UNIVERSITÉ DE POITIERS

Transcription

1 UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des épreuves écrites des années 4-5, 5-6 et 6-7

2 PLAN DU COURS Référence : Mathématiques pour le DEUG. Algèbre er année, cours et exercices, François Liret et Dominique Martinais. Dunod. Définitions et règles de calcul. Définitions. Opérations sur les matrices.3 Propriétés des opérations.4 Matrices inversibles et matrice inverse..5 Matrice transposée, propriétés. Matrices élémentaires. Définitions. Opérations élémentaires sur les colonnes.3 Opérations élémentaires sur les lignes 3 Utilisation des opérations élémentaires Chapitre : MATRICES 4 Systèmes d équations linéaires 4. Matrices inversibles et systèmes d équations linéaires. 4. Méthode de Gauss. 4.3 Méthode de calcul de l inverse d une matrice. Définition. Définition. Exemples. Chapitre : DETERMINANT D UNE MATRICE Propriétés du déterminant. Cas des matrices triangulaires et des matrices élémentaires.. Propriétés de forme alternée..3 Déterminant d un produit, de l inverse et de la transposée. 3 Utilisation du déterminant 3. Inverse d une matrice 3. Systèmes linéaires «inversibles», formules de Cramer

3 Règles de calcul. Opérations. Espace vectoriel produit Chapitre 3 : ESPACES VECTORIELS Sous-espace vectoriel. Définitions.. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.3 Intersection et somme.4 Sous-espace vectoriel supplémentaire. 3 Indépendance linéaire 4 Bases et dimension 4. Définitions. 4. Théorème de la base incomplète 4.3 Applications 4.4 Dimension. 5 Sous-espaces vectoriels de dimensions finies Chapitre 4 : APPLICATIONS LINEAIRES Définitions et premières propriétés. Définitions. Somme d applications linéaires.3 Projection et symétrie.4 Application linéaire et image d une base..5 Applications linéaires et matrices.5 Composition et Isomorphismes Application linéaire et sous-espace vectoriel. Image d un sous-espace vectoriel. Noyau d une application linéaire.3 Théorème de la dimension 3 Matrice d une application linéaire. 3. Définition 3. Opérations. 3.3 Changement de bases. 3.4 Déterminant d un endomorphisme 3

4 EXERCICES Feuille : matrices Feuille : déterminants Feuille 3 : espaces vectoriels Feuille 4 : applications linéaires 4

5 Feuille : EXERCICES SUR LES MATRICES 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 Feuille : EXERCICES SUR LES DÉTERMINANTS

11

12

13 Feuille 3 : EXERCICES SUR LES ESPACES VECTORIELS 3

14 4

15 5

16 6

17 Feuille 4 : EXERCICES SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES 7

18 8

19 9

20

21 ANNÉE 4-5 Contrôle Examen Examen de seconde session

22 Contrôle de Mathématiques du mardi er mars 5, 8h5-h5. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. A. Questions de cours : Soit A = (a ij ) i n, j n une matrice carrée à n lignes et n colonnes. Pour i n, j n, qu appelle t on cofacteur du coefficient a ij? Donner la définition de la comatrice de A. Quelle est la relation entre A et sa comatrice? B. Exercices:. Soit A = Calculer t A.A, A est-elle inversible et quel est son inverse?. Soient a, b et c trois nombres réels. Résoudre le système suivant d abord par la méthode du pivot de Gauss, puis en utilisant les formules de Cramer : x + y + z = a x + 3y z = b 3x + y z = c Montrer que la matrice 3 3 est inversible et calculer son inverse. 3. Soient a, b, c et d quatre nombres réels et soit le déterminant suivant : = d c b a d c b a d c b a. Expliquer pourquoi ce déterminant est nul si deux des réels a, b, c ou d sont égaux. Calculer sous forme factorisée. 4. Calculer le déterminant suivant :

