TRIGONOMÉTRIE Rappels de Seconde et 1S. II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

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1 I. Définition du cercle trigonométrique TRIGONOMÉTRIE Rappels de Seconde et 1S Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ) et orienté dans le sens direct. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Sens direct : sens contraire des aiguilles d'une montre. II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique On se place dans un repère orthonormé (O, i, j ). C est le cercle trigonométrique et (AC) est la droite tangente à C en A et orientée de sorte que (A, j ) soit un repère de la droite (AC). Lorsqu'on enroule le droite (AC) autour de C, à tout point N d'abscisse x de la droite (AC), on associe un unique point M du cercle. La longueur de l'arc AM est égale à la longueur AN. Le périmètre du cercle trigonométrique C est. Au réel d'abscisse, on fait correspondre un angle de 0 (un tour complet après enroulement). Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Abscisse de N sur (AC) Angle ÂOM en degré Voir l'animation : Cette animation permet de voir l'enroulement d'un réel d'abscisse x sur le cercle trigonométrique. Décochez les cases sinus et cosinus (sources d'embrouilles)

2 À plusieurs points de la droite orientée (AC) on peut faire correspondre un même point du cercle. Sur l'exemple ci-contre, les points N et P d'abscisses respectives et 5 correspondent au même point M du cercle C. Réciproquement... Propriété : à tout point M du cercle trigonométrique est associé une infinité de réels. Soit x l'un de ces réels, les autres sont les réels x+ k ou k est un entier relatif. Par exemple, les points d'abscisses respectives 9 correspondent au même point S du cercle C. et III. Le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle Soient deux points A et B d'u cercle trigonométrique C. Un angle de 1 radian est un angle au centre interceptant sur un arc de longueur 1. On considère que la mesure de l'angle géométrique ÂOB a pour mesure la longueur de l'arc AB. Cette nouvelle unité de mesure est le radian. On le note rad. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Mesure en degré Mesure en radian x 0 x ( 180 )

3 IV. Angles orientés de deux vecteurs et mesure principale Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ) et orienté dans le sens direct. u et v sont deux vecteurs non nuls. A et B sont deux points tels que OA = u et OB = v. Soient A' et B' les intersections de [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique C. Si A' est l'image du réel x et B' est l'image du réel y, alors y x est une mesure en radian de l'angle orienté ( u ; v ). Chacun des nombres ( y x )+ k ou k est un entier relatif est une mesure de l'angle orienté ( u ; v ). Parmi toutes les mesures de l'angle orienté( u ; v ) de deux vecteurs non nuls, il en existe une et une seule dans l'intervalle ] ; ] On l'appelle la mesure principale de l'angle orienté ( u ; v ). Rappels utiles : ici Démonstrations utilisant la relation de Chasles.

4 V. sinus et cosinus d'un nombre réel Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ) et orienté dans le sens direct. C est le cercle trigonométrique Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d abscisse x. À ce point N, on fait correspondre le point M sur le cercle trigonométrique. H est le projeté orthogonal de M sur l axe des abscisses K est le projeté orthogonal de M sur l axe des ordonnées. On appelle cosinus du réel x et on note cos x l'abscisse du point M. On appelle sinus du réel x et on note sin x l'ordonnée du point M. Lignes trigonométriques remarquables... à connaître par cœur!

5 VI. Formulaire de trigonométrie Pour tout x réel et tout entier k, on a : (cos x ) +(sin x ) 1 cos x 1 =1 { 1 sin x 1 cos(x+k )=cos x { sin (x+k )=sin x Moyen mnémotechnique(qui vaut ce qu'il vaut) pour retenir les formules d'addition Le sinus est sympathique, le cosinus est c... Cosinus est c..., donc : il ne veut pas aller voir les sinus, il ne veut pas les laisser passer devant. il change les signes. D'ou : cos ( a+b )=cos (a )cos (b) sin (a) sin (b ) et cos ( a b )=cos (a )cos (b)+sin (a) sin (b ) Par contre, le sinus est sympathique, donc : il va à la rencontre des cosinus, il ne va pas toucher au signe. D'ou : sin (a+b )=sin (a) cos ( b )+sin (b) cos ( a ) et sin (a b)=sin (a) cos ( b ) sin (b) cos ( a )

