I. Généralités sur les transformations du plan.

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1 1/Les Similitudes Chapitre Les Similitudes I Généralités sur les transformations du plan Définition 1 : On définit une application f du plan dans lui-même lorsque l on associe à chaque point M du plan un unique point N Le point N s appelle l image de M par f ; le point M s appelle un antécédent du point N par f On note Id l application appelée identité, qui laisse tous les points du plan invariants Le plan étant muni d un repère orthonormé direct, à toute application f du plan on associe une application f : C C qui à un complexe z d image ponctuelle M associe l affixe de f(m) f s appelle écriture complexe de f Définition : Une application f est dite bijective lorsque tout point du plan admet un et un seul antécédent par f Une application bijective du plan dans lui-même s appelle une transformation Lorsque f est une transformation, on peut associer à chaque point N du plan son unique antécédent On définit ainsi une nouvelle transformation, appelée fonction réciproque de f, notée f -1 : f(m) = N équivaut à M = f -1 (N) Définition 3 : f et g étant des transformations du plan, la transformation f g est telle que pour tout point M du plan : f g (M) = ( ( )) f g M f g s appelle la composée de g par f Attention : en général, f g g f

2 /Les Similitudes Remarque : Quelle que soit la transformation f, f f -1 = f -1 f = Id Quelles que soient les transformations f, g et h : ( f g) h = f ( g h) L écriture complexe de f g est la composée de l écriture complexe de f et de celle de g : f g = f g Définition 4 : Une transformation qui conserve les distances est appelée une isométrie Exemples : les réflexions, les rotations et les translations sont des isométries Définition 5 : Une transformation qui conserve le rapport des distances (c est-à-dire telle que pour tous points M, N, P, Q distincts, d images respectives M, N, P et Q, on a appelée une similitude M' N' MN = P' Q' PQ ) est Théorème 1 : Une transformation du plan est une similitude si et seulement si il existe un réel k > 0 (appelé rapport de la similitude) tel que pour tous points M et N d images respectives M et N on a : M N = k MN Soient f une transformation du plan, M, N, P et Q des points du plan, d images respectives M, N, P et Q M ' N' MN = P' Q' PQ équivaut à M' N' P' Q' = MN PQ Ainsi f est une similitude si et seulement si les rapports entre les longueurs de deux segments images l un de l autre sont égaux, ce qui revient à dire que les longueurs sont multipliées par un réel fixé Exemples : Les isométries sont des similitudes de rapport 1; une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k

3 3/Les Similitudes II Etude des similitudes 1 Généralités Propriété 1 : La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k est une similitude de rapport kk Soient s1 et s des similitudes de rapports respectifs k et k, A et M des points du plan On note A = s1(a), M = s1(m), A = s (A ) et M = s(m ), alors : A M =k A M = k k AM La transformation s s1 multiplie les longueurs par kk, c est donc une similitude de rapport kk Attention : en général, la composée de deux similitudes n est pas commutative Exemple : la composée d une translation T et d une rotation R n est pas commutative (si T et R ne sont pas l identité) : il suffit de regarder l image du centre de la rotation par T R puis par R T Propriété : La réciproque d une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1 k Soient s une similitude de rapport k, M et N des points du plan d images M et N On a : M N = k MN, d où MN = 1 k M N s-1 est donc une similitude de rapport 1 k Théorème : Une similitude conserve les angles géométriques

4 4/Les Similitudes Soient s une similitude de rapport k, A, B et C des points distincts du plan d images respectives A, B et C (distincts car s est bijective) D après la formule d Al Kashi, on a : AB + AC - BC cosbac = ABAC et ' ' + ' ' ' ' cos B ' A' C ' = A B A C B C A' B ' A' C ' Or A B = k AB, A C = k AC et B C = k BC, donc : suite : cos B' A' C' = cos BAC ( + ) A' B ' + A' C ' B ' C ' k AB AC BC = A' B ' A' C ' k AB AC Comme BAC et B ' A' C ' sont des angles géométriques (mesurés dans [0 ; π]), on en déduit que BAC = B ' A' C ' par Conséquence : Une similitude conserve l alignement, le parallélisme, l orthogonalité Définition 6 : Une similitude est dite directe si elle conserve les angles orientés, c est-à-dire que pour tous points M, N, P, Q d images respectives M, N, P et Q lorsque M N et P Q, on a : MN ; PQ = M' N'; P' Q' [π] ( ) ( ) Définition 7 : Une similitude directe de rapport 1 est appelée un déplacement Propriété 3 : M et N désignent les images de deux points M et N distincts par une similitude directe MN; M' N' ne dépend pas des points M et N L angle orienté ( ) MN ; M ' N ' = MN ; PQ + PQ; P ' Q ' + P ' Q '; M ' N ' = PQ; P ' Q ' π On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Définition 8 : Cet angle est appelé angle de la similitude directe

