CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

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1 CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B. On appelle B la base de M et p sa projection. On appelle fibre de M en un point b B le sous-ensemble M b = p 1 (b) de M. Pour toute partie A de B, on note p A l application p 1 (A) A induite par p. On appelle carte vectorielle du B -ensemble M un triplet t = (U, ϕ, F), où U est un ouvert de B, F est un espace vectoriel réel de dimension finie et ϕ : p 1 (U) U F est une bijection qui applique M b sur {b} F pour tout b U. On dit que U est le domaine de t, et que t est une carte vectorielle en a si a U. Pour tout b U, on note ϕ b bijection M b F définie par ϕ(x) = (b, ϕ b (x)) pour x M b. Deux cartes vectorielles (U, ϕ, F) et (U, ϕ, F ) de M sont dites C -compatibles, ou simplement compatibles, si la bijection ϕ b ϕ 1 b : F F est linéaire pour tout b U U, et que l application b ϕ b ϕ 1 b de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. Remarque. Si l application b b 1 de U U b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b 1 b de U U dans Hom(F,F) l est aussi : en effet l application u u 1 de GL n (R) dans GL n (R) est de classe C. On appelle atlas vectoriel (de classe C ) du B -ensemble M un ensemble de cartes vectorielles de M deux à deux C -compatibles dont les domaines recouvrent B. Deux atlas vectoriels de M sont dits C -équivalents, ou simplement équivalents, si leur réunion est un atlas vectoriel. C est une relation d équivalence entre atlas vectoriels de M. 2. Fibrés vectoriels Soit B une variété différentielle. On appelle fibré vectoriel (réel de classe C ) de base B un B -ensemble M muni d une classe d atlas vectoriels équivalents. Tout atlas vectoriel de cette classe est appelé un atlas vectoriel du fibré vectoriel M, et toute carte vectorielle appartenant à l un d eux est appelée une carte vectorielle du fibré vectoriel M. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit p sa projection Il existe sur M une structure de variété différentielle et une seule telle que, pour chaque carte vectorielle 1 la

2 (U, ϕ, F) de M, p 1 (U) soit ouvert dans M et ϕ soit un difféomorphisme de p 1 (U) sur U M. Pour tout b B, il existe sur M b une structure d espace vectoriel réel et une seule telle que, pour chaque carte vectorielle (U, ϕ, F) de M en b, la bijection ϕ b : M b F soit linéaire. On munit toujours M de ces structures. Inversement, soit M une variété différentielle et soit p un morphisme de variétés de M dans B dont les fibres sont munies de structures d espaces vectoriels réels. Supposons que, pour tout a B, il existe un voisinage ouvert U de a dans B, un espace vectoriel de dimension finie F, et un difféomorphisme : p 1 (U) U F dont la restriction à chaque fibre M b, pour b U, est de la forme x (b, b (x)), où b : M b F est linéaire. Il existe alors sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B, ayant pour structures sous-jacentes de variété différentielle et d espaces vectoriels sur les fibres celles données. Soit M un fibré vectoriel de base B. Sa projection est une submersion. Pour tout b B, M b sur M b est une sous-variété fermée de M ; la structure de variété différentielle induite par celle de M coïncide avec celle déduite de la structure d espace vectoriel réel de dimension finie de M b. La dimension de l espace vectoriel M b est appelée le rang de M en b et notée rg b M. La fonction b rg b M est localement constante sur B. Pour tout x M b, on a dim x (M) = dim b (B) + rg b M. Soient M un fibré vectoriel de base B, p sa projection et Y une sous-variété de B. Il existe sur l ensemble p 1 (Y), muni de la projection p Y, une structure de fibré vectoriel de base Y caractérisée par la propriété suivante : pour toute carte vectorielle (U, ϕ, F) de M, le triplet (U Y, ϕ, F), où ϕ : p 1 (U Y) (U Y) F est l application induite par ϕ, est une carte vectorielle de p 1 (Y). Le fibré vectoriel ainsi défini se note M Y et s appelle le fibré de base Y induit par M. Sa variété différentielle sous-jacente est une sous-variété de M. 3. Trivialisations Soit B une variété différentielle et soit F un espace vectoriel réel de dimension finie. On appelle fibré vectoriel trivial de base B et de fibre F le fibré vectoriel obtenu en munissant B F de la première projection et de l atlas {(B, Id B F, F)}. Un fibré vectoriel M est dit trivialisable s il est isomorphe à un fibré vectoriel trivial. Un isomorphisme de M sur un fibré vectoriel trivial est appelé une trivialisation de M. Soit M un fibré vectoriel de base B. On dit que M est trivialisable au-dessus d un ouvert U de B si M U est trivialisable ; cela équivaut à dire que U est le domaine d une carte vectorielle de M. Il existe donc un recouvrement de B par des ouverts au-dessus desquels M est trivialisable. 2

