Corrigé. Premier problème. e + 1. Lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, +, e 1. + et x
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- Liliane Pelletier
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1 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço Corrigé Prmir problèm. Lorsqu td vrs par valurs égativs,,, t f (. La foctio f st pas cotiu à gauch, doc st pas dérivabl à I gauch..lorsqu, il y a idétrmiatio ; posos X = ; alors X, X f ( = X (croissac comparé. D lim f ( = f (, o déduit qu f st cotiu à droit Pour >, posat comm ci-dssus X =, qu f st dérivabl à droit t qu f ( =.. Lorsqu ±, t d f ( f ( 3 X = X, c qui motr ; doc lim f ( =, c qui motr qu l a ds ± abscisss st asymptot à ( C lorsqu ±. O a vu qu lim f ( =, c qui motr qu l a ds ordoés st asymptot à ( C. La foctio f st idéfiimt dérivabl sur qui l sot t f ( = 3 ; f ( = D où ls variatios d f : R comm produit t composé d foctios / f ( f (
2 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço 3. O a, pour : f ( = 5 f ( =. 3 3 O déduit qu f ( st du sig d qui a pour racis = 3 3 t = D où : f st cov sur ,, f st cocav sur, Pour = t =, o a u poit d iflio car f s aul t chag d sig.. La dmi-tagt O st horizotal. p(- O / II 5. Pour, o a : f (. Comm l uité graphiqu st d cm, l air dmadé st A ( h = p d h. u / h E posat u =, o obtit : A ( h = du ; aisi A ( h = cm. / h
3 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço. Lorsqu h td vrs par valurs positivs, lim A ( h = cm. > /h td vrs ; doc l air chrché st : 7. Il s agit d u équatio différtill liéair, sas scod mmbr. Pour, o a : y = y ; d d = d = l pour > : III, o déduit, y = λ p l = λ pour <, y = µ p l ( = µ ( λ R t,, ( µ R. 8. Supposos qu y soit solutio sur R d l équatio ( E. Ell st solutio sur ist u costat λ tll qu > y ( = λ ; D mêm, ll st solutio sur R, doc il ist u costat µ tll qu < y ( = µ L fait qu l équatio ( E soit vérifié pour = traî y ( =. Comm f st dérivabl à droit, y st dérivabl à droit. R, doc il Comm f st pas dérivabl à gauch, y st pas dérivabl à gauch, sauf si µ =. Aisi, il ist u rél λ tl qu y ( = λ si >. si Réciproqumt, soit y la foctio défii par y ( = λ si >, où λ st u si * costat réll. Ctt foctio st dérivabl sur R t l o a : y ( ( y ( =, puisqu ls rstrictios d y à R t à R (prdr µ = sot solutios d ( E. D plus, y à dérivabl à droit (y = λf t ll st aussi dérivabl à gauch (foctio costat t l o yd ( = yg ( =. Doc y st dérivabl sur R t puisqu y ( ( y ( =, y st solutio sur R. 3
