Algèbre linéaire pour GM Jeudi 01 novembre 2012 Prof. A. Abdulle
|
|
- Thibault Lesage
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Algèbre linéaire pour GM Jeudi novembre Prof A Abdulle EPFL Série 6 Corrigé Exercice a Calculer la décomposition LU de la matrice A = On effectue la réduction de la matrice A jusqu à obtenir une forme échelonnée On calcule au fur et à mesure la matrice triangulaire inférieure L pour la première colonne de L, on a l i = a i a et ainsi de suite pour les colonnes suivantes A = On a donc la décomposition A = LU, L = U = = U = L b Résoudre le système linéaire Ax = b, où A est la matrice ci-dessus, en utilisant la décomposition LU, avec b = { Ly = b i Ax = b LUx = b Ux = y ii Solution de i: y = Solution de ii: x = 4 7 6
2 Exercice Soit A = 4 4 a Montrer que la décomposition LU de la matrice obtenue en permutant les lignes et de la matrice A s écrit P A = LU, où P est une matrice élémentaire matrice de permutation Donner P, L et U La matrice de permutation qui permute les deux premières lignes est donnée 4 par P = et on a P A = Suivant la même démarche qu à 4 l exercice on obtient P A = 4 4 On a donc la décomposition P A = LU, b Résoudre Ax = b, où b = Notons que P b = L = U = 4 4 = U = L à l aide de la décomposition P A = LU et observons que Ax = b P Ax = P b LUx = P b { Ly = P b i Ux = y ii Solution de i: y = Solution de ii: x = 5
3 Exercice a Montrer que l inverse de la matrice L i = l i+,i l n,i est donné par L i = l i+,i l n,i Méthode On calcule la forme échelonnée réduite de la matrice [L i [L i I] à détailler [I L i ] Méthode sans calcul La matrice L i correspond à une collection d opérations élémentaires sur les lignes C est la matrice qui soustrait la ligne i aux lignes i +,, n avec des coefficients multiplicateurs respectifs l i+,i,, l n,i Par conséquent, l inverse est donné par la matrice qui ajoute la ligne i aux lignes i +,, n avec les mêmes coefficients multiplicateurs L i b Montrer que le produit de deux matrices L i, L j, i < j est donné par L i L j = l i+,i l j+,j l n,i l n,j Si M est une matrice avec n lignes, le produit L i M correspond à soustraire la ligne i aux lignes i +,, n de la matrice M avec les coefficients multiplicateurs respectifs l i+,i,, l n,i On applique ce résultat pour M = L j en utilisant j > i I]:
4 Exercice 4 Soient A et B sont des matrices n n Montrer les assertions suivantes a Si A et B sont des matrices triangulaires inférieures resp supérieures, alors le produit AB est aussi une matrice triangulaire inférieure resp supérieure On suppose A et B triangulaires inférieures On procède par récurrence sur la dimension des matrices initialisation Pour n =, le résultat est évident car toutes les matrices de taille sont en fait triangulaires récurrence On suppose le résultat vrai pour les matrices de taille n n avec n Soient A = a ij et B = b ij deux matrices triangulaires inférieures de taille n n On note A n n et B n n les sous matrices obtenues en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne On calcule: AB = = A n n a n a nn A n n B n n a nn b nn B n n b n b nn Par hypothèse de récurrence A n n B n n est triangulaire inférieure, donc AB est triangulaire inférieure Dans le cas où A et B sont des matrices triangulaires supérieure, on peut faire le même raisonnement par récurrence On peut aussi déduire le résultat pour les matrices triangulaire supérieures à partir du résultat pour les matrices triangulaires inférieures Soit A et B des matrices triangulaires supérieures On a l égalité AB = AB T T = B T A T T Le produit B T A T est triangulaire inférieur comme produit de deux matrices triangulaires inférieures Ainsi AB est triangulaire supérieure b Si A et B sont deux matrices triangulaires inférieures resp supérieures avec que des coefficients sur la diagonale, alors le produit AB est aussi une matrice triangulaire inférieure resp supérieure avec que des coefficients sur la diagonale On utilise la même méthode que pour la question a L assertion est évidente pour n = On suppose l assertion vraie pour les matrices de taille n n Alors pour les matrices de taille n n, on a a nn =, b nn =, a nn b nn = On conclut ensuite de la même manière c Si A est une matrice inversible triangulaire inférieure resp supérieure, alors A est aussi une matrice triangulaire inférieure resp supérieure 4
