Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

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1 I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général de la suite U. Cette notation est appelée notation indicielle. Une suite U, définie sur I, est aussi notée (U n) n I. Si I est fini, la suite est dite finie. Si I est infini, la suite est dite infinie. n La somme U + U + + U n est notée ) Mode de présentation d une suite Une suite réelle est définie soit par : i= U i Son terme général U n. (Pour tout entier naturel n, on peut déterminer directement U n) Exemple : U n = n² - 3 ; V n = n 5 (Attention (V n) est définie pour n 5). Une relation de récurrence. U = Exemple : (U n) définie sur IN par {. En partant de U =, U n+ = + U n permet de calculer de proche en proche les termes de la suite (U n) W (Wn) définie sur IN par { =, W = 3. En partant de W W n+ = W n+ + W = et W = 3, n permet de calculer de proche en proche les termes de la suite (W n). (W 3 = W + W = + 3 = 4) Remarque : Parfois d une relation de récurrence, on peut déterminer le terme général. 3) Suites arithmétiques : a) Définition : Soit n un élément de IN et I = {n IN, n n }. Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

2 Une suite U, définie sur I, est une suite arithmétique s il existe un réel r tel que, pour tout n de I, on ait : U n + = U n + r. Le réel r est appelée la raison de la suite U. b) Remarque : Pour montrer qu une telle suite est arithmétique, soit exprimer U n + en fonction de U n, telle que U n + = U n + r, soit montrer que U n + U n = r (r est une constante ne dépend pas de n). c) Exemple : (U n) définie sur IN telle que U = et U n + = U n + 5, est arithmétique de raison 5. d) Conséquences : Soit U une suite arithmétique de premier terme U et de raison r. Pour tout n de IN, on a : U n = U + nr La somme des n premiers termes de cette suite est : S n = n(u + U n ) En général, s = n i=p U i = (n p + )( U n+ U p ) e) Exercice : (Le but de cet exercice c est déterminer l expression du terme général U n de la suit(u n) définie par une relation de récurrence faisant intervenir la notion d une suite arithmétique). Enoncé : U Soit (U n) la suite définie sur IN par U n 3 U n ) a) Calculer U et U b) Vérifier que la suite (U n) n est pas arithmétique ) Soit (V n) la suite définie sur IN par V n U n a) Montrer que (V n) est une suite arithmétique de raison r =3 b) Exprimer V n en fonction de n puis U n en fonction de n. Corrigé ) a) U = et U = 7 Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

3 b) On a U U U U et par suite (U n) n est pas arithmétique. ) a) On a V n+ = + U n+ = + (3 + U n ) = 3 + ( + U n ) = 3 + V n ; par suite (V n) est une Suite arithmétique de raison 3. b) V n = V + 3n tel que V = + U = et donc V n = + 3n. Or V n = + U n signifie que + 3n = + U n par suite U n = + 3n. Puisqu elle est à termes positifs. 4) Suites géométriques : a) Définition : Soit n un élément de IN et I = {n IN, n n }. Une suite U, définie sur I, est une suite géométrique s il existe un réel q tel que, pour tout n de I, on ait : U n + = qu n. Le réel q est appelée la raison de la suite U. b) Remarque :Pour montrer qu une telle suite est géométrique, soit exprimer U n + en fonction de U n, telle que U n + = qu n, soit montrer que U n+ u n constante ne dépend pas de n). = q (q est une c) Conséquences : Soit U une suite géométrique de premier terme U et de raison non nulle q. Pour tout n de IN, on a : U n = q n.u La somme des n premiers termes de cette suite est : S n = qn { U ( q, si q nu, si q = qn p+ i=n En général :S = i=p U i = U ( ) si q ; S = (n p + q)u, si q = II Monotonie d une suite a) Vocabulaires q Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 3

