L espace est rapporté à un repère et l on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives

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1 NOM : TS- AC DS6 lundi 6 février 07 La présentation, la rédaction et la rigueur des résultats entreront pour une part significative dans l évaluation de la copie. Le sujet est composé de 5 eercices indépendants. La calculatrice est autorisée. La durée du devoir est de h. Eercice : sur 6 points Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse eacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l absence de réponse n est pas pénalisée Soit f la fonction définie sur par f( ) Affirmation : l équation f( ) 0,5 admet une solution unique sur e Affirmation : L algorithme ci-contre affiche en sortie la valeur 0,54 Affirmation 3 : l équation cos( ) 0admet une unique solution dans l intervalle 0; L espace est rapporté à un repère et l on considère les droites D et D qui admettent pour représentations paramétriques respectives t 5 t ' 3 y 3 t, t et y t ', t' z 4 t z t ' 4 Affirmation 4 : Les droites D et D sont coplanaires Affirmation 5 : La fonction définie sur par f ( ) ln( ² ) est strictement croissante sur Eercice : sur points Soit la fonction f définie sur R par f ( ) sin(3 ) e. Calculer lim f( ) et interpréter graphiquement. Eercice 3 : sur 3 points Dans un repère ( O; i, j, k ) de l espace, on considère les points A( 5 ; ;-), B( 4 ; ; ) et D( -4 ; 4 ; -4). Montrer que les points A, B et D définissent un plan.. Déterminer un système d équations paramétriques du plan( ABD). 3. Calculer l ordonnée du point H de ce plan tel que H = zh =0.

2 Eercice 4 : sur 6 points On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur. On se place dans le repère orthonormal ( A ; AB, AD, AE ). On considère les 3 points I(; ;0),J 0; ;,K ;0;et L( a;;0) l intervalle [0 ;]. Les parties A et B sont indépendantes. avec a un nombre réel appartenant à Partie A. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 3 3 t '( a ). Démontrer que la droite ( KL) a pour représentation paramétrique : y t',t' z t' 3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si Partie B Dans la suite de l eercice on pose a. Le point L a donc pour coordonnées 4. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.. Tracer sans justification la section du plan ( IJK) avec le cube. ( on laissera les traits de construction éventuels) a 4 ;;0 4 Eercice 5: sur 3 points On considère la courbe C d équation y = e tracée ci-contre. Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d équation y = m.. Dans cette question, on choisit m = e. Démontrer que la droite De, d équation y = e, est tangente à la courbe C en son point d abscisse.. Conjecturer selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d intersection de la courbe C et de la droite Dm. 3. Démontrer cette conjecture

3 Corrigé Eercice Soit f la fonction définie sur par 3 f( ) Affirmation vraie 4 6e Méthode : on résout l équation 3 ln(3) f ( ) 0,5 0,5 3e 3 3e e ln( ) une solution 4 6e 3 3 Méthode : on étudie la fonction f sur 3e 36e f '( ) (4 6e )² (4 6e )² epression positive strictement donc f croissante strictement sur 3 4 6e lim lim 0 lim lim 3 3 donc e donc e donc 4 3 e 4 lim donc lim e donc lim 4 6e et lim 0 La fonction est continue strictement croissante de dans ]0 ; ¾[ qui contient 0,5. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que l équation f( ) 0,5 admet une solution unique dans. Affirmation fausse : L algorithme affiche en sortie la valeur 0,54 Cet algorithme (la fonction étant croissante sur ) détermine la première valeur de à partir de 0 avec un pas de 0.0 dont l image est supérieure ou égale à 0,5 On peut utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice ; donc l algorithme affiche 0,55 Affirmation 3 vraie : On peut étudier la fonction f définie sur par f ( ) cos( ) ; alors f '( ) sin( ) Or pour tout réel, sin( ) donc sin( ) 0 et par conséquent, 0 sin()+ >0 pour tout de [0 ; ]) signe de f () + D après le tableau de variation de f ci-contre, et le théorème des valeurs intermédiaires, comme 0 est dans l intervalle image ;, l équation cos( ) 0admet une unique solution dans l intervalle 0;. variations de f - Affirmation 4 fausse : Les droites D et D admettent pour représentations paramétriques respectives t 5 t ' 3 y 3 t, t et y t ', t' Les droites D et D ont respectivement pour vecteur directeur z 4 t z t ' 4 5 u 3 et u Ces vecteurs ne sont pas colinéaires ( leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) donc D et D ne 4 sont pas parallèles. t 5 t' 3 D et D ont un point commun s il eiste deu réels t et t tels que 3t t' 4 t t' 4 t 5 t ' L Ce système équivaut à 3t t ' L 4 t t ' 4 L3 On peut ( par eemple) résoudre le système constitué des deu équations L et L 3