23 3 Epreuve de Mathématiques du vendredi mai 5, 9h-h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. B. Questions de cours : Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n. Soit f est un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans E. ) Donner la définition des sous-espaces vectoriels suivants : Im f, Ker f. Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de ces deux sous-espaces vectoriels de E? ) Si B = (e, e,, e n ) une base de E, qu appelle t on matrice de f dans la base B? 3) Soit B = (e, e,, e n ) une autre base de E. On pose A = Mat(f, B ) et A = Mat(f, B ). Donner et démontrer la relation existant entre A et A. 4) Démontrer que les matrices A et A ont le même déterminant. B. Exercices: 5. Soit A =, montrer que A est inversible et calculer son inverse. 6. Calculer le déterminant des matrices suivantes : , et :. : : : : a a a a a a a a a a n n n n 7. Dans l espace vectoriel E des applications de R dans R, montrer que l ensemble F des applications paires, et l ensemble G des applications impaires sont des sous-espaces vectoriels, et qu ils sont supplémentaires.

24 8. Soient f et g les deux applications de R 3 dans R définies par : f(x, y, z ) = (x+y+z, x-z) et g(x, y, z ) = (x² - y², y + z ). Les applications f et g sont-elles linéaires? Si oui, donner une base de leurs images et de leurs noyaux. 9. Soit E = (e, e, e 3 ) la base canonique de R 3, et h une application linéaire de R 3 dans R 3 dont la matrice dans la base canonique E est : 3 A = 4. 4 On pose F = (u, u, u 3 ) où u, u et u 3 sont des vecteurs de R 3 dont les coordonnées dans la base canonique sont : u = (,, ), u = (-,, ), et u 3 = (,, ). a) Montrer que F est une base de R 3. b) Ecrire la matrice de h dans la base F. On désigne par B cette matrice. c) Soit n> un nombre entier. Calculer B n. d) Calculer les vecteurs h n (e ), h n (e ), h n (e 3 ), ainsi que la matrice A n. 4

25 Epreuve de Mathématiques du vendredi 7 juin 5, 9h-h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. C. Questions de cours : Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n. ) Qu appelle t on base de E? ) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. - Que signifie l expression «F et G sont supplémentaires»? - Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour que F et G soient supplémentaires. D. Exercices:. Dans R 4 on considère les vecteurs u, u, u 3, u 4 et u 5 donnés par : u = (, -,, ), u = (,,, ), u 3 = (,,, ), u 4 = (, -, 3, ), et u 5 = (6,, 8, ). Soit E le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par les vecteurs u, u et u 4, et F le sousespace vectoriel de R 4 engendré par u, u 3 et u 5. a) Pour chacun des sous-espaces vectoriels E, F, E + F et E F, donner une base. b) Déterminer un supplémentaire de E dans R 4.. Calculer les déterminants suivants : L L et M M O O O O M M L L 5

26 . a) Trouver les nombres réels x, y, z et t vérifiant le système suivant : x y z - t = x - y - z - t = x y z - t = x y z - t = b) On considère la matrice A de M 4 (R) définie par : A = On désigne par f l endomorphisme de R 4 dont la matrice, dans la base canonique est A. Déterminer une base du noyau de f et une base de son image. 3. Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), on désigne par f un endomorphisme de E. a) Montrer que : Ker( f ) Ker ( f o f ) et Im ( f o f ) Im ( f ). b) En déduire que si E est de dimension finie alors on a: Im ( f o f ) = Im ( f ) si et seulement si Ker( f ) = Ker ( f o f ). 6