4 Soit n un entier naturel et U une suite définie sur I = {n IN, n n }. Si pour tout n de I, U n + = U n, on dit que (U n) est constante sur I. Si pour tout n de I, U n + U n, on dit que (U n) est croissante sur I. Si pour tout n de I, U n + U n, on dit que (U n) est décroissante sur I. Une suite es dite non monotone si elle ni constante, ni croissante, ni décroissante. (Exemple U n = (- ) n ; c est une suite alternée) b) Méthodes pour étudier la monotonie d une suite ère méthode Etudier la monotonie d une suite U revient à déterminer le signe de U n + U n ème méthode Pour une suite U à termes strictement positifs, étudier la monotonie de la suite U, revient à comparer U n+ U n à. Si pour tout n de IN, U n+ U n Si pour tout n de IN, U n+ U n Si pour tout n de IN, U n+ U n =, la suite est constante., la suite est croissante., la suite est décroissante. 3 ème méthode Si une suite U est définie sur IN par : U n = f(n), Etudier la monotonie de U, revient à étudier le sens de variation de f sur [ ; + [. 4 ème méthode Si une suite U est définie sur IN par : U n + = f(u n), Etudier la monotonie de U, revient à comparer f(x) à x. (à l aide de la représentation graphique de f et la droite d équation y = x). II Convergence des suites réelles ) Définition : (Limite finie) Soit n un entier naturel et U une suite définie sur I = {n IN, n n } et l un réel On dit que la suite U admet pour limite l, si pour tout réel ε strictement positif, il existe un entier naturel p tel que : (n I et n p) U n l < ε On dit que la suite U converge vers l. Lorsque la suite n est pas convergente, on dit qu elle est divergente. ) Théorème : Si une suite admet une limite l, alors cette limite est unique. Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 4

5 3) Théorème : Toute suite convergente est bornée. 4) Théorème 3 : - Toute suite croissante et majorée est convergente. - Toute suite décroissante et minorée est convergente. III- Image d une suite par une fonction continue ) Théorème : Si une fonction f est continue en l ( l IR) et si une suite U converge vers l, alors la suite (f(u n)) converge vers f(l). ) Exemple : Soit la suite V définie sur IN* par : Vn = n sin n. Déterminons lim n + V n. Pour n de IN*, on peut écrire : V n = sin n n Soit U la suite définie sur IN* par : U n = et f la fonction définie sur IR par : n sin x f(x) = si x { x. La suite U converge vers et la fonction f est continue en f() = ( puisque lim x + sin x x lim n + V n =. 3) Corollaire : = ). Alors la suite (f(u n)) converge vers f(), c'est-à-dire Soit f une fonction continue sur un intervalle D et soit U une suite à valeurs dans D qui converge vers un réel l. Si U n + = f(u n) et si l D alors l = f(l) 4) Exemple : Enoncé : U = Soit la suite U définie sur IN par : { U n+ = + U n Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 5

6 Corrigé ) Montrer que la suite U est positive. ) Montrer que la suite U est majorée par et qu elle converge vers un réel l 3) Déterminer l. ) Montrons par récurrence que pour tout n de IN, Un > On a : U > et U = 3 >. Soit n > et supposons que U n > et montrons que U n + >. On a : U n > + U n > + U n > U n + > et donc U est positive. ) Montrons par récurrence que la suite U est croissante et puis majorée par pour qu on puisse conclure qu elle est convergente. Montrons par récurrence, que pour tout n de IN, U n. On a U = et U = 3. Soit p IN. Supposons que U p et montrons que U p + On a : U p U p + 4 U p + 4 U p + Il en résulte, d après le principe de raisonnement par récurrence, que la suite U est majorée par. On a : U = et U = 3 alors U < U Soit p IN. Supposons que U p < U p + et montrons que U p + < U p + On a : U p < U p + + U p < + U p + + U p < + U p+ U p + < U p + Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 6

