Probabilités (rappels de 1 ère )

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1 I Description d une expérience aléatoire Probabilités (rappels de ère ) Lorsque l on effectue une expérience aléatoire (qui dépend du hasard), rien ne peut nous laisser prévoir le résultat. Exemple : on lance un dé ordinaire. On ne peut prévoir s il va tomber sur la face, ou 2.par contre il est certain qu il va tomber sur une de ses 6 faces. Les résultats possibles de cette expérience sont appelés éventualités ou issues. Dans l exemple précédent les différentes éventualités sont L ensemble des toutes les éventualités s appelle l univers, noté Ω (dans tout le chapitre cet ensemble est fini). Dans l exemple précédent : Ω =. Un événement est une partie ou sous-ensemble de l univers. On dit qu un événement A est réalisé lorsque le résultat obtenu à l issue de l expérience aléatoire est une éventualité de A Dans l exemple précédent, on considère A l événement «Le résultat du lancer est un nombre pair» A =.. II Loi de probabilité ) Définition Définition : On définit une loi de probabilité sur l univers Ω = { x, x 2, x n } en associant à chacun des éléments x i de Ω un réel positif ou nul p i, appelé probabilité de l issue x i ; ces réels vérifiant la relation : p + p p n = Remarque :Une loi de probabilité est souvent décrite par un tableau précisant les couples (x i, p i ) Ex : Un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées, 2, 3, 4, est truqué de sorte que la probabilité d apparition de chaque face soit proportionnelle au numéro qu elle porte On lance ce dé une fois et on note lé résultat obtenu. Définir la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. 2) Equiprobabilité Définition : lorsque les n issues ont la même probabilité p i =, on dit qu elles sont équiprobables et que la loi n de probabilité P sur Ω est équirépartie. Par convention les expressions telles que pièces ou dés équilibrés, tirages au hasard, jetons ou boules indiscernables au toucher, indiquent un support matériel de l expérience ne privilégiant aucune issue.

2 Ex : On considére l expérience aléatoire «On lance 2 fois une pièce de bien équilibrée» Définir la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire III Probabilité d un événement ) Définition Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire On considère la loi de probabilité sur Ω définie par : x x 2 x n p p 2 p n La probabilité associée à cette loi de probabilité est l application P qui, à tout événement A inclus dans Ω associe le réel P (A) défini par : 2) Propriété P ( Ǿ ) = 0 Si A Ǿ, P (A) est la somme des réels p i, pour tous les x i appartenant à A, soit : P (A) = p i x i C A Le réel P (A) est appelé la probabilité de l événement A. Soit P une probabilité sur l univers Ω. Alors : P (Ω ) = et, pour tout événement A, on a 0 P (A) Ex : On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de à 6. La loi de probabilité est donnée par le tableau : Face Probabilité a a) Déterminer a b) Calculer la probabilité des évènements : A «Le numéro obtenu est pair» B «Le numéro obtenu est un multiple de 3» IV Calculs de probabilités ) Evénement certain, événement impossible L ensemble vide est l événement impossible. P (Ǿ) = 0 L univers est l événement certain. P (Ω ) = Un événement élémentaire est un événement formé d un seul élément.

3 2) Situation d équiprobabilité Propriété : en situation d équiprobabilité, si A est un événement formé de k éventualités dans un univers qui en contient n, alors P (A) = k n On écrit aussi : P (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A : nombre de cas possibles Ex :On place dans un sac quatre jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard l un parès l autre, sans les remettre, trois jetons du sac. On lit les lettres obtenues. a) Déterminer à l aide d un arbre, toutes les issues de l expérience. b) Calculer la probabilité des événements E et F. E «le er jeton tiré porte la lettre B» F «Le jeton marqué C n a pas été tiré» 3) Réunion et intersection d événements Définition et théorème : L événement A et B, noté aussi A B, est l événement «A et B se produisent simultanément». Il est formé de toutes les éventualités appartenant à la fois à A et à B L événement A ou B, noté aussi A B, est l événement «A ou B se produit». Il est formé de toutes les éventualités appartenant à A ou à B Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints lorsqu ils n ont pas d éléments en commun. Ils ne peuvent pas être réalisés simultanément. A B = Si A et B sont deux événement quelconques, on a: P ( A B) = P (A) + P (B) P (A B) Si A et B sont incompatibles, alors : P ( A B) = P (A) + P (B) Ex : Dans un groupe de 20 personnes, 0 personnes s intéressent à la pêche, 8 à la lecture et 3 s intéressent à la pêche et à la lecture. On choisit au hasard une personne du groupe. a) Calculer la probabilité qu elle s intéresse à la pêche ou à la lecture. b) Calculer la probabilité qu elle ne s intéresse ni à la pêche, ni à la lecture. 4) Evénements contraires On appelle événement contraire de l événement A, noté A, le complémentaire de A dans Ω. Il est formé de tous les éléments de Ω n appartenant pas à A. On a : P (A) = P (A)