4 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço La solutio gééral d ( E sur R st doc défii par y ( = λ si >, où λ st si u costat réll. 9. La foctio f st idéfiimt dérivabl sur qui l sot.. E posat P ( X =, o a P =, où f IV R comm produit t composé d foctios ( P f = t posat P =, o a bi P st u polyôm. ( P Supposos qu il ist u polyôm P tl qu f = ; ( P alors ( 3 P ( f = ( P, soit ( P ( P ( P ( f = ( Posos P ( = P ( [ ( ] P ( ; alors P st u polyôm (somm t ( P produit d polyôms t l o a : f =, c qui prouv, par récurrc, qu ( ( P N, il ist u polyôm P tl qu f = D plus, o a vu qu : P ( = P ( [ ( ] P (. O a vu qu P ( = t qu P ( = D la rlatio précédt, o déduit : pour = P ( = P ( ( P ( ; doc P = ; = P = ; doc pour = 3 3 P P = = ; doc Pour P =. D l am ds polyôms P, P, P, P 3, o put formulr l hypothès d récurrc suivat : P st u polyôm d dgré, d trm costat t d cofficit domiat a = ( (! ;
5 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço D P ( = a Q ( avc Q [ ] R, o déduit, utilisat la rlatio ( qu : [ ]( P = a Q a Q = a ( Q avc d ( Q < ; doc l cofficit domiat d P st a ( = ( (! ; d plus P ( = P ( P ( = P ( =, c qui motr qu : N, P st u polyôm d dgré d cofficit domiat ( (! t d trm costat. 3. D g ( =, o déduit g ( = = f, soit g = f. Par suit, ls foctios état idéfiimt dérivabls sur g ( ( = f. R, ( g = f, soit. O rappll qu si u t v sot fois dérivabls sur u itrvall I, alors uv l st aussi t qu ( ( k ( k uv = u v k. k = 5. La formul d Libiz do, puisqu ls dérivés d ordr supériur à 3 d sot ulls : d ( ( ( ( f = f f f ; d où, d ( ( ( ( f f ( f ( = f (. Doc : P ( ( P ( ( P ( P = = ( P ( = P ( ( P ( ( P ( ou [ ] P P P. Par différc ds rlatios ( t (, il vit : P ( = ( P ( 7. E dérivat la rlatio (, il [ ], soit vit : P ( = P ( P ( P ( ( P, soit P ( P P P = ; d où, compt tu d P ( = ( ( P (, il vit : P ( ( P ( ( P ( = 5
6 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço Problèm I 8. Supposos qu λq ( X λ Q ( X λ Q ( X = E rmplaçat X par i 3 3 c qui motr qu la famill (,, a, o obtit : λ Q ( a = t, comm 3 i i i Q Q Q st libr. 9. U calcul élémtair do : P =, P ( 3 =, P ( 5 = P =, P ( 3 =, P ( 5 = P =, P ( 3 =, P ( 5 = Ls résultats obtus au. s appliqut : la famill (,, 3 Puisqu ctt famill libr comport 3 vcturs d R [ X ] t qu [ X ] 3, la famill ( P, P, P st u bas d R [ ]. 3 X Q a, o a : λ = i, i i P P P st libr. R st d dimsio i. U calcul simpl do : 5 X P ( X = X X X P ( X = 3 X X P3 ( X = 8 8 D où la matric A = Ctt matric st ivrsibl, comm matric d passag d u bas à u autr bas. Pour calculr so ivrs, résolvos l systèm A y = y, c qui do z z
7 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço y z = y z = y y z = z 8 8 = y z Après calculs, o obtit : y = 3y 9z z = 5y 5z D où : A 3 9 = Comm P, la divisio uclidi par P st possibl t ˆ ( ˆ P X = P X Q X P X avc d P < 3 Pour tout coupl ( P, P d polyôms t pour tout coupl ( λ, λ d ombrs réls, o a : ˆ P X = P X Q X P ( X d ( P < 3 P ( X P ( X Q ( X Pˆ = ( X d ( P < 3 D où λp ( X λp ( X = P ( X ( λq ( X λq ( X λ ˆ P ( X λ ˆ P ( X Or ˆ ˆ ˆ d λp X λ P X Ma d P, d Pˆ < 3, c qui motr qu l rst d la ( ( ( divisio uclidi d λp ( X λp par P st λp ˆ ( X λ ˆ P ( X Doc f ( λ P λ P = λ f ( P λ f ( P, c qui prouv qu l applicatio f st liéair.. Il st immédiat