7 Il en résulte, d après le principe de raisonnement par récurrence, que la suite U est croissante. La suite U, étant croissante et majorée donc elle converge vers un réel l. Comme, pour tout n de IN, U n alors l 3) On a : U n + = f(u n) où f est la fonction x + x. La fonction f étant continue, On déduit du corollaire précédent que : l = f(l) c'est-à-dire l = + l. Il suit : l = IV Etude de suites définies par une somme Exercice : Enoncé : Soit la suite U définie sur IN* par : U n = n ) Etudier la monotonie de la suite U. ) a) Montrer que, pour tout k, < k k k b) En déduire que, pour tout n de IN*, U n n 3) En déduire que la suite U est convergente et que la limite est inférieure ou égale à Corrigé ) U n + U n = ( n + (n+) ) ( n ) = ) a) Pour k, (n+) >. Donc la suite U est strictement croissante. = > en effet < k k k k k k k < k b) D après l inégalité précédente, on déduit que : < < Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 7

8 .. < (n ) n n < n n n On additionne membre à membre, on obtient : n < n et par suite n < + ( n ). Il en résulte que U n n 3) D après ) b), on déduit que la suite U est majorée par et d après ) elle est croissante, il en résulte qu elle est convergente vers un réel l. Exercice : Enoncé : ) Montrer par récurrence que, pour tout n de IN*, n! n ) On considère la suite (U n) définie sur IN* par : U n = +! +! + 3! + + n! Déduire de la première question que cette suite est majorée par 3. En déduire qu elle est convergente. Corrigé ) On vérifie cette relation pour n =, n = et n = 3. Soit p IN. Supposons que p! et montrons que p (p+)! p On a : p! p (p+)p! = (p+) p p p en effet p ; p+ (p+)! p ) D après la relation de récurrence précédente, on déduit que :! Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 8

9 !.. n! n On additionne membre à membre, on obtient :! +! + 3! + + n! n k= ( )k ainsi! +! + 3! + + n! ( ) ( ( )n ) = et par suite +! +! + 3! + + n! + = 3 Il en résulte que U n 3 On a : U n + U n = donc convergente (n+)!, alors la suite (U n) est croissante de plus majorée Exercice 3 : Enoncé : Soit a un réel strictement positif. On pose, pour tout entier naturel n, I n = a (a t)n n! e t dt et S n = + a + a + + an! n! ) Montrer que e a a = + a + (a t)e t dt = S + I a n+ ) Démontrer que I n = + I (n + )! n + 3) Démontrer par récurrence que e a = S n + I n 4) Montrer que la suite S n est croissante et majorée par e a a 5) En déduire que lim n n + = n! 6) Calculer a (a t)n n! dt, en déduire que I n an + (n + )! ea 7) Montrer alors que lim n + ( + a + a! + + an n! ) = ea Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 9

10 Corrigé ) On a : D une part S = + a et I = a (a t)! e t a dt = (a t) e t dt a Par suite S + I = + a + (a t) e t dt a D autre part en intégrant par partie (a t) e t dt et v = e t ; v =e t a, on obtient (a t) e t dt et par suite e a a = + a + (a t) e t dt en posant u = (a t) ; u = - = [(a t) e t ] a a + e t dt = a + e a Il en résulte que e a a = + a + (a t)e t dt = S + I ) En intégrant par partie I n = a (a t)n n! e t dt, en posant u = (a t)n n! (a t)n+ ; u = (n+)! et v = e t ; v = e t, on obtient I n = a (a t)n n! e t dt = [ (a t)n+ (n+)! e t ] a + a (a t)n+ (n +)! e t dt I n = a n+ (n + )! + I n + 3) On a : e a = S + I (d après )) Soit p IN. Supposons que e a = S p + I p et montrons que e a = S p+ + I p+ On a: S p + = + a + a + + ap+ et! (p+)! Ip + = Ip - a p+ (d après )) (p + )! En déduit que S p+ + I p+ = S p + I p = e a 4) On a : S n + S n = an+ (n+)!, par suite la suite (S n) est croissante On a : I n en effet pout t a on a : (a t) n et par suite Ainsi S n = e a I n e a et par suite (S n) est majorée par e a a (a t)n n! e t dt 5) On a d après 4), la suite (S n) est croissante et majorée, alors elle est convergente et par Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

