Contrôle du mercredi 3 juin 2015 (50 minutes) TS1

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1 TS Cotrôle du mercredi jui 20 (0 miutes) Préom :.. Nom : Note :. / 20 I. (6 oits : ) 2 oits ; 2 ) 2 oits ; ) 2 oits) Ue ure cotiet boules blaches et boules oires idiscerables au toucher. O cosidère l exériece aléatoire qui cosiste à tirer successivemet au hasard avec remise deux boules das l ure et à oter das l ordre la couleur de chacue d elles. ) Calculer la robabilité d obteir deux boules de couleurs différetes (valeur exacte) ) Parmi les dossiers rélevés, 20 corresodet à des aartemets retables. Détermier la fréquece observée d aartemets retables das l échatillo rélevé. f... (u seul résultat) ) Doit-o rejeter l affirmatio du resosable de cette agece? Justifier la réose à l aide des résultats récédets. O réodra à l aide d ue hrase ) O réète l exériece aléatoire 00 fois das des coditios idetiques idéedates. Détermier l itervalle de fluctuatio asymtotique I au seuil de % de la fréquece de l évéemet E : «obteir deux boules de couleurs différetes». I... (bore de droite : valeur décimale arochée au cetième ar excès ; bore de gauche : valeur décimale arochée au cetième ar défaut) ) O réète l exériece aléatoire fois ( état u etier aturel suérieur ou égal à ) das des coditios idetiques idéedates. Détermier le lus etit etier aturel tel que l itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E ait ue amlitude iférieure ou égale à 0,0.. (u seul résultat, sas égalité, sas exliquer) ) Reredre les questios récédetes e suosat que les tirages sot effectués sas remise.. II. ( oits : ) oit ; 2 ) oit ; ) oit) U ivestisseur souhaite acheter u aartemet das l objectif est de le louer. Pour cela, il s itéresse à la retabilité locative de cet aartemet. L ivestisseur se red das ue agece immobilière our acheter u aartemet et le louer. Le resosable de cette agece lui affirme que 60 % des aartemets sot retables. Pour vérifier so affirmatio, o a rélevé au hasard 280 dossiers d aartemets loués. ) O suose que l affirmatio du vedeur est vraie. Détermier l itervalle de fluctuatio asymtotique I au seuil de % de la fréquece d aartemets retables das u échatillo aléatoire de taille 280. I... III. (8 oits : ) oit ; 2 ) oit ; ) a) oit + oit ; b) oit ; c) oit + oit + oit) L esace est mui d u reère orthoormé (O, I, J, K). O cosidère le cube S costruit sur les axes du reère dot sommets sot les oits O, I, J, K. O ote Z le tétraèdre OIJK (faces comrises). ) Calculer le volume V de Z. 2 ) O choisit 600 oits au hasard à l itérieur du cube S. V... Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio au seuil aroximatif de % de la fréquece des oits aarteat à Z. Doer les bores sous forme fractioaire. ).. a) O ote L le sommet du cube S de coordoées ( ; ; ) ; L est le sommet oosé au oit O das le cube. Vérifier que le vecteur OL est u vecteur ormal au la (IJK).

2 E déduire ue équatio cartésiee du la (IJK). O e demade as les détails du calcul. b) Écrire u système de trois iéquatios qui caractérise S et u système de quatre iéquatios qui caractérise Z.... S Z c) O désire réaliser u algorithme ermettat d etrer u etier aturel, de choisir oits de coordoées x ; y ; z au hasard à l itérieur du cube S et d afficher e sortie la fréquece de ceux qui sot situés das Z. Comléter l algorithme suivat : Etrée : Saisir Iitialisatio : a red la valeur 0 Traitemet: Pour i etier aturel allat de à Faire x red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; y red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; z red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; s red la valeur x y z FiSi FiPour Si s Sortie : Afficher Alors a red la valeur. IV. (2 oits) Ue associatio de cosommateurs décide d estimer la roortio de ersoes satisfaites ar l utilisatio d ue crème de beauté qui viet d être lacée sur le marché. Elle réalise u sodage armi les ersoes utilisat ce roduit. Sur 0 ersoes iterrogées, se déclaret satisfaites. Estimer, ar itervalle de cofiace au iveau %, la roortio de ersoes satisfaites armi les utilisateurs de la crème. O demade de rédiger. Bous (à e traiter à la fi que si tout le reste a été fait et s il reste du tems) : Réaliser le rogramme sur calculatrice uis le faire tourer 0 fois our 00. Écrire l échatillo de taille 0 obteu (c est-à-dire doer la liste des 0 fréqueces obteues).