4 PROBABILITES : Variable aléatoire I Définition et notation Exemple : On considère l expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré à six faces, numérotées de à 6 Pour tout entier i entre et 6, l événement élémentaire «on obtient la face i» est notée {i} ) Quelle est la probabilité d obtenir chacune des faces du dé lors d un tirage? 2) Le joueur lance un dé et selon le résultat obtenu il marque ou perd des points. Résultat du lancer du dé Points On note X le nombre de points obtenus a) Quelles sont les valeurs que peut prendre X? b) Décrire l événement { X = 2 }à l aide des événements élémentaires, puis calculer sa probabilité. c) De même décrire l événement { X = - }, puis calculer sa probabilité 3) a) Que pensez-vous du raisonnement suivant? - +2 «X peut prendre deux valeurs 2 et -, donc en moyenne, on peut espérer gagner = 2 2 point. b) Calculer la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités respectives. Explique pourquoi cette valeur est appelée espérance mathématique de X Définition : On appelle variable aléatoire sur un univers fini, une fonction qui, à tout événement élémentaire de l univers, associe un nombre réel. Remarque : Elle est généralement notée par une lettre majuscule (souvent X) Notation : X : A a où A est un événement élémentaire de l univers et a un nombre réel a est une valeur prise par X On note { X = a }, ou plus simplement X = a, l événement qui contient tous les résultats de l expérience aléatoire associés à la valeur a Exercice : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibréeet on note, pour chacun des deux lancers, P si la pièce retombe côté pile et F si la pièce retombe côté face. ) Quel est l univers associé à cette expérience aléatoire? 2) On décide que l obtention du côté pile fait gagner 5 au joueur, alors qu il perd 2 si la pièce retombe sur le côté face. Soit X la variable aléatoire qui, à un résultat du jeu, associe le gain du joueur a) Quelles sont les valeurs prises par X? b) A quels résultats du jeu correspondent les événements suivants : X = 0 ; X < 0 ; X 3? c) Quelle est la probabilité de l événement X = 0? II Loi de probabilité Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini muni d une probabilité P Soit x, x 2,.x n les valeurs prises par X La loi de probabilité de X est la fonction qui, à chacune des valeurs x i prises par X, fait correspondre la probabilité p i de l événement X = x i. Remarque : en général, une loi de probabilité se présente à l aide d un tableau de la forme : x i x x 2 x n P (X = x i ) p p 2 p n Exercice : reprendre l exercice précédent et établir la loi de probabilité de X

5 III Fonction de répartition Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini, muni d une probabilité P On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur IR par P ( X x ) Exercice : reprendre l exercice précédent Les valeurs prises par X sont 0, 3 et 4 Calculer les probabilités des événements X < - 4 ; X = -4 ; X = 3, puis compléter Pour tout x < - 4 Pour tout x de [ -4 ; 3[ Pour tout x de [3 ; 0[ Pour tout x > 0 Puis représenter F sur le graphique ci contre Remarque : La fonction de répartition d une variable aléatoire définie sur un univers fini est toujours une fonction en escalier Elle est croissante sur IR, elle prend 0 comme valeur minimale et comme valeur maximale IV Espérance mathématique Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x, x 2,.x n avec les probabilités respectives p, p 2, p n On appelle espérance mathématique de X et on note E (X), le nombre réel défini par : E (X) = p x + p 2 x p n x n Remarque : l espérance est la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire pondérées par leur probabilité. Dans le cas d un jeu, on parle de l espérance de gain, et on considère ce jeu équitable si l espérance de gain est égale à 0. Exercice : reprendre l exercice précédent, calculer l espérance de gain et dire si le jeu est équitable. V Variance et écart type Définition : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x, x 2,.x n avec les probabilités respectives p, p 2, p n On appelle : Variance de X, et on note V (X), le nombre réel : V (X) = p x 2 + p 2 x p n x n 2 [ E (X)] 2 Ecart type de X et on note σ (X) le nombre réel : σ (X) = V (X) Remarque : la variance et l écart type mesurent la dispersion de la variable aléatoire X autour de l espérance mathématique La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne (autre formule voir livre page 263) La variance n a pas d unité, alors que l espérance mathématique et l écart type ont la même unité que les valeurs prises par X Exercice : calculer la variance et l écart type de l exercice précédent

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