27 ANNÉE 5-6 Contrôle Examen Examen de seconde session 7

28 Contrôle de Mathématiques du mercredi 4 mai 6, 4h-6h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. E. Questions de cours : Soit A = (a ij ) i n, j n une matrice carrée à n lignes et n colonnes. Que signifie la terminologie : «A est inversible»? Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit inversible. Démontrer que s il existe une matrice carrée B, à n lignes et n colonnes, telle que AB = I, alors A et B sont inversibles. F. Exercices: 4. Soit x un nombre réel et soit D(n) le déterminant de la matrice (a ij ) i n, j n définie par : a ii = +x², a ij = x si i-j =, a ij = dans les autres cas ;. Exprimer D(n) en fonction de D(n-), D(n-) et x.. En déduire que D(n) D(n-) = x n-4 (D() D()) 3. En déduire la valeur de D(n). 5. Résoudre le système suivant en fonction du paramètre réel m : x + my + z = mx + y + (m-) z = m x + y + z = m+ 6. On dit qu une matrice carrée A est nilpotente, s il existe un entier k tel que A k =, a) Montrer qu une matrice A = (a ij ) i n, j n telle que a ij = pour i j est nilpotente. b) Soient deux matrices carrées A et B telles que AB = BA. Vérifier que pour tout entier n on a : n p q ( A + B) A B = n! p+ q= n p! q! En déduire que si de plus A et B sont nilpotentes alors leur somme A+B est une matrice nilpotente. c) Si A est qu une matrice carrée nilpotente, telle que A k = pour un entier k, on définit alors l exponentielle de la matrice A, noté e A, par : e A = I + A + A + A A k- ()! ()! (3)! ( k )! Démontrer qui si A et B sont deux matrices nilpotentes telles que AB = BA, alors on a : e A+B = e A e B. 8

29 Epreuve de Mathématiques du 5 juin 6 Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. G. Questions de cours : - Donner la définition du déterminant d une matrice carrée et énoncer quelques unes de ses propriétés. - Qu appelle t on base d un espace vectoriel sur R? - Soit h est une application R-linéaire de R n dans R n, donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que h soit bijective. H. Exercices: 7. On désigne par M la matrice suivante :. Calculer M M. En déduire que M est inversible et calculer M Déterminer le noyau et l image de l application linéaire f de R 3 dans R 4 dont la matrice A dans les bases canoniques est : A = Donner une base des espaces vectoriels Im f et Ker f. Compléter la base de Im f en une base de R Une application linéaire p de R n dans R n est appelée projecteur si pop = p. a- Montrer que si la matrice A d une application linéaire de R n dans R n dans la base canonique est de la forme: K K K M M O M L M A = K L M L L L L Alors cette application linéaire est un projecteur. b- Soit p un projecteur de R n dans R n. Montrer que si un vecteur x est dans l image de p, alors p(x) = x. 9

30 En déduire que Im(p) Ker(p) = {}. Montrer que R n = Im(p) Ker(p). Soit (e, e,, e k ) une base de Im(p). Montrer qu il existe des vecteurs e k+,, e n de Ker(p) tels que (e, e,, e k, e k+,, e n ) forment une base de R n. Ecrire la matrice de p dans cette base. c- Donner un exemple de deux projecteurs p et q de R n dans R n (n>) tels que p+q soit un projecteur. d- Soient p et q deux projecteurs R n dans R n tels que poq + qop =. Vérifier alors que p+q est un projecteur et que poq = qop =. Monter que : Ker(p+q) = Ker(p) Ker(q) et que Im(p) Im(q) = {}. En déduire que : Im(p+q) = Im(p) Im(q).. 3

31 Epreuve de Mathématiques du 3 août 6 La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront des éléments majeurs d'appréciation de la copie. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. I. Questions de cours : Soit (e, e,, e n ) une base de R n, et soit f est une application R-linéaire de R n dans R n. - Qu appelle t on matrice de f dans la base (e, e,, e n )? On note Mat(f, (e, e,, e n ) ) la matrice définie ci-dessus. Soit (e, e,, e n ) une autre base de R n., et soit P la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de (e, e,, e n ) dans la base (e, e,, e n ). - Exprimer la matrice Mat(f, (e, e,, e n ) ) en fonction de la matrice Mat(f, (e, e,, e n ) ) et de la matrice P. - Démontrer que les matrices Mat(f, (e, e,, e n ) ) et Mat(f, (e, e,, e n ) ) ont le même déterminant. Soit R muni de sa base canonique rotation, centrée à l origine, d angle θ. (ε, ε ). Donner dans cette base la matrice de la J. Exercices:. On désigne par M la matrice suivante :. 3 Montrer que M est inversible et calculer son inverse.. Soit n un entier naturel non nul. On désigne par E la matrice carrée à n lignes et n colonnes dont tous les éléments valent. Soient a, a,, a n n nombre réels, on désigne par Diag(a, a,, a n ) la matrice carrée, diagonale, dont les éléments de la diagonale sont successivement a, a,, a n. 3

