Exercices sur le raisonnement par récurrence - Corrigé

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1 Exercices sur le raisoemet par récurrece - Corrigé Arithmétique 1) Motrer, pour tout etier aturel, que 1 est divisible par 3. O cosidère la propriété : Quelque soit l etier, il existe u etier k tel que 1 = 3k (c est-àdire que 1 est u multiple de 3). Motros par récurrece sur, cette propriété. Iitialisatio : 0 1 = 0. Or 0 est u multiple de 3. Doc 0 est vérifiée. Soit u etier aturel. O suppose que 1 est u multiple de 3. Il existe doc u etier k tel que 1 = 3k Au rag + 1 : (+1) 1 = 1 = + 3 = [ 1] + 3 = (3k) + 3 = 3[k + 1]. Or, 3[k + 1] est bie u multiple de 3. Doc si 1 est u multiple de 3 alors +1 1 est aussi u multiple de 3. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout N, 1 est u multiple de 3. ) Motrer, pour tout etier aturel, que 1 3 est divisible par 9 O cosidère la propriété : Quelque soit l etier, il existe u etier k tel que 1 3 = 9k (c est-à-dire que 1 3 est u multiple de 9). Motros par récurrece sur, cette propriété. Iitialisatio : = 0. Or 0 est u multiple de 9. Doc 0 est vérifiée. Soit u etier aturel. O suppose que 1 3 est u multiple de 9. Il existe doc u etier k tel que 1 3 = 9k Au rag + 1 : (+1) 1 3( + 1) = = = [ 1 3] + 9 = (9k) + 9 = 9[k + ] Or 9[k + ] est bie u multiple de 9. Doc si 1 3 est u multiple de 9 alors ( + 1) est aussi u multiple de 9. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout N, N. Duceux LFIB - TS 1

2 1 3 est u multiple de 9. 3) Motrer, pour tout etier aturel, que 3 est divisible par 3. O cosidère la propriété : Quelque soit l etier, il existe u etier k tel que 3 = 3k (c est-àdire que 3 est u multiple de 3). Motros par récurrece sur, cette propriété. Iitialisatio : = 0. Or 0 est u multiple de 3. Doc 0 est vérifiée. Soit u etier aturel. O suppose que 3 est u multiple de 3. Il existe doc u etier k tel que 3 = 3k Au rag + 1 : ( + 1) 3 ( + 1) = ( + 1)[( + 1) 1] = ( + 1)[ ] = ( + 1)[ + ] = = = 3k + 3( + ) = 3[k + + ]. Or, 3[k + + ] est bie u multiple de 3. Doc si 3 est u multiple de 3 alors ( + 1) 3 ( + 1) est aussi u multiple de 3. Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout N, 3 est u multiple de 3. ) Motrer que pour tout etier aturel, 3 1 est u multiple de 7 O cosidère la propriété : Quelque soit l etier, il existe u etier k tel que 3 1 = 7k (c est-àdire que 3 1 est u multiple de 7). Motros par récurrece sur, cette propriété. Iitialisatio : = 0. Or 0 est u multiple de 7. 0 est doc vérifiée. Soit u etier aturel. O suppose que 3 1 est u multiple de 7. Il existe doc u etier k tel que 3 1 = 7k Au rag + 1 : 3(+1) 1 = = = = = 8( 3 1) + 7 = 8 7k + 7 = 7 (8k + 1). Or 7 (8k + 1) est bie u multiple de 7. Doc si 3 1 est u multiple de 7 alors 3(+1) 1 est aussi u multiple de 7. N. Duceux LFIB - TS