6 VII. Équation du type cos x=cos a ou sin x =sin a a étant connu Équation cos x=cosa ; l'inconnue est x, a est un réel. sin x=sin a ; l'inconnue est x, a est un réel. Représentation graphique Interprétation Deux points, et deux seulement, ont la même abscisse cos a Deux points, et deux seulement, ont la même ordonnée sin a Solutions L'équation cos x=cosa équivaut à : { x=a+ k x= a+ k L'équation sin x=sin a équivaut à : { x=a+ k x= a+ k Connaître les lignes remarquables sera d'un grand secours. Exemple : résoudre dans R l'équation sin ( x ) = 1 D'après le cercle trigonométrique ou la connaissance des lignes trigonométriques remarquables, on sait que le sinus vaut 1 pour ou 5 modulo. sin ( x ) = 1 x = [ ] ou x = 5 x= 5 [ ] ou x= [ ] [ ] L'équation a pour solutions + k et 5 + k ou k Z.

7 Exercices Exercice 1 : Donner la mesure principale des angles suivants 7 ; 75 ; 185 Voir correction Exercice n (sans calculatrice) A B C L'angle de mesure 17 a aussi pour mesure Les angles de mesures principales et ont le même cosinus et des sinus opposés Les angles de mesures le même cosinus principales et ont : et des sinus opposés La valeur exacte de sin 5 est : des cosinus opposés et le même sinus des cosinus opposés et le même sinus des cosinus opposés et des sinus opposés des cosinus opposés et des sinus opposés Soit La valeur exacte de sin 50 est : x [ ; ] tel que sin x = 1 alors 1 cos x 0 cos x = cos x = 15 Si = 5, alors : La mesure en radians d'un angle de 108 est égale à cosα= et sin α= 1 5 Les solutions dans ]- ; ] de l'équation sin x= 1 sont : et 7 Les solutions dans ]- ; ] de l'équation cos x= sont : Soit ( u; v) un angle orienté tel que ( u; v) = 1. Sa mesure principale est égale à et 7 7 cosα= et sin α= 1 5 et et cosα= 1 et sin α= 5 et 11 et Voir correction

8 Exercice : On sait que x [ ; ] et sin x = 5 Exercice n : Soit x un réel de [- ; 0] tel que cos x= 1. Montrer que (sin ( x ) ) = ( + ) Déterminer cos x. puis en déduire la valeur de sin x. a. En utilisant une formule d'addition montrer que cos ( x+ ) = 1. b. En déduire la valeur de x.. Voir correction Voir correction

9 Réponses Exercice 1 : 5 Exercice 1B B A A 5C A-C 7B 8A 9A 10B 11C Exercice : on utilise (cos x ) +(sin x ) =1 1. sin x= 5 et (cos x ) +(sin x ) =1 donc (cos x ) = 1 5 x [ ; ] 1 donc cos x 0. On en déduit que cos x= 5 Exercice Soit x un réel de [- ; 0] tel que cos x=. 1. (cos x ) +(sin x ) =1 ( (sin x ) =1 cos x ) cos x= et (sin x ) =1 (cos x ) donc sin 8+ 1 x= = 1 ) et après avoir développé ( + ) on a prouvé que (sin ( x ) ) = ( + x est un réel de [- ; 0] donc sin x 0 d'ou sin ( x )= + a. cos ( x+ ) =cos x cos ( ) sin x sin ( ) = ( cos x sin x )= = = 1 b. cos ( x+ ) = 1 cos ( x+ ) =cos ( ) x+ = [ ] ou x+ = [ ] x est un réel de [- ; 0] donc négatif, x= 7 1 [ ]