11 a suite lim n n + = n! 6) On a : I n = a (a t)n n! dt = [ (a t)n+ (n+)! ] a = a n+ (n + )! a n+ (n + )! ea car e a > Il en résulte que I n an + n! (n + )! ea a 7) On a : lim n a n + = signifie que lim n+ n + =, ainsi lim n + a n+ (n+)! ea = e a (lim n + a n+ (n+)! (n+)! ) = et donc lim n + I n = Or on a : S n + I n = e a en déduit que lim n + S n = e a, autrement dit lim n + ( + a + a! + + an n! ) = ea Remarque : Concernant la limite de la suite (U n) de l exercice n, en déduit que lim n + U n = e puisque a =. Exercice 4 : Enoncé n est un entier strictement supérieur à. Soit f n la fonction définie sur ] ; + [ par : f n (x) = x n ln (x).. Etudier les variations de f n.. Donner l allure générale des courbes représentatives n des fonctions f n. On précisera en particulier, leurs positions relatives. 3. Démontrer que l équation f n (x) = admet une solution unique x n et que < x n. 4. Démontrer que la suite de terme général x n, n est décroissante. 5. On pose t n = (x n ) n. Montrer que t n ln (t n ) = n. 6. Montrer que pour tout, x >, x xln(x), puis que t n n En déduire un encadrement de x n. 8. Démontrer que la suite (x n ) admet une limite que l on précisera. Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

12 . Corrigé. On a pour tout n, f n est définie, continue et dérivable sur ] ; + [ f n (x) = nx n ln(x) + xn x = nxn ln(x) + x n =x n (nln(x) + ) f n (x) = signifie x n (nln(x) + ) = signifie x n = ou nln(x) + = signifie x = ou x = e n d où x = e n On a lim x O + f n (x) = lim x O + x n ln(x) =, f n est continue à droite de. On a lim x + f n (x) = lim x + x n ln(x) = + Tableau de variations x e n + f n (x) + + f n (x) + ne On a f n (e n) =e ln (e n ) = ne 3. On a lim x + f n (x) = lim x + x n f ln(x) = + et lim n (x) x + = lim x + x n ln(x) = + donc n admet une branche parabolique de direction (OJ). x Pour x ] ; ] on a x n+ ln (x) x n ln (x) c est-à-dire f n+ (x) f n (x) d où n+ Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

13 est au dessous de n Pour x [ ; + [ on a x n+ ln (x) x n ln (x) c est-à-dire f n+ (x) f n (x) d où n+ est au dessus de n On a f n (x) = signifie que x = ou x =. y x - Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 3

14 3. On a f n est strictement croissante sur [ ; + [ et comme f n () = et lim x + f n (x) = + alors il existe un unique réel x ]; + [ tel que f n (x) =. 4. On a f n+ est strictement croissante sur [ ; + [ f n+ (x n+ ) f n+ (x n ) = x n n+ ln(x n ) = x n (x n ln(x n )) = x n < d où x n+ < x n et par suite la suite (x n ), n > est strictement décroissante. 5. t n ln (t n ) = (x n ) n ln(x n ) n =n(x n ) n ln(x n ) = nf n (x n ) = n, car f n (x n ) = 6. pour x >, on pose g la fonction définie par g(x) = xln(x) x + g est bien définie, continue et dérivable sur ] ; + [ et tel que g (x) = ln(x) qui s annule en On a lim x O + g(x) = et lim x + g(x) = + et g() =, donc g est positive sur ] ; + [ c est-à-dire pour tout x >, xln(x) x + > ou x < xln(x). On a pour x >, (x n ) > cela entraine que (x n ) n > d où t n > ça d une part D autre part t n t n ln (t n ) c est-à-dire t n n ou t n n +. En résulte que t n n On a t n n + signifie (x n ) n n + signifie ln() ln(x n ) n ln (n + ) (car la fonction ln est strictement croissante sur [ ; + [ ) signifie nln(x n ) ln (n + ) signifie ln (x n ) ln (n+) n signifie e e ln(x n ) ln (n+) e n ln (n+) signifie x n e n (car la fonction exponentielle est strictement croissante sur [ ; + [ ) Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 4

