ESD : Loi exponentielle

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1 Aueur du corrigé : Gilber Julia ESD : Loi exponenielle Averissemen : ce documen a éé réalisé avec la version 14 de TI-Nspire Fichier associé : esd2008_0702ns 1 Le suje L exercice proposé au candida TI-Nspire CAS On s inéresse à la durée de vie, exprimée en années, d un éléviseur avan la première panne On peu modéliser cee siuaion par une variable aléaoire qui sui une loi de probabilié p de durée de vie sans vieillissemen définie sur l inervalle [ 0 ;+ [ Ainsi la probabilié d un inervalle [ 0 ; [, noée [0 ; [) es la probabilié que le éléviseur ombe en panne avan années Cee loi es la loi exponenielle de paramère λ où λ es un réel sricemen posiif 1) Déerminer, en foncion de λ, la valeur de pour laquelle on a [0 ; [) = [ ; + [) 2) D après l éude saisique effecuée par le consruceur, la probabilié que le éléviseur ombe en panne avan la fin de la première année es 0,18 Calculer la valeur exace de λ Dans la suie de l exercice, on prendra λ = 0,2 3) Monrer qu une valeur approchée de la probabilié que le éléviseur n ai pas eu de panne au cours des rois premières années, arrondie à 10-4 près, es : 0,5488 4) Sachan que ce éléviseur n a connu aucune panne au cours des 10 premières années après sa mise en service, quelle es la probabilié qu il ne connaisse aucune panne au cours des 13 premières années? 5) Dix éléviseurs neufs de ce ype on éé mis en service en même emps On désigne par X la variable aléaoire égale au nombre de éléviseurs qui n on pas eu de panne au cours des rois premières années Calculer une valeur approchée de la probabilié de l événemen «X = 4» arrondie à 10-4 près Le ravail demandé au candida Q1) Rédiger une réponse pour chacune des quesions 3 e 4 de l exercice Q2) Commener l expression «loi de durée de vie sans vieillissemen» Q3) Un ou plusieurs exercices sur le hème «Probabiliés» 2 Elémens de correcion a Analyse de l exercice L exercice proposé pore sur un exemple de phénomène modélisé par une loi exponenielle La quesion 1 pore sur la noion de demi-vie, andis que la quesion 2 propose une esimaion du paramère λ de la loi exponenielle à parir de la donnée de la probabilié que X apparienne à [ 0 ; 1] Les élèves doiven connaîre la densié d une loi exponenielle de paramère λ, la foncion définie sur R + par : -λ f ( ) = λe Ils doiven savoir calculer la probabilié que X apparienne à un inervalle donné inclus dans λ λ R + a b : [ a ; b] ) e e = La quesion 3 exploie ce dernier résula La quesion 5 es une quesion à par, poran sur une loi binomiale L exercice peu servir à une évaluaion de Terminale S ESD

2 Si on l ampue de la quesion 5, il devien un exercice qui peu êre posé pour mere en valeur la noion de non vieillissemen Il convien alors de ne pas donner dans l énoncé le résula de la quesion 3 b Corrigé de la quesion 3 On peu proposer deux méhodes qui ne donnen pas ou à fai le même résula numérique : Première méhode (celle qui es aendue) : La loi exponenielle de paramère 0,2 à pour densié la foncion f définie sur R + par : 3 0,6 conséquen : [0 ; 3] ) = 0,2e d = 1 e 0, ,2 0,2 f ( ) = 0,2e Par Il en résule que la probabilié que le éléviseur n ai pas de panne au cours des 3 premières années (évènemen conraire) es : (]3; + [ ) = e 0, ,6 P Deuxième méhode (exploian la propriéé de non vieillissemen) : Puisque la loi suivie es sans vieillissemen, la probabilié que le éléviseur ai une panne une année donnée es 0,18 e cela indépendammen des aures années La probabilié qu il n y ai pas de panne au cours d une année donnée es donc 0,82, cela indépendammen des aures années Par conséquen, la probabilié qu il n y ai aucune panne au cours des 3 premières années es 0,82 3 = 0, L arrondi à 10-4 près es 0,5514 a éé arrondie à 10-2 près La décision de donner 0,5488 dans l énoncé (moivée par le caracère évaluaif de l exercice) es pour le moins discuable puisqu elle présume de la méhode choisie De plus, l arrondi demandé, à 10-4 près, n es pas cohéren avec la qualié moindre de l arrondi uilisé dans l énoncé sur la valeur de λ L écar enre les résulas des deux méhodes provien du fai que la valeur de λ qui es ln( 0,82) 3 Appor de la TI-Nspire a Appors proposés Éude de la quesion 4 à l aide d un programme Éude de la quesion 4 à l aide du ableur Dans les deux cas, ce appor peu servir à provoquer une conjecure En simulan le es d un échanillon de éléviseurs, il sera quesion de déerminer la proporion de éléviseurs de 13 ans parmi ceux qui on aein 10 ans Peu-on conjecurer que le résula rouvé découle d une flucuaion auour de 0,5488? b Invesigaion à l aide d un programme L idée du programme elevis (n) dans une page Calculs es de simuler un nombre n de durées de vies v de éléviseurs, suivan la loi exponenielle de paramère 0,2 Voir, à ce propos, le manuel en ligne "TI-Nspire CAS au CAPES", chapire 14 «simulaion», paragraphe 8, page 20 : wwwunivers-i-nspirefr/files/pdf/ti-nspire_chap14_capespdf Si v 10, alors le nombre d de éléviseurs en éa de marche au bou de dix ans es augmené de 1 Si v 13, alors le nombre de éléviseurs en éa de marche au bou de reize ans es augmené de 1 Le calcul de /d perme d enregisrer en lise fr la fréquence des éléviseurs vieux de 13 ans parmi ceux qui on aein 10 ans L usage du conrôle «when» dans le programme ser à éliminer le calcul de /d au cas où d = 0, ce qui peu arriver en ou débu d expérience, pour les premières valeurs de k Le programme conserve la lise fr e renvoie, pour informaion, la dernière fréquence de la lise Sur la parie gauche des écrans de la page suivane, le programme es exécué pour une valeur de n «peie» puis une aure «moyenne» Dans le premier cas, le résula obenu n a aucune significaion, car il y a rès peu de éléviseurs âgés de 10 ans qui son esés Le résula es un peu plus significaif, sans êre cependan décisif, dans le deuxième cas ESD