5 5/Les Similitudes Exemples : les rotations d angle θ et les translations sont des déplacements, d angles respectifs θ et 0 ; les homothéties de rapport k sont des similitudes directes de rapport k et d angle 0 (si k > 0) ou π (si k < 0) Définition 9 : Une similitude qui ne conserve pas les angles orientés est dite indirecte Définition 10 : Une similitude indirecte de rapport 1 est appelée un antidéplacement Exemple : les réflexions sont des antidéplacements Propriété 4 : La composée de deux similitudes directes d angles θ et θ est une similitude directe d angle θ + θ La composée d une similitude directe et d une similitude indirecte est une similitude indirecte La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe Il suffit de considérer les angles orientés Propriété 5 : Une similitude s qui a deux points invariants distincts A et B (ie s(a) = A, et s(b) =B ), est l identité ou la réflexion d axe (AB) On en déduit qu une similitude qui a trois points non alignés invariants est l identité, et qu une similitude directe qui a deux points invariants est l identité Si A et B sont deux points invariants par une similitude s, alors s(a)s(b)=ab, donc le rapport de la similitude est 1 Si s n est pas l identité, soient M un point non invariant du plan, et M son image par s On a : AM = AM et BM = BM, donc (AB) est la médiatrice de [MM ] La similitude est donc une réflexion d axe (AB)

6 6/Les Similitudes Propriété 6 : Si A, B et C sont trois points non alignés, f et g deux similitudes telles que f(a) = g(a), f(b) = g(b), et f(c) = g(c), alors f = g On note A = f(a) = g(a), B = f(b) = g(b), et C = f(c) = g(c) Les deux similitudes ont le même rapport k = A B /AB Soit M un point du plan d images respectives M et M par f et g On a : A M = k AM = A M, B M = k BM = B M et C M = k CM = C M Si M M A, B et C sont sur la médiatrice de [M M ] Or A, B et C ne sont pas alignés car A, B et C ne le sont pas, donc M = M Propriété 7 : Un antidéplacement qui a au moins un point fixe est une réflexion Soient s un antidéplacement et A un point fixe par s s n est pas l identité (car c est un antidéplacement), donc il existe un point M non invariant par s On note M son image On a : AM = AM (car s étant un antidéplacement son rapport est 1), donc A appartient à la médiatrice de [MM ] Soit r la réflexion d axe la médiatrice de [MM ] On a : r o s(a) = A et r o s(m) = M r o s est la composée de deux similitudes indirectes, c est donc une similitude directe ayant deux points fixes ; d après la propriété 5 c est l identité, d où : s = r -1 est une réflexion Caractérisation complexe d une similitude On munit désormais le plan d un repère orthonormé direct Théorème 3 : Une transformation f est une similitude directe si et seulement si f a une écriture complexe de la forme : z az + b, a et b étant des nombres complexes fixés avec a 0, a est le rapport de la similitude, arg(a) est l angle de la similitude Une transformation f est une similitude indirecte si et seulement si f a une écriture complexe de la forme : z az + b, a et b étant des nombres complexes fixés avec a 0, a est le rapport de la similitude

