CONCOURS COMMUN 2007

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1 CONCOURS COMMUN 27 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mahémaiques (oues filières) PREMIER PROBLÈME Parie A - Généraliés. La foncion es de classe C sur R + àvaleursdansr e la foncion e es de classe C sur R. Doncla foncion f : e / es de classe C sur R +. Mais alors la foncion g es de classe C sur R + en an que quoien de foncions de classe C sur R + don le dénominaeur ne s annule pas sur R +. Les foncions f e g son de classe C sur R +. De plus pour ou réel sricemen posiif, 2. D après un héorème de croissances comparées, on a f () 2 e / e / g(). e / e g() + / + e. > Par suie la foncion g auneieréelleen e es donc prolongeable par coninuié en en posan g(). Monrons que le prolongemen obenu, encore noé g es dérivable en. D après un héorème de croissances comparées, on a On en dédui que g() g() > e / e. > g es dérivable en e g (). 3. g es dérivable sur ], + [ e pour >, g () f () f() 2 g() f() 2 Le signe de g es clair. On en dédui le ableau de variaion de g : ( )f() 3. + g () + f e puis le graphe de g : hp :// c Jean-Louis Rouge, 27. Tous drois réservés.

2 e C g 4. 4.a. La foncion g ( ) es coninue sur ], + [ e on sai que H eise. Pour >donné, ( ) H() g d e d. Mainenan, les deu foncions e e son de classe C sur ], + [. Onpeudonceffecueruneinégraion par paries qui fourni H() [ e ] e d e + e [ e ] e + e e + e 2 e ( + )e. >, H() 2 e ( + )e. 4.b. Posons h ou encore + h de sore que end vers si e seulemen h end vers. e donc H() 2e (2 + h)e h 2e e (2 + h)e h ) h 2e e (2 + h) ( h + h2 2 h3 6 + o(h3 ) e h e h 3 6 H() e ( ) e 6 ( )3 + o(( ) 3 ). + o(h 3 ), 5. a. Soi n un enier naurel supérieur ou égal à 3. Pour >, f() n f() n g().orlafonciong es coninue e sricemen croissane sur l inervalle n ], [. Donclafonciong réalise une bijecion de ], [ sur ] g, g[], e [.Commen 3>e,on< n < ou encore e n ], e [.Onendéduique n adme un anécéden α n e un seul dans ], ]. Pour ou enier n 3, l équaion(e n ) adme une soluion e une seule dans ], [. 5.b. Soi n 3. Onag(α n ) n > n + g(α n+). Puisqueg es sricemen croissane sur ], [, onendéduique α n >α n+.demêmeg(β n ) n > n + g(β n+). Puisqueg es sricemen décroissane sur ], + [, onendédui que β n <β n+.onamonréque la suie (α n ) n 3 es sricemen décroissane e la suie (β n ) n 3 es sricemen croissane. c. La suie (α n ) n 3 es sricemen décroissane e es minorée par. Parsuielasuie(α n ) n 3 converge vers un réel l [, ] (car n 3, < α n <). De plus par coninuié de g sur [, ] e donc en l on a g(l) g( α n) g(α n) n. hp :// 2 c Jean-Louis Rouge, 27. Tous drois réservés.

3 Comme g es sricemen posiive sur ], ], onnepeuavoirl>e donc l. De même, la suie (β n ) n 3 es sricemen croissane e donc ou bien converge vers un réel l [, + [ ou bien end vers +. Maisdanslepremiercas,parconinuiédeg sur [, + [ e donc en l on a g(l) g( β n) g(β n) Ceci es absurde car g es sricemen posiive sur [, + [. Donc n. β n +. α n e β n Soi ], + [. Parie B - Éude d une courbe paramérée () y() e 2 e. 7. Soi >.AlorsM() O e la pene de la droie (OM()) es y() () e / e. Quand end vers par valeurs /2 supérieures, la pene de la droie (OM()) end vers e quand end vers +, lapenedeladroie(om()) end vers Pour >, () 2 2 e / 2 ( 3 e / 2)e / 4 e y () g ( )e / () 3.Lessignesde e y son clairs. On en dédui le ableau des variaions conjoines des foncions e y. /2 + () + y 4e 2 e y () + 9. La quesion 7. monre que quand end vers l arc se prolonge par coninuié en le poin (, ) e que la angene en ce poin es parallèle à l ae des abscisses. De même quand end vers + l arc se prolonge en le poin (, ) e que la angene en ce poin es parallèle à l ae des ordonnées. L arc M() es régulier. Pour >, y (). Onauneangeneparallèleà(O) en le poin M() (e,e ).Demême,Pour>, () 2.Onauneangeneparallèleà(O) en le poin M() (4e 2,2e 2 ). hp :// 3 c Jean-Louis Rouge, 27. Tous drois réservés.

