CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE

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1 CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE A. FONCTIONS CAUSALES Définiion : Une foncion f, définie sur IR es causale si : Pour ou <, f() =.. Echelon unié Définiion : L échelon unié U es la foncion définie sur IR par : U() = si < U() = si Remarque : U es consane par morceaux. Elle es disconinue en.. Uilisaion de l échelon unié Définiion : Pour ransformer une foncion g définie sur IR en une foncion causale f prenan les mêmes valeurs sur [ ; [, on la muliplie par l échelon unié : f() = U()g() pour ou IR Exemples

2 3. Translaion d une foncion causale a. Echelon unié Considérons la foncion ranslaée de l échelon unié ayan le sau à l insan = τ. On a : h() = si < τ h() = si τ On peu alors écrire : h() = U( τ) pour ou IR. En effe : U( τ) = si τ < soi < τ U( τ) = si τ soi τ Proposiion : La ranslaée de veceur τ i de l échelon unié es la foncion définie sur IR par : U( τ). b. Cas usuels Proposiion : La ranslaée de veceur τ i de oue foncion causale de la forme f()u() es définie sur IR par : f( τ)u( τ). Remarque : La foncion définie sur IR par : f() U( τ) n es pas la ranslaée de la foncion f()u(), c es une foncion qui prend les mêmes valeurs que f sur l inervalle [τ ; [. Exemple : Foncion causale : U() Translaée : ( )U( ) Fausse ranslaée : U( ) Exercice : Dans chaque cas racer les ranslaées demandées des foncions causales données. Foncion causale Translaée de τ = Translaée de τ = 3

3 B. INTEGRALES IMPROPRES. Généraliés Définiion : Soi f une foncion définie sur un inervalle [a ; [ e coninue par morceaux. Soi A un nombre réel. x Si : lim f ( ) d = A alors l inégrale impropre f ( ) d es convergene e égale au nombre A. x a Dans le cas conraire, on di que l inégrale impropre es divergene. a Exemples : Eudier la convergence d = d e de d : d = a Remarques :. On peu définir de même : f ( )d.. Les propriéés de l inégrale resen valables. 3. La densié de probabilié de la loi normale cenrée réduie N(,) es une foncion don l inégrale sur IR converge e vau. On a : e d = π. Convergence d inégrales dépendan d un paramère Théorème (admis) : Soi n un nombre enier naurel e soi λ un nombre complexe. Si λ IR, Si λ Ê, n λ e n e λ d converge si e seulemen si λ <. d converge si e seulemen si Re(λ) <. Exercice : Eudier la convergence des inégrales suivanes avec λ IR :. e λ d. e λ d 3

4 C. TRANSFORMÉE DE LAPLACE. DÉFINITION Définiion : La ransformée de Laplace d une foncion causale f es la foncion F de la variable réelle ou complexe p définie par : F(p) = L = f ( ) e Remarques :. La ransformée de Laplace F n exise que si l inégrale impropre p d p f ( ) e d converge.. Les foncions causales uilisées en élecricié (e donc dans ce cours) son de la forme : f() = avec n É e r Ê, elles admeen une ransformée de Laplace pour Re(r) >. 3. Dans la praique pouran on ne précisera pas les valeurs de p pour lesquelles F(p) exise.. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS USUELLES Propriéé : ) Transformée de Laplace de l échelon Unié : f() = U() La ransformée de Laplace de la foncion échelon unié es définie pour p > e on a F(p) = ( LU )(p) = p. On écri généralemen par abus de langage : l[ U() ] = p. Voir le paragraphe B : Il fau calculer e p d = Propriéé : ) Transformée de Laplace de la foncion rampe : f() = U() La ransformée de Laplace de la foncion rampe es définie pour ou p > e on a : F(p) = l( U() ) (p) = p. Voir le paragraphe B : Il fau calculer Propriéé : 4 p e d = 3) Transformée de Laplace de f() = n U() pour n IN La ransformée de Laplace de n U() pour n IN es définie pour ou p > e on a : F(p) = l[ n U() ] (p) = n! p n+. Démonsraion admise 4) Transformée de Laplace de f() = e a U() avec a Ê Propriéé : La ransformée de Laplace de e a U() es définie pour ou Re(p) > Re(a) e : F(p) = l [ e a U() ](p) = p+a (au dos)