3 4. Exemples : fibrés tangent et cotangent d une variété différentielle Soit X une variété différentielle. Notons T(X) l ensemble des couples (x, t), où x X et t T x (X). Munissons-le de la projection p : T(X) X définie par p(x, t) = x. À toute carte c = (U, ϕ, E) de la variété X est associé un isomorphisme ϕ x : T x (X) E pour tout x U. Notons c le triplet (U, ϕ, E), où ϕ : p 1 (U) U E est la bijection (x, t) (x, ϕ x (t)). Il existe sur T(X) une unique structure de fibré vectoriel de base X dont c soit une carte vectorielle pour toute carte c de X. Ce fibré vectoriel est appelé le fibré tangent de X. On définit de manière analogue le fibré cotangent T(X) de X. 5. Morphismes de fibrés vectoriels Soit B une variété différentielle. Soient M et M deux fibrés vectoriels de base B, p et p leurs projections. On appelle morphisme de fibrés vectoriels de M dans M une application f : M M de classe C possédant les propriétés suivantes : a) on a p f = p (c est-à-dire f(m b ) N b pour tout b B ) ; b) pour tout b B, l application f b : M b N b induite par f est linéaire. Remarque. Soit f : M M une application satisfaisant les conditions a) et b) ci-dessus. Soit U un ouvert de B et soient (U,,F) et (U,,F ) des cartes vectorielles de M et M de domaine U. Pour que f soit de classe C dans p 1 (U), il faut et il suffit que l application b b f b 1 de U b dans l espace vectoriel Hom(F,F ) soit de classe C. Le composé de deux morphismes de fibrés vectoriels est un morphisme de fibrés vectoriels. Si un morphisme de fibrés vectoriels est bijectif, c est un isomorphisme, car l application réciproque est un morphisme de fibrés vectoriels. Cela résulte de la remarque ci-dessus et du fait que l application u u 1 de GL n (R) dans GL n (R) est de classe C. 6. Sections d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle et soit M un fibré vectoriel de base B. On appelle section de M une application s : B M telle que s(b) M b pour tout b B. La section s est dite de classe C r si c est une application de classe C r. On appelle section nulle de M et on note 0 la section qui à tout b B associe l élément 0 de M b. Elle est de classe C. Exemples. Soit X une variété différentielle. 3

4 a) Une section du fibré tangent T(X) est appelée un champ de vecteurs sur X. 1 sur X. b) Une section du fibré cotangent T(X) est appelée une forme différentielle de degré c) Soit f une fonction de classe C r sur X, avec r 1. L application x df x est une forme différentielle de degré 1 de classe C r 1 ; on la note df et on l appelle la différentielle de f. On appelle section de M sur un ouvert U de B une section de M U. L ensemble des sections de M sur U de classe C module sur l anneau C (U) des fonctions de classe C est noté S M (U). Il est muni d une structure de (s + s )(b) = s(b) + s (b) (fs)(b) = f(b)s(b) sur U, définie par pour s, s S M (U) et f C (U). Si V est un ouvert de B contenu dans U, s s V est une application de S M (U) dans S M (V) appelée application de restriction. La famille des modules S M (U) et des applications de restriction ci-dessus est un CB -module, où CB désigne le faisceau sur B des fonctions de classe C. On le note S M et on l appelle le faisceau sur B des sections de classe C de M. Soit (s 1,..., s m ) une suite finie d éléments de S M (U). l ensemble des b B pour lesquels la suite (s 1 (b),..., s m (b)) est une partie libre (resp. une partie génératrice ; resp. une base) de M b est ouvert dans U. Il suffit de prouver cela lorsque M U est le fibré trivial U R n. Cela se déduit alors du fait que, dans M n,m (R), l ensemble des matrices de rang m (resp. de rang n ) est ouvert. 7. Repères d un fibré vectoriel Soient B une variété différentielle, M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. On appelle repère de M dans un ouvert U de X une suite (s 1,..., s n ) de sections de classe C de M sur U telle que (s 1 (b),..., s n (b)) soit une base de M b pour tout b M. Soit a un point de B et soit (e 1,...,e n ) une base de l espace vectoriel M a. Il existe une suite (s 1,...,s n ) de sections de classe C de M sur un voisinage ouvert U de a telle que s i (a) = e i pour 1 i n. Une telle suite étant donnée, il existe un voisinage ouvert V de a contenu dans U dans lequel (s 1 V,...,s n V) est un repère de M. Soit (s 1,..., s n ) un repère de M dans U. L application (b, a 1,..., a n ) a 1 s 1 (b) a n s n (b) 4