4 0 0 4 D après L 3, t =4t-4. En remplaçant t dans L on obtient -3t-(4t-4)=- d où t et t ' En remplaçant dans L, on a : 5 ( ) 0. Donc le système n admet pas de solution. D et D ne sont pas sécantes. Les droites D et D sont donc non coplanaires. Remarque : on peut aussi résoudre le système composé de deu équations à l aide de la calculatrice et voir ensuite ( à la main ) si le couple obtenu est solution de la troisième équation mais il faut bien préciser que le calcul a été fait à l aide de la calculatrice. Affirmation 5 vraie : Pour tout réel, ² ( )² f ( ) ln( ² ) donc f '( ) ² ² donc la fonction est strictement croissante sur. epression positive ou nulle sur ( nulle si =) Eercice : sur points f est définie sur R par ϵ R, - sin(3). f ( ) sin(3 ) e Or, e > 0, d où : - e sin(3)e e soit - e f() e. Comme lim e 0 ( car lim + = - et lim X e X = 0) on a lim + e = lim + e = 0, et d après le théorème des gendarmes, on en déduit que lim f( ) 0. La droite d équation y = 0 est asymptote horizontale à (C f ) au voisinage de +. Eercice 3 : sur 3 points On considère les points A( 5 ; ;-), B( 4 ; ; ) et D( -4 ; 4 ; -4). AB et AD 3. Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles ( car - ). Donc les vecteurs AB et AD ne sont pas colinéaires, et par conséquent, les points A, B et D ne sont pas alignés et définissent donc bien un plan. Remarque : trois points sont toujours coplanaires.. Ecrire en conclusion que les 3 points A, B et D sont coplanaires n est pas «un scoop»! (il ne faut pas confondre «définir un plan» et «coplanaires»)..le plan (ABD) contient le point A et est dirigé par les vecteurs AB et AD. Un système d équations paramétriques du plan (ABD) est donné par 5 t t ' y t t ', t, t ' z t 3 t ' tt' 5 3. Le point H de ce plan est tel que H = zh =0.Donc. La calculatrice ( ou un calcul «à la t3 t' main») donne t et t '. D où l on déduit yh

5 3 Eercice 5 : Partie A I(; ;0),J 0; ;,K ;0;et L( a;;0) IJ ; ; est une vecteur directeur de la droite (IJ) et I( ; /3 ; 0) appartient à ( IJ) donc une 3 t représentation paramétrique de la droite (IJ) est y t, t 3 3 z t. 3 KLa ;; est un vecteur directeur de (KL) et la droite (KL) passe par K(3/4 ; 0 ; ) La droite (KL) a donc t '( a ) bien pour représentation paramétrique : y t',t' z t' 3 3 t t '( a ) 3. Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si le système t t' 3 3 t t' de réels ( t, t ) solution. 3 3 t t '( a ) 3 3 t t '( a ) t t '( a ) 0,5 0,5( a ) a 4 t t ' ( t ') t ' t ' 0.5 t ' 0,5 t ' t 0.5 t 0,5 t 0.5 t t' t t' admet un couple unique Remarque : en remplaçant t par ½ et t par ½ on peut donc en déduire que (IJ) et (KL) sont sécantes en un point de coordonnées ( ½ ;/ ;/) ( ce qui n était pas demandé). Partie B. Dans la suite de l eercice on pose 3 I(; ;0),J 0; ;,K ;0;et L( ;;0) a. Le point L a donc pour coordonnées 4 ;;0 4. Méthode : Comparons ( par eemple) les coordonnées des vecteurs IK et LJ On trouve IK ; ; 4 3 et ( ; ;) 4 3 LJ. Donc les vecteurs IK et LJ sont égau ce qui signifie que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. Bien voir ici qu une seule égalité vectorielle permet de justifierque IKJL est un parallélogramme

6 Méthode : On a trouvé dans la partie A que (IJ) et (KL) sont sécantes en un point de coordonnées ( ½ ;/ ;/) et le I J yi yj zi zj milieu de [IJ] a pour coordonnées ( ; ; ) soit ( après calculs) ( ½ ;/ ;/) Et de même on calcule les coordonnées du milieu de [KL] qui sont ( ½ ;/ ;/) Ce qui montre que, les diagonales du quadrilatère IKJL ayant le même milieu, celui-ci est un parallélogramme. Section : on obtient un heagone Eercice 5 :. Soit f() =e La tangente à C au point d abscisse e a pour équation : y f '()( ) f (). f () f '() e e donc la tangente à C a pour équation : y =e(-)+e soit y=e. Remarque : simplement vérifier que le point de coorodonnées ( ;e) est commun à C et De ne suffit pas pour justifier que De est la tangente à C au point d abscisse e.. En faisant «tourner» une droite passant par O de coefficient directeur m ( >0) sur la courbe dessinée, on peut conjecturer que Si m<e la droite Dm n a pas de point d intersection avec C Si m=e la droite Dm est tangente donc un point d intersection Si m>e, il semble que Dm ait deu points d intersection avec C 3. Justification : On peut (par eemple )étudier les variations de la fonction g définie sur par g( ) e m et chercher le nombre de solutions de l équation g()=0. g'( ) e m ; e m 0 e m ln( m) et e m 0 ln( m) lim e m (car m>0) e Pour tout réel 0, e m ( m) ; lim e (limitedu cours) e m d où lim ( ) soit lim e m - ln(m) + Signe de g () variations de g m( ln(m)) ln( ) g(ln( m)) e m mln( m) m mln( m) m( ln( m)) Or m>0 donc le signe de m(-ln(m)) est celui de -ln(m) -ln(m)>0 ln(m)< m<e et -ln(m)=0 m=e On déduit donc du tableau de variations précédent et du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que Si 0<m<e l équation g()=0 n a aucune solution donc D m ne coupe pas C Si m=e, l équation g()=0 a une solution et D m coupe C une seule fois Si m>e l équation g()=0 a deu solutions et D m coupe C deu fois eactement.