5 D. PROPRIÉTÉS DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE. LINÉARITÉ Théorème : Soien f e g deux foncions don les ransformées de Laplace son l[ f ] e l[ g ] e k un réel. l[f + g] = l[ f ] + l[ g ]. l[ kf ] = k l[ f ]. On uilise la linéarié de l inégrale. Propriéé : Pour ou ω IR, on a l [ cos( ω ) U() ](p) = On uilise les formules d Euler e la linéarié de l inégrale : cos (ω) = p p +ω e l [ sin( ) ] ω U() (p) = ω p +ω.. THÉORÈME DU RETARD On regarde ce qui se passe si le signal, au lieu de commencer à l insan =, commence à l insan = τ avec τ >. Théorème du reard: Soi τ IR. Si F(p) = l[ f() ](p), alors l[ f( τ)u( τ) ](p) = e τ p F(p). On calcule l [ f( τ)u( τ) ](p) = x p p f ( τ ) e d. Posons I(x) = f ( τ ) e d pour ou x IR +*. Applicaion : Transformée de Laplace d un signal créneau 5

6 si ];[ On considère le signal : = sinon f() = Exprimer la foncion f à l aide de l échelon unié : En déduire la ransformée de Laplace du signal créneau : l[f] (p) = 3. EFFET D UN CHANGEMENT D ÉCHELLE SUR LA VARIABLE Théorème : Soi α ] ; [, Si F(p) = l[ f()u() ](p), alors l[ f(α)u() ](p) = α F(p α ). F(p) = l[ f()u() ](p) = f(α)u() e p d. On pose, pour ou x >, I(x) = x f(α) e p d. On effecue le changemen de variable y = α, d où dy = αd. Ainsi I(x) = 4. EFFET DE LA MULTIPLICATION PAR e a avec a IR Théorème : Soi a R. Si F(p) = l[ f()u() ](p), alors l[ f()e a U() ](p) = F(p + a). l[ f()e a U() ](p) = f() e a e p d. = Exemple : Calculer : l [e 3 U()] (p) 5. TRANSFORMÉE D UNE DÉRIVÉE 6

7 Théorème : Soi f une foncion coninue sur ] ; [, dérivable par morceaux sur ] ; [ e don la dérivée es coninue par morceau sur ] ; [. Si F(p) = l[ f()u() ](p), alors l[ f ()U()](p) = pf(p) f( + ). Remarque : On noe f( + ) la limie à droie en de f. On suppose que f es de classe C (coninue, dérivable e de dérivée coninue) sur ] ; [ : l[ f ()U()](p) = f () e p d. On pose pour ou x >, I(x) = x f () e p d. On procède à l aide d une inégraion par paries : Exercice : Rerouver la ransformée de Laplace de cos (ω) en paran de celle de sin (ω). Théorème : Soi f une foncion de classe C sur ] ; [, admean une ransformée de Laplace. Si F(p) = l [ f()u() ](p), alors l [ ] (p) = p F(p) p f( + ) f ( + ). On sai que = Posons g =. Donc g es de classe C sur ] ; [. On peu donc lui appliquer le héorème précéden. 7

8 6. TRANSFORMÉE DE LAPLACE D UNE PRIMITIVE Théorème : Soi f une foncion causale e soi φ() = f(u)u(u) du la primiive de f qui s annule en. Si F(p) = l[ f()u() ](p), alors l[ φ() ](p) = F(p) pour p. p admise Exercice : Rerouver la ransformée de Laplace ( e )U() en paran de celle de e U(). 7. DÉRIVÉE D UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE Théorème : Si F(p) = l [ f()u() ](p), alors F '(p) = l[ f()u()](p) admise Exemple : Déerminer la ransformée de Laplace de la foncion : g() = sin U(). 8. THÉORÈMES DE LA VALEUR INITIALE ET FINALE Théorème : Si F(p) = l [ f()u() ](p) e si les limies des foncions considérées exisen, on a : Théorème de la valeur iniiale : lim pf(p) = lim f(). p + Théorème de la valeur finale : lim p +pf(p) = lim f(). admise E. CALCUL D UN ORIGINAL 8

9 Définiion : Si F(p) = l [ f()u() ](p), on di que f es l original de F. On noe f() = l [ F(p) ] Exemple : Calculer l original de F(p) = 3 p Exemple : Calculer l original de F(p) = ( p+4) 3 Exemple 3 : Calculer l original de F(p) = p +9 Exemple 4 : Calculer l original de F(p) = e p p + Exemple 5 : Calculer l original de F(p) = p e p p +5 Remarque : On uilise souven la décomposiion en élémens simples. Exemple 6 : Calculer l original de F(p) = + 3 e p p + p +.. Monrer que : F(p) =. Déerminer l original de 3. En déduire l original de F(p) Exemple 7 : ( p+) e p ( p+) +. ( p+) ( penser à sin ) + Calculer l original de F(p) = p3 + p + p ( p + ).. Monrer que : F(p) = p + p ( p + ).. Déerminer l original de : p e p 3. Déerminer l original de : 4. Conclure. Exemple 8 : Calculer l original de F(p) = ( p + ) [on uilisera sin( ) U() ] 4p + 6p + 7 = 4 ( p+)