5 de U R n dans p 1 (U) est un isomorphisme du fibré trivial U R n sur le fibré vectoriel M U et (s 1,..., s n ) est une base du C (U) -module S M (U). Inversement, soit ϕ un isomorphisme du fibré trivial U R n M U. Notons (e 1,..., e n ) la base canonique de R n, et s i U dans M. La suite (s 1,..., s n ) un repère de M dans U. sur le fibré vectoriel l application b ϕ(b, e i ) de Pour qu il existe un repère de M dans U, il faut et il suffit que le fibré vectoriel M soit trivialisable au-dessus de U. Comme B possède un recouvrement par des ouverts au-dessus desquels M est trivialisable, le CB -module S M est localement libre de rang fini. Il est libre si et seulement si M est trivialisable. Le foncteur M S M est une équivalence de la catégorie des fibrés vectoriels de base B sur celle des -modules localement libres de rang fini. C B Exemples. 1) Soit X une variété différentielle. Soit (u 1,..., u n ) un système de coordonnées dans un ouvert U de X. a) La suite (du 1,..., du n ) est un repère de T(X) sur U. Toute forme différentielle de degré 1 de classe C sur U s écrit de manière unique f 1 du f n du n, où f 1,..., f n sont des fonctions de classe C sur U. b) La suite ( u,..., 1 u ), où n u désigne le champ de vecteurs a ( i u )a sur i U, est un repère de T(X) sur U. Tout champ de vecteurs de classe C sur U s écrit de manière unique h 1 u 1 sur U h n u n, où h 1,..., h n sont des fonctions de classe C 2) On dit qu une variété différentielle X est parallélisable si son fibré tangent T(X) admet un repère sur X, i.e. est trivialisable. Tout ouvert d un espace vectoriel de dimension finie est parallélisable, mais il existe des variétés parallélisables non difféomorphes à de tels ouverts, comme le cercle S Sous-fibrés d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Un sous-ensemble M de M est appelé un sous-fibré vectoriel de M si, pour tout a B, il existe une carte vectorielle (U, ϕ, E) de M en a et un sous-espace vectoriel F de E tels que ϕ(p 1 (U) M ) = U F. Dans ces conditions, il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel pour laquelle l injection canonique M M soit un morphisme de fibrés vectoriels. Pour toute carte vectorielle (U, ϕ, E) de M satisfaisant les conditions de l alinéa précédent, le triplet 5

