Plan du chapitre 3 (suite):

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1 4//5 Chapre3: Modèles non lnéares de la Fnance (sue) Plan du chapre 3 (sue): Modèles ARCH e prévsons Varanes des processus ARCH: ARCH-M (AuoRegressve Condonnal Heeroscedascy-n Mean) GARCH-M

2 4//5 Modèles ARCH e prévsons La queson de la prévson dans le cadre des processus deypearchaééabordéepardenombreuxaueurs. Engle e Kraf (983) ans que Engle e Bollerslev (986) on dérvé les expressons de la varance de l erreur de prévson dans le cas de processus avec erreurs ARCH e GARCH respecvemen. Bollerslev (986) ans que Granger, Whe e Kamsra (989) se son néréssés à la consrucon d nervalles de confances pour des prévsons à un pas. Dans le domane des prévsons, on pourra égalemen consuler les ravaux de Geweke (989), Balle e Bollerslev (99) ou encore Nelson e Foser (994, 995). 3 Modèles ARCH e prévsons Consdérons un processus GARCH(p,q) es défn par: ε = u.h avec u ~> N(,) e = Onpeuécrreà l horzonτ: p h = α α ε β h p τ = α α ε τ = q j = q j = j j h β h j τ j 4

3 4//5 Modèles ARCH e prévsons So encore: h n m τ = ( αε τ βh τ ) ( αε τ τ α β h ) où n=mn(m,τ-) e m=max(p,q). En noan I l ensemble d nformaons dsponble à la dae, on a: n m [ τ I ] = ( α β) E[ h τ I ] τ car E[ I ] E[ h I ] s τ>. E h ( αε τ τ α β h ) ε τ = τ τ 5 Modèles ARCH e prévsons A re d exemple, consdérons un processus GARCH(,). On a naurellemen p=q=, donc m= e, pour τ, n=mn(, τ-)=. Par conséquen, on en dédu la relaon suvane: E[ h τ I ] = α ( α β) E[ h τ I ] En noan E[ h ] ˆ τ I = h τ, on a donc la formule récursve pour τ : hˆ ˆ τ = α ( α β) h τ Ben évdemen, lorsque l horzon de prévson τvau, on a: hˆ = α α ε β h 6 3

4 4//5 Modèles ARCH e prévsons Les prévsons de la volalé, pour des horzons de prévsons supéreures à un pas, peuven donc êre effecuées selon l équaon ˆ hˆ α ( α β ) h τ = τ e, pour les prévsons saques (à un pas) selon ˆ h = α α ε β h 7 Modèles ARCH e prévsons On peu auss ulser une relaon alernave, valable quel que so l horzon: hˆ Ans, lorsque l horzon de prévson augmene, la prévson opmale converge de façon monoone vers la varance non condonnelle α α β [ α ε β h ] r r τ = α( α β) ( α β) 8 4

5 4//5 Varanes des processus ARCH: ARCH-M (AuoRegressve Condonnal Heeroscedascy-n Mean). GARCH-M GARCH-DM (Dfference n Mean) GARCH-DLM (Dsrbued Lag n Mean) TARCH (Threshold ARCH) TGARCH (Threshold GARCH) EGARCH (Exponenal GARCH) QGARCH (Quadrac GARCH) ec 9 L éude de ceranes varables fnancères fa en oure apparaîre une relaon enre la moyenne e la varance analysée. Engle, Llene Robns (987) on proposé un modèle spécfque dans leur analyse sur la srucure des aux d nérê: l s ag du modèle ARCH en moyenne, noé ARCH-M (ARCH n Mean). 5

6 4//5 Les modèles de ype ARCH-M son ceranemen la caégore des modèles ARCH la plus pernene d un pon de vue économque. En effe, l évaluaon du rsque consue un pon cenral de l économe fnancère. Or, comme le noen Engle, Llen e Robns (987), les méhodes usuelles de mesure e de prévson du rsque son souven exrêmemen smples e par conséquen nadapées à l analyse des séres emporelles fnancères. Il es rasonnable de penser que, pusque le degré d ncerude concernan les renablés vare au cours du emps, la compensaon que reçoven les agens - présenan de l averson pour le rsque-ssue de la déenon d acons do égalemen varer au cours du emps. Ans, l conven non seulemen de mesurer le rsque, de enr compe de sa varaon au cours du emps, mas égalemen d nclure cee nformaon comme un déermnan de la renablé du re ou du porefeulle. La modélsaon ARCH-M perme de enr compe de ce phénomène en nrodusan la varance condonnelle dans l équaon de la moyenne. 6

7 4//5 Un modèle ARCH-M s écr en se basan sur un modèle AR(p): Φ(L)Y =ε δh p avec h = α α ε Dans ce modèle l espérance condonnelle es foncon de la varance h, ce qu sgnfe que le nveau aen par la varable es foncon de la volalé (ce qu paraî assez réalse pour des cours boursers selon l hypohèse de l averson pour le rsque des agens e donc que l espérance de gan es foncon de la varance). 3 Remarque: L esmaon convergene d un modèle ARCH-M nécesse une bonne spécfcaon de h, alors que pour un modèle GARCH(p,q), des esmaeurs convergens des paramères peuven êre obenus même lorsque la spécfcaon de h es mauvase. Pagan e Ullah(988) on monré que oue erreur de spécfcaon dans l équaon de la varance enraîne des bas e une évenuelle non convergence des esmaeurs des paramères de l équaon de la moyenne. 4 7

8 4//5 Processus GARCH-M Un modèle GARCH-M s écr (dans le cas où l équaon de la moyenne es un processus ARMA): Y =Φ Y - Φ Y - Φ p Y -p ε -θ ε - -θ ε - - -θ q ε -q δh ou encore sous forme smplfée: Φ(L)Y = θ(l)ε δh avec p où Y es un processus saonnare, Ф(L) e θ(l) son les polynômes de reard auorégressf e moyenne moble respecvemen. h = α α ε β h q j= j j 5 Processus GARCH-M Une varaon de la varance condonnelle sera donc accompagnée d une varaon de la moyenne condonnelle de Y. Cocco e Paruolo(99) défnssen un modèle dans lequel c es l accrossemen de la volalé (e non la volalé elle-même) qu va nfluencer le nveau aen par la varable à explquer. 6 8

9 4//5 Bblographe: Régs BOURBONNAIS, Mchel TERRAZA:«Analyse des séres emporelles: Applcaons à l économe e à la geson», DUNOD, 4. Sandrne LARDIC, Valére MIGNON: «Économére des Séres Temporelles Macroéconomques e Fnancères», Economca,. 7 9