FLEXION PLANE FLEXION COMPOSEE FLEXION OBLIQUE

Transcription

1 FLEXION PLANE FLEXION COPOSEE FLEXION OBLIQUE P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 1

2 FLEXION PLANE 1. Définition - Tensions générées atériau élastique Considérons une poutre sur 2 appuis simples d'extrémité sollicitée par des charges verticales comme indiqué sur le schéma ci-dessus. Une telle poutre est dite sollicitée en flexion simple. Sous l'action de ces charges, les fibres supérieures vont être comprimées et les fibres inférieures tendues. On démontre que si est le moment fléchissant dans une section droite de la poutre, ce moment fléchissant va y générer des tensions de compression et de traction définies comme suit : I, v et v' se calculent par rapport à l'axe passant par le centre de gravité G de la section cet axe est encore appelé axe neutre puisque les tensions qui s'y développent sont nulles. W' : module de flexion en compression. W : module de flexion en traction. Si la section est symétrique, v = v' W et W' σ ' max =σ max. NB : Domaine de validité des formules précédentes : matériau élastique et homogène et en restant dans le domaine élastique (contraintes développées limite d'élasticité du matériau). Contrôle d'une poutre (par rapport au critère résistance) Il faut qu'en toute section, σ max σ limite et σ ' max σ ' limite, le calcul des tensions max s'effectuant en majorant les charges. Valeurs de σ limite et de σ ' limite : Acier de construction (S235) : σ limite = σ ' limite = 24 kn/cm 2 Bois : σ limite = σ ' limite = 1,5 kn/cm 2 Choix d'une poutre (par rapport au critère résistance) Cas général : La poutre doit être choisie de manière qu 'en toute section : P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 2

3 σ ' max = W ' σ ' limite W ' σ max = W σ limite W σ ' limite σ limite Cas particulier (le plus fréquent) Poutre de section constante, symétrique et dans un matériau élastique tel que : σ limite = σ ' limite (cas de l'acier et du bois). On procédera comme suit : Calculer max (valeur absolue, c'est-à-dire sans tenir compte du signe du moment) en n'oubliant pas de majorer les charges. Choisir une section telle que : W max σ limite. oment résistant d'une poutre Le moment résistant d'une poutre est le moment maximum que peut supporter la poutre (par rapport au critère résistance). oment résistant d'une poutre de section constante, symétrique, de module de flexion W et dans un matériau élastique tel que : σ limite = σ ' limite (cas de l'acier et du bois) : R =W.σ limite Poutre d'égale résistance à la flexion Poutre dont la section varie de façon telle qu'en toute section : σ max = σ limite et σ ' max = σ ' limite. NB : Ne pas oublier de majorer les charges pour le calcul de résistance! 2. Déformée d'une poutre droite - Flèche Equation différentielle de la déformée La déformée d'une poutre droite sollicitée en flexion s'obtient en résolvant l'équation différentielle : EI y ' ' = équation différentielle de la déformée avec : E : module d'élasticité du matériau constitutif de la poutre, I : moment d'inertie de la section droite de la poutre. Le produit EI est la rigidité de la poutre au plus EI est élevé, au moins la poutre se déformera. Calcul pratique Utilisation formulaire et surtout logiciel RD6. NB : Ne pas majorer les charges pour le calcul des déformations! P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 3

4 FLEXION OBLIQUE Une poutre est dite sollicitée en flexion oblique lorsqu'un moment fléchissant agit dans la section mais pas autour d'un axe principal d'inertie. Ce cas se présente notamment dans les pannes de toiture inclinée, les pannes étant disposées en oblique et les charges (neige, poids propre) agissant verticalement. Pour calculer les tensions générées par la flexion oblique, on la décompose en 2 flexions comme indiqué sur le schéma ci-dessus. Et (en n'oubliant pas de majorer les charges) : σ max =σ max1 +σ max2 σ limite σ ' max =σ ' max1 +σ ' max2 σ ' limite Les calculs se feront en utilisant le logiciel RD6 et en utilisant la rotation de 90 (passage de la disposition 1 disposition 2). P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 4

5 FLEXION COPOSEE 1. Définition Tensions générées atériau élastique Une poutre set dite sollicitée en flexion composée lorsqu'elle est simultanément soumise à un moment fléchissant et à un effort normal. FLEXION COPOSEE = FLEXION + EFFORT NORAL Considérons par exemple un mur de soutènement : ce mur est sollicité par la poussée des terres qui va générer de la flexion et par son poids propre qui va générer de la compression de sorte que chaque section est sollicitée à la fois par un moment fléchissant et un effort normal, ici de la compression. Considérons une tranche de longueur b (avec b = 1m) et une section XX dans cette tranche : soit le moment fléchissant y agissant (moment par rapport au centre de gravité de cette section de toutes les forces agissant sur la tranche considérée du mur, au-dessus de la section XX) ; soit N l'effort de compression sur cette section (qui n'est autre que le poids de la tranche de mur au-dessus de la section XX). Chacun de ces efforts intérieurs crée dans la section des contraintes qui additionnées donnent les contraintes résultantes, c'est-à-dire les contraintes dues à la flexion composée. En fonction de l'importance respective de et N, le diagramme résultant peut présenter 3 allures typiques différentes : N Si bh >6, c.a.d. Si bh 2 N < h 6 la section est sollicitée uniquement en compression. N Si bh =6,c.a.d. Si bh 2 N = h 6 la section est également sollicitée uniquement en compression avec contrainte variant de 0 (à droite) à 2N bh à gauche. N Si bh <6, c.a.d. Si bh 2 N > h 6 la section est sollicitée à la fois en compression et en traction. P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 5

6 2. Effort normal excentré = flexion composée Noyau central d'une section Note liminaire : F A = F B +couple Fa Considérons une section XX sollicitée par un effort normal N excentré de e. On peut transférer N au centre de gravité G de la section ( compression pure) en rajoutant un couple qui va créer un moment fléchissant = Ne la section est sollicitée par un effort normal et un moment fléchissant : elle est donc sollicitée en flexion composée et elle sera sollicitée uniquement en compression si : e h 6 Ne N h 6 e h 6 ). ( N h 6 Si e h, on a partout de la compression et on dit encore que N agit dans ce que 6 l'on appelle le noyau central de la section. P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 6

7 Noyau central d'une section rectangulaire 1/3 central. Si point d'application de N est dans le 1/3 central (zone hachurée) uniquement compression (ou traction). Si point d'application de N est dehors du 1/3 central compression + traction. Noyau central d'une section circulaire de rayon R cercle de rayon R/4 (1/4 central). 3. Flexion composée sans résistance à la traction Si sous l'action de la flexion composée, il apparaît des contraintes de traction et si le matériau ne résiste pas à la traction, il va se fissurer : les contraintes de traction vont disparaître mais en contrepartie, la compression va augmenter fortement sur une partie de la section et il convient de s'assurer que cette compression n'est pas trop forte pour le matériau considéré. Pour calculer la contrainte de compression maximum, on procédera comme suit (section rectangulaire): a. Calculer : d = N b. Calculer : c= h 2 d c. Enfin : σ cax = 2N 3cb Et la section est comprimée sur une zone «3c» avec une contrainte variant de σ cax à l'extérieur à 0 à la limite intérieure de la zone. P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF NAUR 7