32 On désigne par n le déterminant de la matrice E+Diag(a, a,, a n ).. Calculer = + a + a et 3 = + a + a + a 3. Pour n> démontrer la relation : En déduire la valeur de n n = a n n- + a.a a n-. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 3 définie par : f (x,y,z) = (x-y+z, x+z, x-y+z) Déterminer l image et le noyau de cette application f. Donner une base de Im(f) et de Ker(f). Donner une base (e, e, e 3 ) de R 3 telle que la matrice de f dans cette base s écrive : Mat(f, (e, e, e 3 ) ) =. 3

33 ANNÉE 6-7 Contrôle Examen Examen de seconde session 33

34 Contrôle de Mathématiques du mardi mars, 8h5-h5. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. A. Questions de cours : ) Soit E un R- espace vectoriel de dimension n et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. - Que signifie l expression «F et G sont supplémentaires»? - Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour que F et G soient supplémentaires. ) Dans l espace vectoriel des fonctions de R dans R, montrer que le sous-espace vectoriel des fonctions paires et le sous-espace vectoriel des fonctions impaires sont supplémentaires. B. Problème : On note M 3 (C) le C- espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficients dans C. La matrice unité d ordre trois est notée I. a b b Soit E l ensemble des matrices de M 3 (C) de la forme M(a,b) = b a b avec a et b dans C. b b a ) Montrer que E est un espace vectoriel. Préciser la dimension et une base de E. Calculer le produit M(a,b).M(a,b ) où a, b, a b sont dans C. En déduire que si A et B sont deux matrices de E alors A.B est dans E et A.B = B.A. ) Exprimer le déterminant de M(a,b) sous forme factorisée. 3) Calculer l inverse de M(a,b) quand elle est inversible et montrer alors que l inverse est dans E. On considère, dans C 3, le système : ax + y + z = a² 3 x + ay + z = a 4 x + y + az = Pour quelles valeurs de a le système est-il de Cramer? Résoudre en ce cas le système avec les formules de Cramer. Résoudre le système dans les autres cas. 4) On pose A = M(,-). Montrer que, pour tout entier n, il existe deux entiers u n et v n tels A n = u n A + v n I. Préciser les relations de récurrence donnant u n et v n en fonction de u n- et v n-. 34

35 Examen de Mathématiques du lundi 4 mai, 8h5-h5. L usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans l appréciation de la copie. Exercice. Calculer le rang de la matrice suivante : Cette matrice est-elle inversible? Exercice. Soit a un paramètre réel quelconque. Résoudre le système suivant : x + 3y + 7z = 8 x 6y + 3z = a 3x + 9y + 5z = 8 Exercice 3. Calculer les deux déterminants suivants : (Indication : on évitera de développer directement) Exercice 4. Soit E un K-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs. (a) Donner la définition d une base et de la dimension de E. Dans la suite on fixe E = R 4. Soient u = (,, 5, 8), u = (4, 6,, ), u 3 =(,, 9, 6), v = (, 4,, 3), v = (, 8, 4, 6) et v 3 = (, 8, 5, 8) des vecteurs de R 4. Notons F le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par u, u et u 3 et G le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par v, v et v 3. 35

36 (b) Déterminer une base de F et une base de G. (c) En déduire les dimensions de F et de G. (d) Calculer la dimension de F + G. (e) R 4 est-il la somme directe des sous-espaces vectoriels F et G? Exercice 5. Soit f l endomorphisme de R 4 dont la matrice dans la base canonique Ε 4 de R 4 est : Mat (f, Ε 4 ) = (a) Soit (x, y, z, t) un vecteur R 4, exprimer f(x, y, z, t). (b) Donner une base du noyau de f. (c) En déduire le rang de f. (d) Soit g l application de R 3 dans R 4 définie par : g(u, v, w) = ( u, v, -u+ v, w). Vérifier que g est linéaire. Expliquer pourquoi g ne peut pas être surjective. Calculer les matrices de g et de fog lorsque R 3 et R 4 sont munis de leur base canonique. (e) Montrer que l image de g et le noyau de f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R

37 37

38 38