3 Idicatio orale e réose à u élève III. ) b) Réose à u élève qui e comreait as bie ce qu il fallait faire. Il s agit de doer u système d iéquatios ortat sur les coordoées x ; y ; z d u oit de l esace. M x ; y ; z Z

4 I. Corrigé du cotrôle du Ue ure cotiet boules blaches et boules oires idiscerables au toucher. O cosidère l exériece aléatoire qui cosiste à tirer successivemet au hasard avec remise deux boules das l ure et à oter das l ordre la couleur de chacue d elles. ) Calculer la robabilité d obteir deux boules de couleurs différetes (valeur exacte). Solutio détaillée : O dresse u arbre de robabilités avec les évéemets B : «la boule tirée lors du remier tirage est blache» ; N : «la boule tirée lors du remier tirage est blache» ; B : «la boule tirée lors du deuxième tirage est blache» ; N : «la boule tirée lors du deuxième tirage est blache». 2 (bore de droite : valeur décimale arochée au cetième ar excès ; bore de gauche : valeur décimale arochée au cetième ar défaut) Solutio détaillée : Le lus simle est évidemmet d utiliser u rogramme réalablemet istallé das la calculatrice. Nous détaillos ceedat ici la démarche. O utilise la formule suivate de l itervalle de fluctuatio d ue fréquece : u ; u où u désige le réel ositif tel que P u Z u (Z état ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. L itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E our u échatillo de taille est : I u ; u. B B 2 N 2 Das otre cas, 00. L itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E our u échatillo de taille 00 est : I u ; u Rael sur u : B N N B P P N B 2 N 2 Soit Z ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. u est le réel strictemet ositif tel que Pu Z u 0, (2) (2) (2) 2P Z u 0, 2P Z u, P Z u 0,7 (2). Pour obteir u sur la calculatrice (modèle TI), o tae FracNormale(0.7) à l itérieur des calculs. O eut aussi redre,6 (valeur doée das le cours). 2 ) O réète l exériece aléatoire 00 fois das des coditios idetiques idéedates. Détermier l itervalle de fluctuatio asymtotique I au seuil de % de la fréquece de l évéemet E : «obteir deux boules de couleurs différetes». I 0, ; 0,

5 0 0 u 8 8 u u 0 0 u , u0, 0 u0, u 0, u 8 8 u u 0 0 u , u0, 0 u0, u 0, ) O réète l exériece aléatoire fois ( état u etier aturel suérieur ou égal à ) das des coditios idetiques idéedates. Détermier le lus etit etier aturel tel que l itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E ait ue amlitude iférieure ou égale à 0,0. Solutio détaillée : 8 0 (u seul résultat, sas égalité, sas exliquer) O utilise la formule suivate de l itervalle de fluctuatio d ue fréquece au seuil : u ; u où u désige le réel ositif tel que P u Z u (Z état ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. L itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E our u échatillo de taille est : I u ; u. O cherche les etiers aturels tel que 2u 0,0 (). () 2u 0,0 () 200u () 0000 u u u u 66 () 2 () 2 () 2 O calcule u à l aide de la calculatrice. 66 Sur la calculatrice (modèle TI), o tae FracNormale(0.7) ^ / u 808, O obtiet : 2 Aisi, la lus etite valeur de telle que l itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E ait ue amlitude iférieure ou égale à 0,0 est 8 0. Autre méthode (mois récise, mais le résultat était admis quad même) : O red,6 comme valeur arochée de u. 0 O est coduit à chercher les etiers aturels tels que l o ait 2, , 0 (). () 2,6 0 0,0 8 () 2,6 0 0,0 8 () 2 2, , 0 D arès la calculatrice, o a 2, , , 0 Avec cette méthode, o doait 8 our réose. So amlitude est doc égale à 2u.

6 ) Reredre les questios récédetes e suosat que les tirages sot effectués sas remise. O dresse u arbre de robabilités ; I 0,0 ; 0,6 ; 7 0 u u u u0, B 8 8 B 2 N 2 u u0, u 0, N 8 8 B 2 N 2 L itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E our u échatillo de taille est : I u ; u. So amlitude est doc égale à 2u. B N N B P P L itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E our u échatillo de taille 00 est : u ; u u u u0,0 u0, u0,0 u0, u 0, O cherche les etiers aturels tel que 2u 0,0 (). () 2u 0,0 () 200u () 0000 u u u 8 () 2 () 2 Avec la calculatrice, o obtiet : u , Aisi, la lus etite valeur de telle que l itervalle de fluctuatio asymtotique au seuil de %, de la fréquece de l évéemet E ait ue amlitude iférieure ou égale à 0,0 est 7. II. U ivestisseur souhaite acheter u aartemet das l objectif est de le louer. Pour cela, il s itéresse à la retabilité locative de cet aartemet. L ivestisseur se red das ue agece immobilière our acheter u aartemet et le louer. Le resosable de cette agece lui affirme que 60 % des aartemets sot retables. Pour vérifier so affirmatio, o a rélevé au hasard 280 dossiers d aartemets loués.

