IFT Algorithmes et structures de données Introduction à la Théorie des Graphes

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1 1 IFT Algorithmes et structures de données Introduction à la Théorie des Graphes Rachid Kadouche Université de Sherbrooke 16 juillet 2013

2 2 Graphe Un graphe est une représentation symbolique d un réseau

3 Graphe 3 Un graphe est une représentation symbolique d un réseau G=(S,A) S={a, b, c, d, e, f, g, h} A={(a,d), (b,c), (b,d), (d,e), (e,c), (e,h), (h,d), (f,g), (d,g), (g,h)} Un graphe G consiste en un ensemble de noeuds S et d arcs A. Ordre d un graphe : l ordre d un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

4 4 Graphe orienté Dans le graphe G = (S, A) Si a = {x, y} A est une arête du graphe G, x est l extrémité initiale de a et y est l extrémité finale de a.

5 5 Graphe simple Un graphe simple est un graphe pour lequel chaque paires de sommets est reliées par au plus une arête. Dans le cas contraire, le graphe est dit multiple.

6 6 Sous-graphe Le sous-graphe H induit par l ensemble T={b, c, d, g, h} de sommets.

7 7 Degré

8 8 Degré d(d) = 5 Les arêtes incidentes à d sont : (d,a), (d,b), (d,e), (d,h) et (d,g)

9 9 Lemme des poignées de main Lemme La somme des degrés des sommets d un graphe est égal à 2 fois son nombre d arêtes.

10 10 Lemme des poignées de main Lemme La somme des degrés des sommets d un graphe est égal à 2 fois son nombre d arêtes. Soit G = (S, A) un graphe simple, alors s S d(s) = 2 A. En effet, chaque paire (x, y) de A est comptée deux fois, une fois pour d(x) et une seconde fois pour d(y).

11 11 Lemme des poignées de main Lemme La somme des degrés des sommets d un graphe est égal à 2 fois son nombre d arêtes. Soit G = (S, A) un graphe simple, alors s S d(s) = 2 A. En effet, chaque paire (x, y) de A est comptée deux fois, une fois pour d(x) et une seconde fois pour d(y). Prouver le théorème suivant : Theorem Un graphe a un nombre pair de sommets de degré impair.

12 12 Lemme des poignées de main Lemme La somme des degrés des sommets d un graphe est égal à 2 fois son nombre d arêtes. Soit G = (S, A) un graphe simple, alors s S d(s) = 2 A. En effet, chaque paire (x, y) de A est comptée deux fois, une fois pour d(x) et une seconde fois pour d(y). Prouver le théorème suivant : Theorem Un graphe a un nombre pair de sommets de degré impair. Preuve : ( d(s)) ( s S s S:d(s)=2k d(s)) = ( d(s)) s S:d(s)=2k+1

13 13 Graphe complet Un graphe complet est un graphe où chaque sommet est relié à tous les autres. Le graphe complet d ordre n est noté K n. Dans ce graphe chaque sommet est de degré n 1

14 14 Graphe complet Un graphe complet est un graphe où chaque sommet est relié à tous les autres. Le graphe complet d ordre n est noté K n. Dans ce graphe chaque sommet est de degré n 1 Combien contient-il d arête en fonction de n?

15 15 Graphe complet Un graphe complet est un graphe où chaque sommet est relié à tous les autres. Le graphe complet d ordre n est noté K n. Dans ce graphe chaque sommet est de degré n 1 Combien contient-il d arête en fonction de n? Solution : n(n 1) 2

16 16 Clique Un clique est un sous-graphe complet.

17 17 Clique Un clique est un sous-graphe complet. Le graphe G admet 2 cliques d ordre 3 définies par les ensembles de sommets {d, g, h} et {d, e, h} La clique { d, g, h } est représentée en surimpression. Le graphe n admet pas de clique d ordre 4.

18 18 Chaîne Chaîne : suite finie de sommets reliés entre eux par une arête p = (f, g, h, e, d, b) longueur = 5 p est simple (arête) et élémentaire (sommet)

19 19 Cycle Cycle : chaîne simple qui revient à son point de départ. Les chemins (f, g, d, b) et (f, g, d, h, e, d, b) sont simples. Le chemin (f, g, d, h, e, d, h, e, d, b) ne l est pas car le cycle (d, h, e, d) est emprunté 2 fois.

20 20 Connexité Un graphe est connexe ssi il existe un chemin entre chaque paire de sommets. Le graphe ci-contre possède 3 composantes connexes, dont un sommet isolé.

21 Définition et propriété 21 Chaîne : suite finie de sommets reliés entre eux par une arête. Chaîne élémentaire : chaîne qui visite une seul fois ses sommets. Chaîne eulérienne : chaîne simple passant par toutes les arêtes d un graphe. Chaîne hamiltonienne : chaîne élémentaire passant par tous les sommets d un graphe. Chaîne simple : chaîne qui n utilise pas deux fois la même arête. Cycle : chaîne simple qui revient à son point de départ. Chemin : même définition que celle de la chaîne mais utilisée dans le contexte d un graphe orienté. Circuit : même définition que celle du cycle mais utilisée dans le contexte d un graphe orienté. Une forêt est un graphe non orienté sans cycle. Un arbre est un graphe non orienté connexe sans cycle.

22 22 Représentation par listes d adjacences

23 23 Représentation par matrice d adjacences