3 Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout N, 3 1 est u multiple de 7. Suites 5) O cosidère la suite (u ) défiie par { u +1 = 1 3 u u 0 = 5 Motrer que pour tout etier aturel, u 3. Motros par récurrece la propriété : Pour tout etier aturel, u 3. Iitialisatio : u 0 = 5 3. La propriété est vraie pour = 0. Soit u etier aturel. Supposos que u 3 u u 1 3 ( 3) 1 3 u 1 3 ( 3) u +1 3 Coclusio : O a motré que la propriété est vraie au rag = 0 et que si est vraie alors +1 est vraie. Doc pour tout etier aturel, u 3. ) O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 8 et pour tout N u +1 = 5 u + 3 Démotrer par récurrece sur que pour tout etier aturel, u = 3 ( 5 ) + 5. Motros par récurrece la propriété : Pour tout etier aturel, u = 3 ( 5 ) + 5. Iitialisatio : u 0 = 8. D autre part, 3 ( 5 )0 + 5 = = 8. O a doc bie u 0 = 3 ( 5 )0 + 5 La propriété est doc vraie pour = 0. Soit u etier aturel. Supposos que u = 3 ( 5 ) + 5 u +1 = 5 u + 3 = 5 [3 ( 5 ) + 5] + 3 = 3 ( +1 5 ) = 3 ( 5 ) + 5 Coclusio : O a motré que la propriété est vraie au rag = 0 et que si est vraie alors +1 est vraie. Doc pour tout etier aturel, u = 3 ( 5 ) ) Soit (u ) la suite défiie par u 0 = 0 et u +1 = u Démotrer par récurrece sur que pour tout etier aturel, u = 5 [1 ( 5 ) ]. Motros par récurrece la propriété : Pour tout etier aturel, u = 5 [1 ( 5 ) ]. Iitialisatio : u 0 = 0. D autre part, 5 [1 ( 5 )0 ] = 0. O a doc bie u 0 = 5 [1 ( 5 )0 ] N. Duceux LFIB - TS 3

4 La propriété est doc vraie pour = 0 Soit u etier aturel. Supposos que u = 5 [1 ( 5 ) ]. u +1 = 5 u + 3 = 5 [5 (1 ( 5 ) )] + 3 = 5 ( +1 5 ) + 3 = 5 5 ( +1 5 ) = 5 [1 ( +1] 5 ). Coclusio : O a motré que la propriété est vraie au rag = 0 et que si est vraie alors +1 est vraie. Doc pour tout etier aturel, u = 5 [1 ( 5 ) ]. Sommes 8) Démotrer par récurrece sur l etier 1, que p = ( + 1) Iitialisatio : = p = 1 et 1 (1 + 1) = 1 doc la propriété est vraie au rag 1. Soit u etier aturel 1. Supposos que p = +1 ( + 1) p = p + ( + 1) = Aisi, l hérédité est prouvée. Coclusio : 1, p = ( + 1) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) = ( + 1)( + ) 9) Démotrer par récurrece sur l etier 1 que p = ( + 1)( + 1) = Motros par récurrece sur 1 que p = = Iitialisatio : ( + 1)( + 1) 1 = 1 et 1(1+1)( 1+1) = = 1. La propriété est doc vraie pour = 1 N. Duceux LFIB - TS

5 Soit 1. Supposos que = (+1)(+1) +1 p = O factorise la somme par ( + 1) : + ( + 1) = p + ( + 1) ( + 1)( + 1) = ( + 1)( + 1) + ( + 1) ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) [ ] = ( + 1) ( + 1)( + )( + 3) = Doc, +1. L hérédité est prouvée. + ( + 1) Coclusio : La propriété est vraie au rag = 1 et elle est héréditaire doc pour tout etier 1, p = ( + 1)( + 1) 10) Démotrer par récurrece sur l etier 1 que p 3 = ( p) = ( + 1) Démotros par récurrece sur l etier 1 que : p 3 = ( + 1) Iitialisatio : Pour = 1, 1 3 = 1 = 1 (1+1). Doc 1 est vraie. Soit u etier aturel 1. Supposos que = (+1) +1 p 3 = p 3 + ( + 1) 3 = ( + 1) + ( + 1) 3 = ( + 1) [ + + 1] = ( + 1) [ + + ] = ( + 1) ( + ) N. Duceux LFIB - TS 5

6 Aisi, si la propriété est vraie au rag alors elle est vraie au rag + 1 Coclusio : La propriété est vraie pour = 1 et elle est héréditaire doc elle est vraie pour tout etier 1. Aisi, pour tout etier 1, p 3 = ( + 1) 11) Démotrer par récurrece sur l etier 1, que p(p + 1) = + 1 Motros par récurrece la propriété : Pour tout 1, p(p + 1) = 1 1(1 + 1) + 1 ( + 1) Iitialisatio : 1 = 1 = 1. 1(1+1) est vraie. ( + 1) = + 1 Soit 1. O suppose que p(p + 1) = 1 1(1 + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) = + 1 p(p + 1) = 1 1(1 + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) + 1 ( + 1)( + ) = p(p + 1) + 1 ( + 1)( + ) E utilisat l hypothèse de récurrece, o a +1 p(p + 1) = ( + 1)( + ) O réduit les termes de la somme à droite de l égalité au même déomiateur : +1 p(p + 1) = ( + 1)( + ) = ( + ) + 1 ( + 1)( + ) = ( + 1)( + ) = ( + 1) ( + 1)( + ) = Doc +1 Coclusio : La propriété est vraie pour = 1 et elle est héréditaire doc, pour tout etier 1, p(p + 1) = + 1 N. Duceux LFIB - TS

