Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés
|
|
- Clarisse Lachapelle
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment respectivement une suite décroissante et une suite croissante de sous-espaces vectoriels de E stables par f. [ S ] 2. Montrer que si Ker f k = Ker f k+1, alors m k : Ker f m = Ker f k. [ S ] 3. Montrer que si Im f k = Im f k+1, alors m k : Im f m = Im f k [ S ] 4. Montrer successivement : (a) Im f = Im f 2 E = Im f + Ker f. [ S ] (b) Ker f = Ker f 2 Im f Ker f = 0 }. [ S ] (c) E = Im f Ker f Im f = Im f 2 et Ker f = Ker f 2. [ S ] 5. Soit s (en supposant qu il existe) le plus petit k tel que Ker f k = Ker f k+1. Soit r (en supposant qu il existe) le plus petit k tel que Im f k = Im f k+1. On veut montrer que r = s. (a) Montrer que si s r, alors Im f s = Im f r, puis s = r. [ S ] (b) Prouver que si r s, alors Ker f s = Ker f r, puis s = r. [ S ] (c) Conclure à l égalité r = s. [ S ] (d) Montrer que E = Im f r Ker f r. [ S ] (e) Etablir que la restriction de f à Ker f r est nilpotente. [ S ] (f) Montrer que la restriction de f à Im f r est un automorphisme de Im f r. [ S ] 6. On suppose que E est de dimension finie n. (a) Montrer que les entiers r et s existent, et que r = s n. [ S ] (b) Montrer que E = Im f Ker f Im f = Im f 2 Ker f = Ker f 2. [ S ] 7. Donner un exemple des situations suivantes : (a) L entier r existe, mais pas l entier s. [ S ] (b) L entier s existe, mais pas l entier r. [ S ] (c) Aucun des entiers r et s n existe. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.
2 du problème 1. Pour tout entier naturel k, Ker f k et Im f k sont des sous-espaces vectoriels de E (car ils sont le noyau et l image de f k qui est un endomorphisme de E.) D autre part x Ker f k f k (x) = 0 f k+1 (x) = 0 x Ker f k+1. Enfin y Im f k+1 ( x E, y = f k+1 (x)) y = f k (x ) avec x = f(x). On a donc vérifié les inclusions, pour tout entier k : Ker f k Ker f k+1 : la suite des Ker f k est croissante. Im f k+1 Im f k : la suite des Im f k est décroissante. Enfin, puisque f k commute avec f, le noyau et l image de f k sont stables par f (c est une propriété classique du cours.) On peut aussi remarquer que, pour tout entier naturel k : Si x est dans Ker f k, alors f(x) est dans Ker f k 1 donc dans Ker f k. Si y est dans Im f k, alors f(y) est dans Im f k+1 donc dans Im f k. 2. On demande de prouver que si Ker f k = Ker f k+1 alors la suite des Ker f m est stationnaire à partir de m = k. Il suffit pour cela de prouver que si Ker f k = Ker f k+1 alors Ker f k+1 = Ker f k+2, et la conclusion en découle par une récurrence évidente. Compte tenu de la croissance de la famille des noyaux itérés, il suffit de démontrer que si Ker f k+1 Ker f k alors Ker f k+2 Ker f k+1. En effet, supposons Ker f k+1 Ker f k et soit x un élément de Ker f k+2. Alors f k+2 (x) = 0, c est-à-dire f k+1 (f(x)) = 0. Autrement dit f(x) appartient à Ker f k+1 donc à Ker f k. Il s ensuit que f k (f(x)) = 0, c est-à-dire x Ker f k+1, ce qu il fallait démontrer. 3. Il suffit là encore de prouver que si Im f k Im f k+1 alors Im f k+1 Im f k+2. Avec cette hypothèse, soit y un élément de Im f k+1. Par définition il existe un élément x de E tel que y = f k+1 (x), donc y = f(f k (x)). Le vecteur z = f k (x) est dans Im f k donc dans Im f k+1. Il existe donc un vecteur x de E tel que z = f k+1 (x ). On en déduit que y = f(z) = f k+2 (x) : y appartient bien à Im f k (a) On suppose que Im f = Im f 2. Soit x un élément quelconque de E. f(x) est dans Im f donc dans Im f 2 : il existe x dans E tel que f(x) = f 2 (x ). Avec cette notation, on constate que f(x f(x )) = 0. Le vecteur x = x f(x ) est donc un élément de Ker f. L égalité x = f(x )+x est bien la décomposition de x comme somme d un vecteur de Im f et d un vecteur de Ker f. On a donc prouvé que E est la somme des sous-espaces Im f et Ker f. Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.