7 ) O suose que l affirmatio du vedeur est vraie. Détermier l itervalle de fluctuatio I asymtotique au seuil de % de la fréquece d aartemets retables das u échatillo aléatoire de taille 280. I 0, ; 0,66 2 ) Parmi les dossiers rélevés, 20 corresodet à des aartemets retables. Détermier la fréquece observée d aartemets retables das l échatillo rélevé. f (u seul résultat) 7 ) Doit-o rejeter l affirmatio du resosable de cette agece? Justifier la réose à l aide des résultats récédets. O réodra à l aide d ue hrase. f 0, (valeur arrodie au millième) O costate que f I doc o rejette l affirmatio du resosable avec u risque de %. OIJ OK V A OI OJ OK V 2 V 2 V 2 V u. v. 6 2 ) O choisit 600 oits au hasard à l itérieur du cube S. Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio au seuil aroximatif de % de la fréquece des oits aarteat à Z. Doer les bores sous forme fractioaire. III. L esace est mui d u reère orthoormé (O, I, J, K). O cosidère le cube S costruit sur les axes du reère dot sommets sot les oits O, I, J, K. O ote Z le tétraèdre OIJK (faces comrises). ) Calculer le volume V de Z. V u. v. 6 O utilise la loi biomiale de aramètres 600 et volume du tétraèdre sur le volume du cube) ; ou ; O vérifie que aartiet bie à l itervalle de fluctuatio. (o obtiet cette valeur e effectuat le quotiet du 6 Solutio détaillée : z ) a) O ote L le sommet du cube S de coordoées ( ; ; ) ; L est le sommet oosé au oit O das le cube. Vérifier que le vecteur OL est u vecteur ormal au la (IJK). K OL IJ 0 IK 0 I O J y OL IJ 0 OL IJ OL IJ 0 Doc les vecteurs OL et IJ sot orthogoaux. x

8 OL IK 0 OL IK 0 Doc les vecteurs OL et IK sot orthogoaux. De lus les droites (IJ) et (IK) sot deux droites sécates icluses das le la (IJK). Si ue droite est orthogoale à deux droites sécates d u la, alors elle est orthogoale à ce la. O e déduit que (OL) est orthogoale au la (IJK) et ar suite, que le vecteur OL est ormal au la (IJK). E déduire ue équatio cartésiee du la (IJK). O e demade as les détails du calcul. x y z 0 b) Écrire u système de trois iéquatios qui caractérise S et u système de quatre iéquatios qui caractérise Z. 0 x S 0 y 0 z 0 x 0 y Z 0 z x y z Pour caractériser la zoe Z, o utilise le cours sur les demi-esaces. O cherche ue iéquatio qui caractérise le demi-esace fermé de frotière (IJK) coteat le oit O. O sait que le la (IJK) détermie deux demi-esaces fermés. L u est caractérisé ar l iéquatio x y z 0 ; l autre est caractérisé ar l iéquatio x y z 0. O utilise la méthode du oit-test avec le oit O (origie du reère). O sait que le oit O est das la zoe Z. O a : xo yo zo doc xo yo zo 0. Le demi-esace fermé de frotière (IJK) coteat O est doc caractérisé ar l iéquatio x y z 0 qui est équivalete à x y z. c) O désire réaliser u algorithme ermettat d etrer u etier aturel, de choisir oits de coordoées x ; y ; z au hasard à l itérieur du cube S et d afficher e sortie la fréquece de ceux qui sot situés das Z. Comléter l algorithme suivat : Etrée : Saisir Iitialisatio : a red la valeur 0 Traitemet: Pour i etier aturel allat de à Faire x red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; y red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; z red la valeur d u réel aléatoire das l itervalle 0 ; s red la valeur x y z Si s Alors a red la valeur a FiSi FiPour Sortie : Afficher a Bous (à e traiter à la fi que si tout le reste a été fait et s il reste du tems) : Réaliser le rogramme sur calculatrice uis le faire tourer 0 fois our 00. Écrire l échatillo de taille 0 obteu (c est-à-dire doer la liste des 0 fréqueces obteues). 0, ; 0, ; 0,22 ; 0, ; 0,2 ; 0, ; 0, ; 0, ; 0,2 ; 0, L éocé e demadait rie de faire avec cette liste. IV. Ue associatio de cosommateurs décide d estimer la roortio de ersoes satisfaites ar l utilisatio d ue crème de beauté qui viet d être lacée sur le marché. Elle réalise u sodage armi les ersoes utilisat ce roduit. Sur 0 ersoes iterrogées, se déclaret satisfaites. Estimer, ar itervalle de cofiace au iveau %, la roortio de ersoes satisfaites armi les utilisateurs de la crème. O demade de rédiger. La taille de l échatillo est 0. O costate que 0 (coditio à vérifier a riori). La fréquece obteue est f. 0 L itervalle de cofiace au iveau % de la roortio de ersoes satisfaites armi les utilisateurs de la crème.

9 est I ; Posos a. 0 0 La valeur décimale arochée d ordre ar défaut de a est 0,622. Posos b. 0 0 La valeur décimale arochée d ordre ar excès de b est 0,72. L itervalle I est doc iclus das l itervalle J 0,622 ; 0,72. O vérifie que a et que b (coditios à vérifie a osteriori : mi et ). O eut doc doer l itervalle 0,622 ; 0,72 our itervalle de cofiace au iveau % de la roortio de ersoes satisfaites armi les utilisateurs de la crème. O se garde bie d écrire I 0,622 ; 0,72 car, du oit de vue mathématique, c est faux. max