5 Méthode sans calcul On considère la forme échelonnée réduite [B C] de la matrice [A I] de taille n n La matrice C est obtenue dans l algorithme de mise sous forme échelonnée en multipliant des matrices élémentaires diagonales Ek, i qui multiplient la ligne i par k et des matrices élémentaires Ek, i, j qui ajoutent k fois la ligne i sur la ligne j Comme la matrice A est triangulaire inférieure, l algorithme de Gauss ne fait intervenir que des matrices Ek, i, j avec j > i, c est-à-dire triangulaires inférieures D après a, C est donc triangulaire inférieure En outre, comme A est inversible, on a B = I De CA = B, on déduit que A = C est triangulaire inférieure Méthode On peut refaire une démonstration par récurrence sur la dimension comme au a Le résultat est évident en dimension n = On suppose l assertion vraie pour les matrices de taille n n Étant donnée une matrice n n inversible A, on note A = A n n a n a nn On calcule le produit AA = Comme AA = I, on obtient, A = à n n A n n à n n à n n = A n n a ã n = ã n = a ã n + a ã n = ã n = ã n ã n,n ã n ã nn a ã n a ã n + a ã n ni= a ni ã in a n, ã n + a n, ã n + + a n,n ã n,n = ã n,n = n a ni ã in = ã nn = a nn i= Ainsi, A est triangulaire inférieure Cas des matrices triangulaires supérieures On peut conclure en utilisant le résultat pour les matrices triangulaires inférieures Si A est inversible, on a AA = A A = I En transposant, on obtient A T A T = A T A T = I, ainsi A = A T T Si A est triangulaire supérieure, alors A T est triangulaire inférieure, et donc aussi A T, et A = A T T est triangulaire supérieure 5
6 Exercice 5 Donner un algorithme pour calculer l inverse d une matrice A inversible de taille n n, en utilisant la décomposition LU Combien d opérations arithmétique l algorithme nécessite t-il? Ici on compte multiplication + addition comme une seule opération a On note A = α, α,, α n, avec α i vecteur de taille n I = e, e,, e n, e i =,,,,,, T i AA = I Aα i = e i, i =,, n En utilisant la décomposition A = LU, on LUα i = e i, i =,, n Soit y i = Uα i, i =,, n On obtient { Lyi = e i Uα i = y i On résout les n systèmes linéaires ci-dessus, et on obtient α,, α n = A b L algorithme de la décomposition LU, où l on calcule successivement les lignes de U et colonnes de L, s écrit: pour k =,, n, u kj := a kj k l kr u rj, j = k,, n r= l ik := a ik k l ir u rk /u kk, i = k +,, n, fin r= où A = a ij, L = l ij, U = u ij c On calcule le nombre d opérations nécessaires: i Opérations pour la décomposition LU, d après Pour chaque coefficient u kj, on effectue k additions & multiplications, soit k opérations Pour chaque coefficient l ik, on effectue k additions & multiplications, et une division, soit k opérations Le nombre d opérations pour la décomposition LU est donc voir cours environ n ii Le nombre d opérations pour résoudre les n couples de systèmes linéaires triangulaires est n n n[ i + n i + ] = n n i= i= + n n + = n iii Nombre total d opérations: 4 n 6
7 Remarque: En fait, on peut calculer A en seulement environ n opérations en s inspirant de la décomposition A = LU L idée est de ne pas calculer la matrice L, mais de calculer directement la matrice L Pour cela, on effectue directement une réduction de la matrice [A I], et on obtient avec n k= nk + k n opérations une matrice [U L ] Ainsi, on a calculé la matrice U et la matrice L Ensuite, puisque UA = L les colonnes α, α n de la matrice A sont obtenues en résolvant les n systèmes triangulaires supérieures Uα j = b j où b j est jième colonne de la matrice L calculée précédemment environ n n = n opérations Exercice 6 Calculer le déterminant des matrices suivantes a A = C = E = 4, B = 4 7 4, D = A: L idée est de développer par rapport à une ligne ou une colonne avec beaucoup de zéros pour faire le moins de calculs possible On développe par rapport à la première colonne de A det A = det = 4 4 B: On développe par rapport à la seconde colonne de B, det B = On peut aussi remarquer que la matrice est non inversible deux colonnes identiques, et donc det B = C: On développe par rapport à la troisième colonne de C, det C = On peut aussi remarquer que la matrice est non inversible deux colonnes identiques, et donc det C = D: On développe par rapport à la première colonne de D, det D = 9 det 6 det + det 5 4 E: On développe par rapport à la première colonne de E, 7 det E = det 4 det, 4 7 4, = = 84 7
8 b Même question pour A T, B T, C T, D T, E T La transposition ne change pas la valeur du déterminant Les résultats sont les même qu au a Exercice 7 Calculer le déterminant de la matrice A = a en utilisant le développement avec les cofacteurs, On développe par rapport à la troisième ligne de A ligne avec des zéros: det A = det b en utilisant la décomposition LU 6 + det det A = det U D après l exercice, det A = Exercice 8 Calculer les déterminants des matrices suivantes A = 4 C = 4, B =, D = =, Indication: Utiliser les propriétés du déterminant 4 det A = det 4 = det = 9, det B = det A = 8, linéarité par rapport à la première ligne, det C = det A = 9, échange de deux lignes, det D = det A = 9 Pour la matrice D, l opération élémentaire L = L L redonne la matrice A, d où l égalité des déterminants 8