7 7/Les Similitudes Soient s une transformation d écriture complexe z az + b, M, N et P des points disjoints du plan d images respectives M, N, et P par s On note m, n, p, m, n et p les affixes de M, N, P, M, N et P respectivement On a : p' m' = a p m ; ' ' = arg( )( π) d où l on déduit M P = a MP et ( MP M P ) a On a de plus: p' m' p m = n' m' n m ' '; ' ' = ; ( π) Les angles orientés sont d où l on déduit ( M N P Q ) ( MN PQ ) conservés s est donc une similitude directe de rapport a et d angle arg(a) Soient s une transformation d écriture complexe z az + b, M, N et P des points du plan d images respectives M, N, et P par s On note m, n, p, m, n et p les affixes de M, N, P, M, N et P respectivement Alors p' m' = a p m d où l on déduit M P = a MP p' m' p m On a de plus: = n' m' n m ' '; ' ' = ; ( π) Les angles orientés ne sont d où l on déduit ( M N P Q ) ( MN PQ) pas conservés s est donc une similitude indirecte de rapport a Soient f une similitude, O, A et B les points d affixes respectives 0, 1 et i, et O, A et B les images respectives de O, A et B par f On note respectivement ω,, et les affixes de O, A et B Par conservation des angles géométriques et des rapports de longueurs on sait que O A B est un triangle rectangle isocèle en O o S il est direct, on a : ω = i (α ω) Notons s la similitude d écriture complexe z (α ω) z + ω Alors s(o) = O, s(a) = A et s(b) = B, donc s = f d après la propriété 6 o S il est indirect, on a : β ω = i (α ω) Notons s la similitude d écriture complexe z ( α ω ) z + ω Alors s(o) = O s(a) = A et s(b) = B, donc s = f d après la propriété 6 Théorème 4 : A, B, A et B sont quatre points tels que A B et A B Il existe une unique similitude directe s telle que s(a) = A et s(b) = B

8 8/Les Similitudes Analyse : S il existe une similitude directe s telle que s(a) = A et s(b) = B, s a une écriture complexe de la forme : z a z + b za ' zb ' A et B étant distincts, on a : a = z z A B et b = za a za s est donc définie de façon unique Synthèse : Soit s la similitude d écriture complexe z a z + b avec a et b définis comme ci-dessus, alors s(a) = A et s (B) = B Remarque : Cette similitude a pour rapport A' B ' AB et pour angle ( AB; A' B ') Corollaire : Toute similitude indirecte s s écrit comme la composée d une similitude directe, et d une réflexion Soient s une similitude indirecte, A et B deux points distincts du plan d images respectives A et B par s D après le théorème précédent, il existe une unique similitude directe s1 telle que s1(a) = A et s1(b) = B s1-1 o s est une similitude indirecte telle que s1-1 o s (A) = A et s1-1 o s (B) = B, c est donc une symétrie III Etude des similitudes directes 1 Décomposition canonique Théorème 5 : Toute similitude directe différente de l identité et autre qu une translation admet un point fixe unique, appelé centre de la similitude directe Soit s une similitude directe d écriture complexe z az + b Si a = 1 : s est une translation Si a 1 : z = az + b si et seulement si z (1 a) = b ce qui équivaut à z = b/(1 a), il y a donc un unique point fixe

9 9/Les Similitudes Remarque : une similitude directe autre qu une translation est entièrement déterminée par la donnée de son centre Ω, son rapport k, et son angle θ Ω Ω = θ [π] L image M d un point M est donnée par : ΩM = k ΩM et ( M; M ') Si l on note ω l affixe de Ω, son expression complexe est : z ke iθ (z ω) + ω Théorème 6 : Une similitude directe s, autre que l identité, de rapport k et d angle θ est : soit une translation ( si k = 1 et θ = 0 ) ; soit la composée dans un ordre quelconque d une rotation de centre Ω (unique point fixe, centre de la similitude) et d angle θ et d une homothétie de centre Ω et de rapport k Soit s une similitude directe de rapport k et d angle θ, différente d une translation et soit Ω son centre d affixe ω Son écriture complexe est : z a e iθ (z ω) + ω Soient H l homothétie de centre Ω et de rapport a, et R la rotation de centre Ω et d angle θ L écriture complexe de H est z a (z ω) + ω, celle de R est z e iθ ( z ω) + ω L expression complexe de H R comme celle de R H est donc : z a e iθ ( z ω ) + ω l écriture complexe de s ce qui est Définition 11 : Dans le cas où s est une similitude directe de rapport k d angle θ et de centre Ω, son écriture sous la forme : s = H (Ω; k) R ( Ω ; θ) = R ( Ω ; θ) H (Ω ; k ), est appelée forme réduite de la similitude Corollaire : Une similitude directe transforme un triangle en un triangle directement semblable Réciproquement, si ABC et A B C sont deux triangles directement semblables avec AB, AC = A' B ', A' C ' [ π], alors il existe une unique similitude directe s telle que s(a) = ( ) ( ) A, s(b) = B et s(c) = C