qu Im f [ X ] R. D plus, si P st u polyôm d T, alors f ( P c qui prouv qu R [ X ] Fialmt : Im f =R [ X ] Im f = P car P = P ( X P avc d ( P < 3., 5. P Kr f f ( P =, c qui sigifi qu : P ( X = P ( X Q ( X, où Q st u polyôm qulcoqu Aisi Kr f = { P ( X Q ( X / Q ( X R[ X ]} = P ( X R [ X ]. Comm 3 [ ] d P ˆ < f P ˆ = P ˆ, soit f f ( P = P P R X ou motr qu f st u projctur. L applicatio f st doc la projctio sur Im f [ X ] [ ] Kr f = P X R X. =R parallèlmt à f = f, c qui 7
8 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço 7. Puisqu ˆP T, ˆP s décompos d maièr uiqu sur la bas P d R [ X ]. Doc : ˆP ( X = λ P ( X λ P ( X λ3 P 3 ( X O déduit : P ˆ ( = λ P ( = λ car P ( = t P3 ( = ; P ˆ ( 3 = λ P ( 3 = λ t P ˆ ( 5 = λ 3 P 3 ( 5 = λ 3 E outr P ( X = P ( X Q ( X Pˆ ( X Comm P = P ( 3 = P ( 5 =, o a : P = P ˆ (, P ( 3 = P ˆ ( 3, P ( 5 = P ˆ ( 5 Doc : P ˆ ( X = P ( P ( X P ( 3 P ( X P ( 5 P ( X 3 8. Puisqu A st la matric d passag d la bas B à la bas P, passag d P à B. O obtit doc l ivrs d A décomposat A X X sur la bas (,, 3,, E utilisat la rlatio précédt, o obtit, doat à P ls valurs = P ( X P ( X P3 ( X X = P ( X 3P ( X 5P3 ( X X = P ( X 9P ( X 5P3 ( X O rtrouv : II st la matric d P P P. A 3 9 = 5 5, X, X : 9. U calcul simpl prouv qu ( M I ( M 3I ( M 5I =. Comm M t I commutt pour la multiplicatio ( MI = IM, l produit ds autrs facturs obtus par prmutatio sot égau au produit précédt. Ls différts produits sot doc tous uls. 3. Par défiitio, E st l sous spac vctoril gdré par (,, 3. Rmarquos qu o a : La rlatio M 3 = 3 9 I ym zm = do : I M M. 3y 3z = y z =. 3y 9z = E rtrachat la prmièr équatio à la drièr, il vit z =, puis y = t fi z =. I, M, M st doc libr. La famill Puisqu ll st géératric d E, c st doc u bas d E. Par suit : E st u spac vctoril d dimsio 3. 8
9 Autur du Sujt : M. OURY ; Lycé Victor HUGO - Bsaço 3. Pour tout coupl ( α, α d réls t pour tout coupl d polyôms d [ ] P X = a b X c X, o a : P ( X = a bx cx ( α P ( X α P ( X = ( α a α a ( α b α b X ( α c α c X D où : Φ [ α P ( X α P ( X ] = ( α a α a I ( α b α b M ( α c α c M ( a I b M c M α ( a I b M c M = α ; doc : ( α P α P α ( P α ( P Φ = Φ Φ, c qui motr qu Φ st liéair., X, X la bas ( I, M, M Puisqu Φ trasform la bas Aisi : Φ st u isomorphism d [ ] R sur E. X R : X, Φ st bijctiv. 33. E 8, o a motré qu = P ( X P ( X P3 ( X X = P ( X 3P ( X 5P3 ( X X = P ( X 9P ( X 5P3 ( X L isomorphism Φ motr qu : Φ = Φ Φ Φ 3 Φ = Φ Φ Φ Φ = Φ Φ Φ ( P ( P ( P ( X ( P 3 ( P 5 ( P 3 ( X ( P 9 ( P 5 ( P3 D où I = B B B 3 M = B 3B 5B3 M = B 9B 5B 3 3. Par défiitio ds B i, o a : B = P ( M = ( M 3I ( M 5I 8 B = P ( M = ( M I ( M 5I B3 = P3 ( M = ( M I ( M 3I 8 Comm das l produit ( M I ( M 3I ( M 5I, o put prmutr ls facturs, o a : BB = ( M I ( M 3I ( M 5I ( M 5I = ( M 5I = 3 D mêm, o a immédiatmt : B B = si i j i j 9
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