15 8. On a la suite (x n ) est décroissante et minorée par, donc elle est convergente c est-à- dire elle admet une limite et comme lim n + ln (n+) cela entraine que lim n + x n =. n ln (n+) =, alors lim n + e n =, Exercice 5 : Enoncé On définit la suite réelle (u n ) par : { u = u = a et n N, u n+ = pu n+ (p )u n où p R + {,, }. On pose, n N, w n = u n+ u n. Montrer que (w n ) est une suite géométrique et calculer w n en fonction de p, n et a.. On pose, n N, t n = u n+ (p ) u n. Montrer que (t n ) est une suite constante et calculer t n en fonction de a. 3. Calculer u n en fonction de w n et t n, puis en fonction de p, n et a. 4. On définit la suite réelle (v n ) par : { v = v = e a et n N, v n+ = Corrigé a) Justifier la définition de (v n ) en montrant que n N, v n >. b) Montrer que n N, ln(v n ) = u n. c) En déduire l expression de v n en fonction de p, n et a. (v n+)p (v n ) p d) Déterminer, suivant de p et a, la limite de v n lorsque n tend vers +.. w n+ = u n+ u n+ = pu n+ (p )u n u n+ = (p )(u n+ u n ) = (p )w n donc (w n ) est une suite géométrique de raison (p -), d où w n = w (p ) n avec w = u u = a et en résulte que w n = a(p ) n Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 5

16 . t n+ = u n+ (p )u n+ = pu n+ (p )u n (p )u n+ = u n+ (p )u n = t n d où (t n ) est constante t n = t = u (p )u = a 3. On a w n = u n+ u n et t n = u n+ (p )u n d où w n t n = (p )u n u n = (p )u n et par la suite u n = w n tn p 4. a) On a v = > et v = e a > = a(p )n a p = a((p )n ) p Supposant le résultat est vrai jusqu à l ordre n + ; c est-à-dire v k > pour tout k n + et montrons que v n+ >. On a v n+ = (v n+) p (v n ) p > puisque v n+ > et v n > ainsi (v n+ ) p et (v n ) p > d où (v n ) est bien définie et pour tout n, v n > b) On a ln(v ) = ln() = = u et ln(v ) = ln(e a ) = a = u supposons que le résultat est vrai jusqu à l ordre n + ; c est-à-dire ln(v n+ ) = u n+ et montrons que ln(v n+ ) = u n+ ln(v n+ ) = ln( (v n+ )p (v n ) p ) = pln(v n+) (p )ln(v n ) = pu n+ (p )u n = u n+ d où le résultat donc pour tout n de IN ln(v n ) = u n c) puisque ln(v n ) = u n alors v n = e u a((p ) n ) n = e p d) Si a = v n = pour tout n de IN ainsi lim n (v n ) = Si p ] ; [ ] ; [ on a p < d où lim n (p ) n = ainsi a lim n (v n ) = e p Si p > et a >, on a p >, d où lim n (p ) n = + ainsi lim n (v n ) = + Si p > et a < lim n (v n ) = Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 6

17 Série d exercices sur les suites réelles I - Suites et trigonométrie Exercice n : Soit x un réel tel que x π. On considère la suite U définie par U = cosx et pour tout n de IN*, U n = U n.cos x ) En utilisant la formule : sinx =sinx.cosx, calculer U n à l aide de n, sinx et sin x ) Déterminer lim n. sin x x + x n. En déduire lim n + U n. Exercice n : Soit la suite numérique définie par U [, ] et la relation de récurrence : n n U n + = + U n pour tout n de IN. ) Montrer que pour tout n de IN, U n ) Montrer que la suite U est croissante. En déduire qu elle admet une limite qu on calculera. 3) On pose U = cosα, où α [, π ]. Montrer, par récurrence que pour tout n de IN, U n = cos( α n). (On pourra écrire cosx = cos x. Retrouver les résultats de ). Exercice n 3 : On considère les deux suites de nombres réels U et V définies sur IN* par : U n = sin n + sin n + + sin n n. V n = n + n n n. ) Montrer que, pour tout n de IN*, n = n(n + ). En déduire lim n + V n Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 7