4 Parie C - Foncions définies par des inégrales. f() e /. Doncf se prolonge par coninuié en en posan f(). Leprolongemenobenu,encore > > noé f, es coninu sur[, + [. Ensuie,pour > f() f() f() g(), e donc par coninuié de g en, lerappor f() f() end vers g() quand end vers par valeurs supérieures. On en dédui que f es dérivable en e f (). Enfin, pour, f () g() e l égalié de la quesion. es encore valable pour...a. Soi R +.Lesfoncionsf e g son coninues sur [, ] e donc F() e G() eisen. De plus F()+G() (f() +g()) d (f()+f ()) d [f()] f() e /. >, F() e / G()..b. Soi un réel supérieur ou égal à. Puisque e que g es posiive sur [, ], onadéjàg() par posiivié de l inégrale. Ensuie G() g() d e g() d + d, G() g() d + d g() d + ln(). g() d + ln(). c. Mais alors, pour, G() gendarmes perme d affirmer que + G() g() d + ln().comme + ou encore que g() d + ln(), lehéorèmedes G() + o(). Ensuie, pour, F() monre que e / G().Quand end vers +, ceedernièreepressionendvers. Ceci F() Sur ], + [, l équaion(e) s écri encore y + y. Lesdeufoncions e son coninues sur ], + [ 2 2 e on sai que les soluion de (E) sur ], + [ consiuen un R espace affine de dimension. Soi y une foncion dérivable sur ], + [. y soluion de (E) sur ], + [ >, y ()+ 2 y() >, e / y ()+ 2 e / y() e / >, (fy) () f() C R/ >, f()y() C + F() C R/ >, y() C R/ >, y() Ce / + e / F(). C f() + F() f() hp :// 4 c Jean-Louis Rouge, 27. Tous drois réservés.

5 Les soluions de (E) sur ], + [ son les foncions de la forme Ce / + e / F(), C R. 3. fourni + y() e donc Parie D - Éude qualiaive d une équaion différenielle u. 4. En dérivan on obien pour [, + [ 2 y ()+2y ()+y () 2, puis fourni y (). EndérivandeufoisgrâceàlaformuledeLeibniz, onobienpour [, + [ 2 y ()+4y ()+2y ()+y () 2, puis fourni 2y ()+y () 2 e donc y () 2. u e u Si (E) adme une soluion de la forme y : α 2 + β + γ alors nécessairemen γ y(), β y () e α y () de sore que y es nécessairemen la foncion 2.Commeceefoncionn esclairemenpassoluion 2 de (E) sur ], + [, l équaion (E) n adme pas de soluion de la forme α 2 + β + γ sur ], + [ a. Soi n un enier supérieur ou égal à 3. Endérivann fois les deu membres de l équaion (E), onobien >, 2 y ()+y() 2 >, 2 (y ) (n) ()+ ( ) n (2)(y ) (n ) ()+ >, 2 y (n+) ()+2ny (n) ()+n(n )y (n ) ()+y (n) () >, 2 y (n+) ()+( + 2n)y (n) ()+n(n )y (n ) (). n 3, >, 2 y (n+) ()+( + 2n)y (n) ()+n(n )y (n ) (). ( ) n (2)(y ) (n 2) ()+y (n) () (car n 3) 2 Quand on obien u n + n(n )u n. n 3, u n n(n )u n. 6.b. Soi n un enier supérieur ou égal à 3. u n n(n ) (n )(n 2) u 2 ( ) n 2 n ((n ) ) 2 ( ) n 2 n((n )!) 2, ce qui rese vrai pour n 2. u u e n 2, u n ( ) n 2 n((n )!) 2 ( ) n n! (n )!. Soi n un enier supérieur ou égal à 2. Puisquey es de classe C sur [, + [, y adme en (à droie) un développemen ié à l ordre n, son développemen de Taylor-Young : y(), > n k y (k) () k + o( n ) k! Al ordre, onay() o() e à l ordre, onay() o()., >, > n ( ) k (k )! k + o( n ). hp :// 5 c Jean-Louis Rouge, 27. Tous drois réservés. k2