS Nombres complexes Cours

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1 TS Nombres complexes Cours I. Le plan complexe 1. Définitions générales Théorème( admis ) Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : contient l ensemble des nombres réels L addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les calculs restent les même Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = -1 Tout nombre complexe z s écrit de manière unique où Définition L écriture avec et réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe. est la partie réelle de, notée Re( ) est la partie imaginaire de, notée Im( ) Exemples :, Re( ) =. et Im( ) =.. = 2 i 1, Re( ) =.. et Im( ) =.. z = 3i² + ire( ) =.. et Im( ) =.. Remarques : La notation sera réservée aux nombres positifsles parties réelles et imaginaires sont des nombres réels Lorsque = 0, z est un réel : Lorsque = 0, z = i y ( y réel ) est un imaginaire pur z Im(z) = 0 z est un imaginaire pur Re(z) = 0 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire + i = + i = et = 1

2 En particulier :, étant des réels : + i = 0 x=0 et y = 0 2. Calculs algébriques dans : Les règles connues dans se prolongent à avec la condition Exemples : Ecrire sous forme algébrique II. Equation du second degré à coefficients réels 1. Racine carrée dans d un nombre réel Définition Soit a un nombre réel Les solutions dans de l équation sont appelées racine carrées de dans Exemple : Résolution de l équation Démontrer que cette équation équivaut à En déduire les solutions de l équation Tout nombre réel a admet 2 racines carrées non nuls dans Si a 0 : ce sont les nombres {- a; a } Si a < 0 : ce sont les nombres { i a; i a } Exemples : Résoudre dans C z² + 2 = 0 2z² + 3 = 0 2

3 2. Equation L équation a pour discriminant Si : l équation admet une unique solution réelle Si : l équation admet deux solutions réelles Si l équation admet deux solutions complexes Remarque : Le trinôme se factorise : Exemple : Résoudre dans. III. Représentation géométrique des nombres complexes (O ; 1. Affixe d un point, d un vecteur u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan Définitions A tout nombre complexe = x + iy où x, y, on associe le point M de coordonnées (x ; y ) On dit que M est le point image de z et que OM est le vecteur image de z Tout point (x ; y ) est le point image d un seul complexe z = x + i y. On dit que z est l affixe du point M et du vecteur OM. On note : Le plan est alors un plan complexe Remarques : Si x=0, alors z est imaginaire pur, le point image est sur l axe des ordonnées Si y=0, alors z est réel, le point image est sur l axe des abscisses 3

4 Le point d affixe i : 2. s s Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales Si et ont pour affixe et z, alors : a pour affixe z + z a pour affixe kz ( k réel ) Exercice : Conjecture avec Geogebra sur quelques exs Soit ) En utilisant l écriture algébrique de, déterminer l affixe du vecteur et du milieu I de [AB] Soit Le vecteur a pour affixe : z B z A Le milieu I de [AB] a pour affixe : z I = z A+z B 2 Exemples : 24, 25, 27 page 241 4

5 IV. Conjugué d un nombre complexe 1. Définition : Soient réels et Le nombre complexe est le conjugué de On le note Exemple : le conjugué de ; z = 3i ; z = -4 Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, le point M d affixe z et le point M d affixe z sont symétriques par rapport à l axe des abscisses 2.Inverse d un nombre complexe Exemple : a. Ecrire sous forme algébrique Quel est l inverse de 1 1 i 1 1 i b. Soient réels et Déterminer la forme algébrique de l inverse de z ( tester à la calculatrice) : Tout nombre complexe non nul admet un inverse dans noté Exemples : Ecrire sous forme algébrique 3. s algébriques Opérations sur les nombres conjugués Méthode : on multiplie par le conjugué du dénominateur Pour tous réels et et tout entier naturel n non nul 1. z + z = z + z 2. z z = z z 3. z n = z n 4. Si z 0 : ( 1 z ) = 1 z et ( z z ) = z z 5

6 Preuve : Exemples : 30 page 243 Donner une forme algébrique du conjugué de : Ecrire en fonction de le conjugué du nombre : ; s : Pour tout nombre complexe z = z = 2 Re(z) = 2i Im(z) = x² + y² Conséquence : est un réel équivaut à z = z est un imaginaire pur équivaut à z = z Exemple : Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que z² z soit réel z² z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. On pose z = x + iy z² z est réel si et seulement si il est égal à son conjugué 6