10 10/Les Similitudes Par conservation des angles orientés, l image d un triangle par une similitude directe est un triangle directement semblable AC A' C ' Soient ABC et A B C deux triangles directement semblables dans cet ordre, alors : = et AB A' B ' z [π] donc C za zc z ' A = ' z z z z ( AB ; AC ) = ( A' B '; A' C ') B A B ' A ' z z z = z z + z B ' A ' (notations évidentes) d où : ( ) C ' C A A ' zb za z z z z za + za ' z z B ' A ' en déduit que C est l image de C par la similitude directe d expression complexe ( ) Cette similitude transforme aussi A et A et B en B B A On Composées de similitudes directes a Composée de déplacements Théorème 7 : Si r 1 est une rotation d angle θ 1, et r est une rotation d angle θ : lorsque θ 1 + θ 0 [ π ], r r 1 est une rotation d angle θ 1 + θ ; lorsque θ 1 + θ = 0 [ π ], r r 1 est une translation iθ iθ 1 On note respectivement z e z + b et z e z + b les expressions complexes des rotations r1 d angle θ1, et 1 r d angle θ i L expression complexe de r r 1 est donnée par : z ( θ ) +θ 1 iθ e z + e b1 + b ; si θ 1 + θ 0 [ π ], c est l expression complexe d une rotation d angle θ 1 + θ ; si θ 1 + θ = 0 [ π ], c est l expression complexe d une translation Théorème 8 : Si t est une translation et r une rotation d angle θ non nul, alors t r et r t sont des rotations d angle θ iθ On note respectivement z z + b et z e z + b ' les expressions complexes d une translation t et d une rotation r d angle θ non nul Les expressions complexes de t r et de r t sont respectivement données par :

11 11/Les Similitudes iθ z e z + b ' + b et z i θ iθ e z + e b + b ', qui sont toutes deux des expressions complexes de rotations d angle θ b Composée d homothéties et de translations Théorème 9 : Si h 1 est une homothétie de centre A, et de rapport k 1, et h est une homothétie de centre B et de rapport k, lorsque k 1 k = 1, h h 1 est une translation dont le vecteur dirige la droite (AB) ; lorsque k 1 k 1, h h 1 est une homothétie de rapport k 1 k dont le centre est sur (AB) On note respectivement z k1 (z a) + a et z k (z b) + b les expressions complexes des homothéties h1 de rapport k1 et de centre A d affixe a, et h de rapport k et de centre B d affixe b L expression complexe de h h1 est donnée par : z k1 k z k1 k a + k a k b + b si k1 k = 1, c est l expression complexe d une translation de vecteur V d affixe v telle que : v = - k1 k a + k a k b + b = - a + k a k b + b = (1 - k ) ( b a ), d où l on déduit que V est colinéaire à AB si k1 k 1, c est l expression complexe d une homothétie de rapport k1 k de centre C d affixe c, telle que : c = k1k c k1k a + k a k b + b On a donc : (1 k1k ) (c a) = ( k 1 ) (a b), le vecteur AC est donc colinéaire au vecteur AB Technique : Lorsque h h 1 est une homothétie, pour placer son centre Ω on choisit un point M non situé sur (AB) et on place M 1 = h 1(M), puis M = h (M 1) Comme M, M et Ω sont alignés, le point Ω est l intersection de (AB) et (MM ) Théorème 10 : Si h est une homothétie de centre A de rapport k, et t est une translation de vecteur u non nul, alors t h et h t sont des homothéties de rapport k dont les centres sont situés sur la droite passant par A et dirigée par u

12 1/Les Similitudes On note respectivement z k (z a) + a et z z + b les expressions complexes de l homothétie h de rapport k et de centre A d affixe a, et de la translation t de vecteur u d affixe b Les expressions complexe de t h et h t sont respectivement données par : z kz ka + a + b et z kz + kb ka + a qui sont toutes deux les expressions complexes des homothéties de rapport k et de centres respectifs C1 d affixe c1 et C d affixe c telles que : c1 = kc1 ka + a + b donc (1 k) (c1 a) = b, d où l on déduit que AC 1 etu sont colinéaires, et c = kc + kb ka + a donc (1 k ) (c a) = kb, d où l on déduit que AC et u sont colinéaires Technique : Pour trouver le centre C de t h (respectivement de h t), on choisit un point M non situé sur la droite passant par A dirigée par u, on place M 1 = h(m) et M = t(m 1) (resp M 1 = t(m) et M = h(m 1)) Le point C est l intersection de et (MM )