7 1) Démotrer par récurrece sur l etier 1 que ( p) Iitialisatio : = ( + 1) Pour = 1, 1 = 1 = 1 (1+1). Doc 1 est vraie. Soit u etier 1. Supposos que ( ) = (+1) +1 ( p) = ( ) O développe l idetité remarquable (a + b) avec a = et b = + 1 D où : ( ) = ( ) + ( )( + 1) + ( + 1) = ( + 1) = ( + 1) [ + + 1] = ( + 1) + + = ( + 1) (+) = ( + 1) ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = Aisi, si la propriété est vraie au rag alors elle est vraie au rag + 1. Coclusio : La propriété est vraie pour = 1 et elle est héréditaire doc elle est vraie pour tout etier 1. 1,( p) = ( + 1) Foctios 13) Iégalité de Beroulli Démotrer que pour tout x ]0; + [ et pour tout N, (1 + x) 1 + x Motros par récurrece sur, la propriété : Pour tout x ]0; + [ et pour tout N, (1 + x) 1 + x N. Duceux LFIB - TS 7

8 Iitialisatio : Cette propriété est vraie pour = 0. E effet, (1 + x) 0 = x Soit N. O suppose que (1 + x) 1 + x (1 + x) +1 = (1 + x) (1 + x) Or sur l itervalle ]0; + [, 1 + x > 0 doc (1 + x) 1 + x (1 + x) (1 + x) (1 + x)(1 + x) (1 + x) x + x + x 1 + x + x + x = 1 + ( + 1)x + x 1 + ( + 1)x car x 0 Doc (1 + x) ( + 1)x Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout x ]0; + [ et pour tout N, (1 + x) 1 + x. 1) Pour tout N, o ote f la foctio défiie sur R par f (x) = x Démotrer que f est dérivable et que pour tout réel x, f (x) = x 1 O cosidère la propriété défiie par : Pour tout etier 1,f est dérivable et pour tout réel x, f (x) = x 1 Iitialisatio : f 1 (x) = x. Cette foctio est dérivable sur R et f 1 (x) = 1. (C est la limite quad h ted vers 0 du taux d accroissemet f 1 (1+h) f 1 (1) h = 1+h 1 h = 1). Or 1x 1 1 = 1. Doc o a bie f 1 (x) = 1x 1 1 et 1 est vraie. Soit u etier aturel o ul tel que la foctio f défiie sur R par f (x) = x est dérivable sur R et de dérivée f (x) = x 1. f +1 (x) = x +1 = x x. C est le produit de deux foctios dérivables : x x et x x (hypothèse de récurrece). Doc f +1 est aussi dérivable. O utilise la formule de dérivatio : (uv) = u v + uv avec u(x) = x et v(x) = x. (x) f +1 = x 1 x + x 1 = x + x = ( + 1)x. Doc +1 Coclusio : La propriété est vraie pour = 1 et elle est héréditaire doc pour tout N, f est dérivable et pour tout réel x, f (x) = x 1. N. Duceux LFIB - TS 8

9 Géométrie 15) Doer le ombre de diagoales d u quadrilatère, d u petagoe, d u hexagoe. O ote d, le ombre de diagoales d u polygoe covexe à sommets,. Deux des formules suivates sot vraies pour. a) d +1 = d + 3 b) d +1 = d + ( 1) +1 c) d +1 = d + 1 d) d +1 = d + e) d = 3 Lesquelles? Détermier la première formule à l aide des graphiques et l utiliser pour démotrer par récurrece la secode. O vérifie graphiquemet que le quadrilatère a deux diagoales, le petagoe a 5 diagoales et l hexagoe e a 9. Seules les formules c) et e) covieet. Admettos la formule d +1 = d + 1 pour tout etier. Motros par récurrece la propriété : Pour tout etier d = 3 Iitialisatio : d = = 3. est vérifiée. Soit. O suppose que d = 3 Par défiitio d +1 = d + 1 D où, e utilisat l hypothèse de récurrece : d +1 = 3 Doc = 3 + = N. Duceux LFIB - TS 9 = ( + 1) 3( + 1) Coclusio : La propriété est vraie pour = et elle est héréditaire, elle est doc vraie pour tout etier. E d autres termes, le ombre de diagoales d u polygoe covexe à sommets est 3.