18 ) a) Montrer que, chacune des trois fonctions de variable réelle : f : x x sinx. g : x + x + cosx. h: x x + x3 6 + sinx. ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l intervalle [, + [ ; on pourra utiliser les variations de chacune des fonctions f, g et h. b) Justifier que, pour tout n, n 3 n 4. Déduire de a) que : V n 6n 4 U n V n c) Démontrer que la suite U est convergente et déterminer sa limite. II Suites définies par une fonction Exercice n : Soit U la suite définie sur IN par : { U réel strictement positif U n+ = log( + U n ), n IN ) Tracer, dans un repère orthonormé (O, i, j ), la courbe représentative de la fonction : x Log ( + x), ainsi que la droite d équation : y = x. ) Déterminer graphiquement, la monotonie et la limite éventuelle de la suite U. 3) Par le calcul, déterminer : a) La monotonie de la suite U. b) La limite éventuelle de cette suite. Exercice n : U = Soit U la suite définie sur IN par : { U n+ = e U n + U n Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 8

19 ) Soit f la fonction définie sur [, ] par f(x) = représentative dans un repère orthonormé. e x + x. Etudier et tracer sa courbe ) Etudier graphiquement la convergence de la suite U et sa limite éventuelle. 3) L objectif de cette question est l étude par le calcul, de la convergence st de la limite éventuelle de la suite U. a) Etablir que l équation f(x) = x admet une solution unique l [, ]. b) Montrer que, pour x [, ], f (x) (on pourra étudier le sens de variation 4 3 de f sur [, ]) c) Déduire de 3) b) que, pour tout n de IN, U n + l U n l. En déduire que la suite 3 U converge vers l. III Suites définies par intégrale Exercice n : On considère la suite U définie sur IN par : U n = t n e t dt. ) Montrer que, pour tout n, U n. ) Montrer que (U n) est décroissante. 3) Montrer que, pour tout n, on a : convergente et déterminer sa limite. Exercice n : e(n + ) U n n +. En déduire que (Un) est Pour tout n de IN, on pose I n = (n+)π nπ e t sint dt ) Calculer I n à l aide de deux intégrations par parties successives. ) Montrer que (I n) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page 9

20 3) Montre que (I n) converge et déterminer sa limite. 4) Calculer lim n + (I + I I n ). Exercice n 3 : Pour tout n de IN, on note f n : [, ] IR, la fonction définie par : { f n(x) = x n sinπx, pour n f (x) = sinπx, pour n = et on pose I n = f n (x)dx ) Calculer I et I. ) A l aide de deux intégrations par parties successives, trouver une relation entre I n et I n pour n. 3) Calculer I, I 3 et I 4. 4) Montrer que : I n Exercice n 4 : n +, puis déterminer lim n + I n. On considère la suite U définie sur IN par : U n = xn+ dx + x ) Montrer que, pour tout n, U n. ) Montrer que U n + + U n = 3) Calculer U, U et U. n+ 4) Montrer que (U n) est décroissante. 5) En déduire que (U n) est convergente et déterminer sa limite. Exercice n 5 : e On pose, pour tout entier n, I n = x(logx) n dx ) a) Montrer que (I n) est une suite décroissante. b) Montrer que la suite (I n) vérifie la relation de récurrence I n + ni n = e, n. Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page

21 c) Calculer I et I. ) Montrer à l aide de la question précédente, qu on a : e n+3 I n e la limite de la suite (ni n) lorsque n tend vers l infini. n+. En déduire Bonne révision Réalisé par : Mr Dabboussi Faouzi Page