3 Réciproquement, on suppose que E = Im f + Ker f. Montrons que Im f = Im f 2. Il suffit évidemment de prouver que Im f Im f 2. Soit y un élément de Im f : il existe x dans E tel que y = f(x). En utilisant l hypothèse, on peut décomposer x en la somme d un élément u de Im f (qui peut donc s écrire u = f(v)) et d un élément w de Ker f. On a alors : y = f(x) = f(u + w) = f(f(v) + w) = f 2 (v) + f(w) = f 2 (v). Le vecteur y est donc élément de Im f 2, ce qu il fallait démontrer. (b) On suppose que f et f 2 ont le même noyau. Il faut montrer que Im f et Ker f sont en somme directe. Soit y un élément de Im f Ker f : il existe x dans E tel que y = f(x). Mais f(y) = 0, c est-à-dire f 2 (x) = 0 : x est dans Ker f 2 donc dans Ker f. Il s ensuit que f(x), c est-à-dire y, est nul. Réciproquement, on suppose que Ker f Im f = 0 }. Il faut montrer que Ker f 2 = Ker f et il suffit de vérifier que Ker f 2 Ker f. Soit x un élément de Ker f 2. Posons y = f(x). Le vecteur y est dans Im f, et il est dans Ker f car f(y) = f 2 (x) = 0. On en déduit en utilisant l hypothèse que le vecteur y = f(x) est nul. Autrement dit x est dans Ker f, ce qu il fallait démontrer. (c) C est une simple conséquence des deux questions précédentes : E = Im f + Ker f Im f = Im f E = Im f Ker f Im f Ker f = 2 0 } Ker f = Ker f 2 5. (a) Pour tout m r, on a Im f m = Im f r, et donc Im f 2r = Im f r. Mais la question (4a) montre alors que E = Im f r + Ker f r. Im f Par définition de r et de s, et puisque s r, on a : r Im f s Ker f r = Ker f s L égalité E = Im f r + Ker f r et ces résultats donnent alors E = Im f s + Ker f s. On en déduit toujours d après (4a) que Im f 2s = Im f s. Autrement dit, la suite des images Im f k est déjà stationnaire lorsque k = s. Par définition de r, on en déduit r s et donc r = s. (b) Pour tout m s, on a Ker f m = Ker f s, et donc Ker f 2s = Ker f s. Mais la question (4b) montre alors que Im f s Ker f s = 0 }. Ker f Par définition de r et de s, et puisque r s, on a : r Ker f s Im f r = Im f s Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.