3 Après avoir lancé le programme pour une valeur plus élevée de n (par exemple 1000) e défini une lise nm : seq ( i, i, 1, n) nm avec le même enier n, il es possible de représener graphiquemen, dans une page Graphiques & géomérie, le nuage des poins (nm, fr) On remarque des paliers d aene d un éléviseur de plus de dix ans c Invesigaion à l aide du ableur Ouvrir une nouvelle Acivié e une page Tableur & lises La cellule A1 es réservée au nombre ne de éléviseurs esés La colonne B nommée num ser à numéroer les éléviseurs de 1 à ne La colonne C nommée dv es définie dans sa ligne - ln( ( rand() ) d édiion par la formule = seq, i, 1, ne 02 Elle simule ne durées de vie de éléviseurs Les colonnes D e E, respecivemen nommées dx e r, son indicarices des éléviseurs qui aeignen 10 ans (respecivemen 13 ans) Elles son définies à l aide du conrôle «when» ESD

4 Les colonnes F e G nommées sdx e sr compabilisen les éléviseurs vieux de 10 ans (respecivemen, 13 ans) La fréquence des éléviseurs vieux de 13 ans parmi ceux qui on aein 10 ans es calculée en colonne H nommée fr en faisan le quoien sr/sdx Ses premiers ermes peuven êre non définis, les premiers ermes de sdx éan nuls an que le premier éléviseur aeignan 10 ans n es pas apparu Avec une valeur de ne de l ordre de 100, la flucuaion peu êre rès imporane Les plages d aene d un éléviseur aeignan 10 ans son bien visibles On ne peu rien en irer de significaif La page es recalculée avec une valeur de ne plus élevée (on peu choisir jusqu à 2500) En cellule A3, on a reporé la dernière fréquence obenue, =fr[ne], e en cellule A4 e A5 les exrémiés des inervalles de confiance qu elle indui (le nombre de éléviseurs âgés de 10 ans ou plus éan non pas ne mais sdx[ne]) Il es plausible que la probabilié condiionnelle qu un éléviseur aeigne 13 ans sachan qu il a aein 10 ans, soi la même que la probabilié qu un éléviseur neuf aeigne 3 ans Une représenaion graphique confore cee conjecure (Pour auan, le fai que la probabilié condiionnelle en quesion es égale à 0,5488 n es bien sûr pas démonré Il es seulemen plausible) ESD

5 Il rese encore à démonrer la conjecure en appliquan d abord la définiion d une propriéé condiionnelle : P[ ( X 13) ( ] X 13) P X 10 ( X 13) = =, puisque l événemen «X 13» es inclus dans l évènemen «X 10», puis les propriéés de la foncion exponenielle : X 13) exp( 13 ( 0,2) ) = = exp( 0,6) exp (10 ( 0,2) ( ) 4 Pour aller plus loin Si on veu exploier cee siuaion pour faire découvrir la noion de «non vieillissemen», l inérê majeur es de comparer la «moralié» des éléviseurs neufs pendan les premières années avec la «moralié» des éléviseurs âgés de dix ans pendan les années qui suiven les 10 ans La simulaion faie précédemmen peu y aider si on compare l évoluion des deux populaions : celle des éléviseurs neufs, e celle des éléviseurs de 10 ans Cependan, les effecifs des deux populaions ne son pas les mêmes Pour les ramener à une même base, il y a avanage à les indexer (indice 100 au débu) puis à donner en pourcenages les éléviseurs en éa de marche au cours des années successives C es ce qui es fai dans les colonnes I e J qui donneron les pourcenages des éléviseurs encore en service au bou de n années après l acha pour les neufs, après les années qui suiven le 10 e anniversaire pour ceux de 10 ans Dans I, l indice 100 es inscri en I1, puis la formule inscrie en I2 es recopiée vers le bas (/b6) sur une dizaine de lignes Dans J, la formule J1 es recopiée vers le bas sur le même nombre de lignes La colonne K conien les années successives e a la même aille que les deux colonnes I e J Ouvrir une nouvelle page Graphiques & géomérie e représener les deux nuages de poins (années, indices) pour les deux populaions de éléviseurs Si le nombre ne es suffisammen élevé, on doi voir apparaîre des évoluions assez similaires des deux indices, celui des éléviseurs neufs, e celui des éléviseurs âgés de dix ans : les aux de «survie» après 10 ans des éléviseurs âgés de 10 ans ressemblen aux aux de «survie» après la mise en service des éléviseurs neufs L âge ne fai rien à l affaire ESD

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