6GEI305 Dynamique des systèmes II. Laboratoire #4

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1 6GEI305 Dynamique des systèmes II Laboratoire #4 Réponse en Fréquence Hiver Objectifs Voir l effet des pôles et des zéros sur le comportement dynamique Examiner le facteur de qualité Étudier le diagramme de Bode Approfondir les connaissances de MATLAB. Méthodologie Le but de ce laboratoire est de voir la réponse en fréquences de façon plus concrète. Nous verrons, à l aide de MATLAB, la correspondance entre la position des pôles/zéros et le comportement dynamique des systèmes. Nous verrons ensuite le facteur de qualité d un système. Enfin, il sera question de voir le diagramme de Bode à l aide de MATLAB et a l aide des circuits. 3. Préparation et Théorie Dans le laboratoire d aujourd hui, on va se concentrer sur les circuits résonants avec inductance et condensateur (LC). Vous avez fait assez d exercices pour savoir qu un circuit LC, tel que montré à la Figure 1, devrait donner une onde sinusoïdale qui dure indéfiniment quand on le stimule avec une percussion. Cependant, ça ne reflète pas la réalité. Dans un laboratoire, en réponse à une percussion, le système oscille mais l amplitude baisse de façon exponentielle avec le temps. Pourquoi est-ce que ca ne concorde pas? Dans ces circuits, il y a ce qu on appelle des effets parasites. C est-à-dire que ce sont des effets qui sont présents dans les circuits mais qui ne sont pas voulues. Pensons par exemple à une inductance. Dans sa forme la plus simple, une inductance est simplement un fil qui est embobiné plusieurs fois sur lui-même. Donc, une inductance est simplement 1

2 un long fil. Or, on sait que, plus un fil est long, plus il a des pertes résistives. Alors, à la place d analyser un circuit LC, pour être précis, il faudrait inclure la résistance parasite qui est présente. On peut modéliser ça comme à la Figure. Figure 1. Circuit LC Ideal Figure. Circuit LC avec Resistance Parasite En l absence d une résistance, le gain est très élevé à la fréquence naturelle et est nulle aux autres fréquences. On dirait, dans ce cas, que le facteur de qualité (Q) est élevé. En présence de la résistance, le gain devient plus «distribué» : il est encore élevé à la fréquence naturelle, mais le gain ne baisse pas aussi vite autours de ce point. Dans ce cas, Q est plus faible que le cas précédent. Ceci peut être ou ne pas être bon selon l application. Dans le cas d un récepteur radio, on aimerait que le Q soit élevé. Par exemple, imaginons postes de radio dans une région qui utilisent les fréquences 600KHz et 610KHz. En tant qu auditeur, on aimerait n entendre qu un seul poste de radio a la fois. Pour ce faire, il faudrait un circuit qui amplifie 600KHz sans amplifier 610KHz ou vice-versa. Pour ce faire, il faudrait que Q soit élevé. De cette manière, le gain pour une fréquence est beaucoup plus élevé que le gain pour une autre fréquence. À la Figure 3, on voit que la fréquence 600KHz est très bien amplifiée tandis que 610KHz est très mal amplifié. C est ce que l on désire. Avec Q élevé, on pourra donc écouter UN SEUL POSTE. Si Q était faible, le gain serait presque le même pour les deux fréquences. Par conséquent, on entendrait les deux postes en même temps. Ce n est habituellement pas désirable.

3 Figure Trouvez l impédance équivalente du circuit de la Figure.. Dessinez les pôles et les zéros de l impédance équivalente dans le plan complexe. Réécrivez le dénominateur de l impédance sous la forme suivante: Avec L=39μH, C=0.33μF et R=0.6Ω, s ςω s + ω n n Trouvez la fréquence naturelle du circuit. 4. Trouvez le facteur d amortissement. 5. Trouvez le facteur de qualité du votre circuit. 6. Sortons du régime sinusoïdal établi pour un instant. Avec la position du pole, quels genres de réponse dynamique attendez-vous à avoir. C est-à-dire, en appliquant une fonction échelon, sera-t-il une fonction sous-amortie, sur-amortie ou critiquement amortie? 4. Travail demandé On va commencer par ouvrir MATLAB. Dans ce laboratoire, on va se servir des commandes de MATLAB qui se relient aux fonctions de transfert et aux impédances. À la place d utiliser les commandes présentées dans les autres laboratoires (syms, subs, etc.), on va en apprendre d autres (tf, bode, etc.). Pour commencer, on va entrer les coefficients de notre numérateur. Par exemple, si notre s + 3 fonction de transfert était (CE N EST PAS ÇA), on mettrait ceci : s + 3s + 1 >> num = [1 0 3] Entrez les coefficients du NUMERATEUR de la fonction de transfert du circuit de la Figure 1. 3