4 L égalité Im f s Ker f s = 0 } et ces résultats donnent alors Im f r Ker f r = 0 }. On en déduit toujours d après (4b) que Ker f 2r = Ker f r. Autrement dit, la suite des noyaux Ker f k est déjà stationnaire lorsque k = r. Par définition de s, on en déduit s r et donc s = r. (c) C est maintenant évident. Que l on suppose r s ou s r (et on est nécessairement dans l un de ces deux cas), on en déduit toujours que r et s sont identiques. Ker f (d) Cela découle immédiatement de r = Ker f 2r Im f r = Im f 2r et de la question (4c). (e) Soit x un élément quelconque de Ker f r. Par définition f r (x) = 0, ce qui signifie que la restriction g de f à Ker f r vérifie g r = 0 : c est une application nilpotente. (f) Soit h la restriction de f à Im f r. L application h est injective. En effet si x appartient à Im f r et si h(x) = 0, c est-à-dire si f(x) = 0, alors x appartient à Ker f, donc à Ker f r. Il appartient donc à Im f r Ker f k : nécessairement x est nul. L application h est surjective. En effet soit y un élément de Im f r. On sait que Im f r = Im f r+1. Il existe donc un x de E tel que y = f r+1 (x). On peut alors écrire y = f(z) où z = f r (x) est un élément de Im f r. Autrement dit y = h(z) est dans l image de h : h est surjective. Conclusion : la restriction de f à Im f r est un automorphisme de Im f r. 6. (a) Supposons par l absurde que Ker f n soit strictement inclus dans Ker f n+1. Alors Ker f 0, Ker f,..., Ker f n+1 est strictement croissante pour l inclusion. La suite des dimensions est donc strictement croissante, ce qui est impossible car elle est formée de n + 2 entiers appartenant tous à l intervalle [0, n]. On en déduit que Ker f n = Ker f n+1, ce qui prouve l existence de l entier r et le fait que r est inférieur ou égal à n. De même, on a Im f n = Im f n+1 sinon la suite des dim Im f k (avec 0 k n + 1) serait strictement décroissante et formée de n + 2 entiers de [0, n]. On en déduit l existence de l entier s et le fait que s est inférieur ou égal à n. Conclusion : en utilisant la question (5c), l entier r = s existe et r n. (b) On sait que dim E = dim Im f + dim Ker f = dim Im f 2 + dim Ker f 2. On en déduit l équivalence : dim Ker f = dim Ker f 2 dim Im f = dim Im f 2. D autre part les inclusions Ker f Ker f 2 et Im f 2 Im f permettent d écrire les Ker f = Ker f équivalences 2 dim Ker f = dim Ker f 2 Im f = Im f 2 dim Im f = dim Im f 2 On en déduit : Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.
5 Ker f = Ker f 2 dim Ker f = dim Ker f 2 dim Im f = dim Im f 2 Ker f = Ker f Im f = Im f 2 2 Im f = Im f 2 E = Im f Ker f 7. (a) Soit E = IK = R[X] l espace vectoriel des polynômes à coefficients dans IR. f : P P est surjective car tout polynôme est le dérivé d un autre polynôme. On en déduit que Im f = IR[X] et donc r = 0 : k IN, Im f k = IR[X]. En revanche, pour tout entier k, f k est l application P P (k) et le noyau de f k est égal à IR k 1 [X], qui est strictement inclus dans Ker f k+1 (ce qui prouve que l entier s n existe pas). (b) Toujours avec E = IR[X], soit f l application définie par P f(p ) = XP. f est injective donc pour tout k, Ker f k = Ker f 0 = 0} : ainsi s = 0. En revanche, f k est l application qui à tout P associe X k P. L espace Im f k est donc l ensemble des polynômes divisibles par X k. La suite des Im f k est toujours strictement croissante ce qui prouve que l entier r n existe pas. (c) Soient E = IR[X] 2 et f l endomorphisme de E défini par f(p, Q) = (P, XQ). Pour tout entier k et tous polynômes P, Q, on a f k (P, Q) = (P (k), X k Q). Ker f k est l ensemble IR k 1 [X] 0}. Pour tout k, Ker f k est strictement inclus dans Ker f k+1. Im f k est égal à (IR[X], X k IR[X]), qui contient strictement Im f k+1. On a donc trouvé un endomorphisme f d un espace vectoriel E pour lequel les entiers r et s n existent pas. Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailExercices sur les interfaces
Exercices sur les interfaces Fabrice Rossi 18 octobre 1999 1 Le type Object 1.1 Manipulations élémentaires Exercice 1.1 : Indiquer l affichage produit par le programme suivant : public class UpCast1 {
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détail