9 Exercice 9 Pour quelles valeurs de c, c, c la matrice suivante est-elle inversible? A = c c c c c c Indication: Montrer det A = c c c c c c c c A T = c c réduction partielle c c Ainsi, c c c c c c c c c c det A = det A T = c c c c c c La matrice A est inversible si et seulement si det A Ainsi A est inversible si et seulement si c i c j pour tout i, j =,,, avec i j c c c n En général, si A = c c c n, det A = c n c n c n n déterminant de Vandermonde Exercice n i<j n c j c i, s appelle un Soit A et B des matrices de taille n n Montrer que si A ou B est non inversible, alors AB est non inversible Méthode On utilise qu une matrice carrée M est inversible si et seulement si le système Mx = b possède une solution unique pour tout b Cas Supposons la matrice A non inversible Comme A est carrée, il existe un vecteur b tel que le système Ay = b ne possède pas de solution Ensuite, on posant y = Bx, le système ABx = b ne possède pas de solution Cas Supposons la matrice carrée B non inversible Il existe un vecteur x tel que Bx = Ensuite, on a ABx =, ce qui montre que la solution du système ABx = n est pas unique Ainsi AB est non inversible Méthode Nous allons montrer la contraposée: Si AB est inversible, alors A et B sont inversibles En effet, si AB est inversible, son inverse C = AB vérifie les égalités ABC = I, CAB = I De la première égalité on déduit que A est inversible d inverse BC, et de la seconde on déduit que B est inversible d inverse CA 9
10 Méthode On utilise la propriété du déterminant detab = deta detb Ainsi, si deta = ou detb = alors detab = Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, d où le résultat Exercice a b Soit A = une matrice Montrez que si A est inversible, alors det A = c d ad bc Méthode La matrice A est inversible si et seulement si le système Ax = g a une solution pour tout vecteur g R La première colonne de A est nécessairement non nulle, ainsi a ou c Cas a Une forme échelonnée de la matrice augmentée est a b g ad bc g a c g a S il existe une unique solution au système, alors ad bc a Ainsi ad bc est un pivot, donc est non nul Cas a = On a c En échangent les lignes de la matrice, on obtient une forme échelonnée de la matrice augmentée: c d g b g S il existe une unique solution au système, alors c et b sont des pivots, donc non nuls Ainsi bc On a donc montré dans tous les cas ad bc Méthode D après le cours, la matrice carrée A est inversible si et seulement si ses colonnes sont linéairement indépendantes On a donc pour tout λ, λ, λ a c + λ b d On prend le cas particulier λ, λ = b, a qui est bien non nul car la première ligne de A est nécessairement non nulle On obtient D où le résultat: ad bc bc + ad Exercice Indiquer pour chaque énoncé s il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse a Le déterminant d un produit de plusieurs matrices carrées n n est égal au produit des déterminants de chaque matrice
11 b Le déterminant d une matrice m n, m > n s obtient par la somme de n termes de la forme n j= +j a j det A j c Si une matrice A peut s écrire comme LU, avec L et U obtenues par la factorisation LU Alors il est généralement plus simple de calculer le déterminant de A par det L det U que par det A d Lors de la factorisation LU d une matrice A de taille, les colonnes l i de la matrice L s obtiennent avec l ij = a ji a j pour tout i, j =,, Vrai: a, c, Faux: b, d Exercice Indiquer pour chaque énoncé s il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse a Si une matrice A est triangulaire inférieure, alors son déterminant s obtient comme le produit des éléments de sa diagonale b det A = det A pour toute matrice carrée A c Dans certain cas, il se peut que l inverse d une matrice A existe même si det A = d Soient A une matrice n n et k R Alors detka = k n deta Vrai: a, d, Faux: b, c Informations générales, séries et corrigés: cf Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: DC Lay Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications De Boeck, Bruxelles, 5
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailMATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailRECHERCHE OPERATIONNELLE
RECHERCHE OPERATIONNELLE 0. Introduction. Ce cours a été enseigné jusqu en 2002, en année de licence, à la MIAGE de NANCY. L objectif principal de ce cours est d acquérir une connaissance approfondie de
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailPremière partie. Introduction à la méthodes des différences finies
Première partie Introduction à la méthodes des différences finies 5 7 Introduction Nous allons présenter dans cettte partie les idées de base de la méthode des différences finies qui est sans doute la
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
Plus en détailCHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal
III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailDémonstration de la conjecture de Dumont
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) 71 718 Théorie des nombres/combinatoire Démonstration de la conjecture de Dumont Bodo Lass http://france.elsevier.com/direct/crass1/ Institut Camille Jordan, UMR
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailFeuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction
Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments
Plus en détail