4 On vient juste de définir un vecteur où le premier élément est 1, le e est 0 et le 3 e est 3. Ca représente les coefficients de s, s 1 et s 0 respectivement. On va faire la même chose au dénominateur (Encore une fois, ceci n est qu un exemple. Votre dénominateur est différent) : >> denom = [1 3 1] On se sert ensuite de ces vecteurs pour créer notre fonction de transfert a l aide de la commande tf : >> transfert=tf(num, denom) La fonction tf prend vecteurs qui contiennent les coefficients du numérateur et du dénominateur et forme une fonction de transfert. Cette fonction de transfert sera dans un format que MATLAB comprend et elle sera très utile comme on le verra bientôt. NOTE : Il est important de comprendre que votre impédance n est PAS une fonction de transfert. Cependant, on peut FAIRE SEMBLANT que c est pareil puisque l impédance et la fonction de transfert vont avoir les mêmes ω n et ζ (et c est ça qui nous intéresse). On est maintenant prêt à examiner le comportement de notre système. Commençons par regarder la position des pôles et des zéros de notre système. >> pzmap(transfert) Si vous déplaciez votre souris et la placiez sur un des pôles, vous verrez de l information sur les caractéristiques de ce pôle. Ça vous donne, entre autres, le facteur d amortissement (damping) et la fréquence naturelle. 7. D après la position des pôles et des zéros, est-ce que notre système est stable, instable ou marginalement stable? Avec la position des pôles, essayez de deviner comment le signal réagirait si on appliquait une fonction échelon (oui, je suis sérieux). Ce n est pas une question à remettre mais j aimerais que vous trouviez ça évident Examinez maintenant le comportement avec la commande step : >> step(transfert) Allons maintenant voir le diagramme de Bode de ce circuit : >> bode(transfert) 4

5 L amplitude devrait varier en fréquence un peu comme a la Figure 3. Placez votre souris au gain le plus élevé de la courbe. 8. Quelle est cette valeur de ce gain et la fréquence à laquelle se produit ce gain? Recommencez les étapes de la section 4 pour un système comme a la Figure. Les questions 9 et 10 sont des copies des questions 7 et 8 : 9. D après la position des pôles et des zéros, est-ce que notre système est stable, instable ou marginalement stable? 10. Quelle est cette valeur de ce gain et la fréquence à laquelle se produit ce gain? Manipulations sur plaquette de prototypage : Allez chercher une plaquette de prototypage et les composantes suivantes : a. Inductance de 39μH b. Condensateur de 0.33μF Montez le circuit LC de la Figure 1. Nous savons que l inductance L a une résistance parasite interne. Alors, même si nous avons construit le circuit de la Figure 1, on a en fait obtenu le circuit de la Figure. Allumez l oscilloscope et le générateur de fonction. Ajustez le générateur de fonction pour avoir une onde sinusoïdale de 1KHz avec 1V d amplitude. Vérifiez ces données avec l oscilloscope. Connectez le générateur et l oscilloscope au circuit : Figure 4. Il est à noter que la source de tension V S a une résistance de sortie (dans la vie, toute source de tension a une résistance de sortie). La valeur de cette résistance est faible mais est non-négligeable surtout parce que la valeur de la résistance parasite de l inductance R P est aussi très faible. À CAUSE DE CETTE RÉSISTANCE, LA TENSION DE SORTIE NE SERA PEUT-ÊTRE PAS 1V. 5

6 Faites varier les fréquences entre 1KHz et 1MHz jusqu à ce que vous voyiez l amplitude de votre sinus changer. Quand vous aurez identifié la région dans laquelle l amplitude change beaucoup avec la fréquence, commencez à prendre des mesures. 11. Notez la fréquence naturelle du système où le VOUT est à son maximum. Ensuite, identifiez les fréquences où le gain est égal à ( 1 )VOUT. 1. Déduisez le facteur de qualité à partir des mesures prises à la question Avec la valeur de la fréquence naturelle ω n, trouvez la valeur de la résistance parasite interne R P. 4. Rapport Répondez aux questions qui ont été posées tout au long du document de laboratoire. Ajoutez quelques phrases, au besoin, pour justifier vos réponses. Ajoutez une section intitulée «Conclusions» a la fin de votre rapport. Dans cette section, j aimerais que vous vous demandiez pourquoi le document de laboratoire a été rédigé de cette façon. Demandez-vous pourquoi on vous a demandé de faire certaines mesures et de faire certaines observations. 5. Barème 3 par Questions /39 6 Points pour la section «Conclusions» /6 6