6 (U, ϕ, F), où ϕ est l application de p 1 (U) M dans U F induite par ϕ, est une carte vectorielle de M. Remarque. Pour qu un sous-ensemble M de M soit un sous-fibré vectoriel de M, il faut et il suffit que, pour tout a B, il existe un voisinage ouvert U de a et une suite finie (s 1,...,s m ) de sections de classe C de M sur U telle que la suite (s 1 (a),...,s m (a)) de vecteurs de M a soit libre et que, pour tout b U, M b = M M b soit le sous-espace vectoriel de M engendré par (s 1 (b),...,s m (b)). Si M est un sous-fibré vectoriel de M, M est une sous-variété fermée de M et M b est un sous-espace vectoriel de M b pour tout b B. Inversement, soit M une sous-variété de M telle que, pour tout b B, M b sous-espace vectoriel de M b. Alors M est un sous-fibré vectoriel de M. soit un Pour démontrer cela, nous pouvons supposer que M est un fibré vectoriel trivial B E. Soit a B. La variété M contient B {0}. L application p = p M est donc une submersion en (a,0). Il existe un voisinage ouvert U de a dans B, une variété différentielle Z et un difféomorphisme de U Z sur un voisinage ouvert de (a,0) dans M tels que p( (b,z)) = b pour tout b U et z Z. Alors ({b} Z) est un ouvert de M b pour tout b U, donc les espaces vectoriels M b, pour b U ont tous une même dimension m. Choisissons une suite finie (z 1,...,z m ) d éléments de Z telle que les (a,z i ) forment une base de M a. Les applications b (b,z i ) de U dans M sont des sections de classe C de M sur U ; il existe un voisinage ouvert V de a dans U tel que, pour b V, la suite des (b,z i ) est libre, et par suite est une base de M b. Il s en suit que M est un sous-fibré vectoriel de M (cf. remarque ci-dessus). 9. Fibrés vectoriels quotients Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit M un sous-fibré vectoriel de M. Considérons dans M la relation R définie comme suit : on a xry si et seulement si x et y appartiennent à une même fibre M b et x y M b. C est une relation d équivalence. L ensemble quotient se note M/M. On déduit par passage au quotient de la projection p : M B une application q : M/M B. Il existe sur M/M une unique structure de fibré vectoriel de base B, de projection q, pour laquelle la surjection canonique M M/M est un morphisme de fibrés vectoriels. Si (U, ϕ, E) est une carte vectorielle de M telle que ϕ(p 1 (U) M ) = U F, où F est un sous-espace vectoriel de E, le triplet (U, ψ, E/F), où ψ : q 1 (U) U (E/F) est déduit de ϕ par passage au quotient, est une carte vectorielle de M/M. Le fibré vectoriel M/M s appelle le fibré vectoriel quotient de M par M. Sa topologie est la topologie quotient de celle de M. La surjection canonique M M/M est une submersion. La fibre de M/M en un point b B est canoniquement isomorphe à M b /M b. Si N est un second fibré vectoriel de base B et f un morphisme de fibrés de M dans N dont la restriction à chaque fibre de M est nulle, l application g : M/M N déduite 6

7 de f par passage au quotient est un morphisme de fibrés vectoriels. 10. Morphismes localement directs, suites exactes Soit B une variété différentielle. Soient M et N deux fibrés vectoriels de base B. On dit qu un morphisme de fibrés vectoriels f : M N est localement direct si l application b rg(f b ) est localement constante sur B. Soit f un morphisme de fibrés vectoriels localement direct. Son image I est un sousfibré vectoriel de N. Son noyau K (défini comme la réunion des noyaux des applications f b induites par f sur les fibres) est un sous-fibré vectoriel de M. L application M/K I déduite de f est un isomorphisme de fibrés vectoriels. On dit qu une suite M f N g P de fibrés vectoriels et de morphismes de fibrés vectoriels est exacte si f et g sont des morphismes localement directs et que le noyau de g est égal à l image de f. 2. Image réciproque d un fibré vectoriel 1. f -morphismes de fibrés vectoriels Soient B, B des variétés différentielles et f : B B un morphisme de variétés. Soient M un fibré vectoriel de base B et M un fibré vectoriel de base B. On dit qu une application g : M M est un f -morphisme de fibrés vectoriels si elle satisfait les conditions suivantes : g est de classe C ; pour tout a B, on a g(m a) M f(a) et l application g a : M a M f(a) induite par g est linéaire. Lorsque M = M, les Id M -morphismes de fibrés vectoriels ne sont autres que les morphismes de fibrés vectoriels considérés au 1, n o 5. Exemple. Soient X et Y des variétés différentielles et f : X Y un morphisme de variétés. L application T(f) : T(X) T(Y) définie par T(f)(x, t) = (f(x), T x (f)(t)) (où x X et t T x (X) ) est un f -morphisme de fibrés vectoriels, appelé le morphisme tangent à f. 2. Image réciproque d un fibré vectoriel Soient B, B des variétés différentielles et f : B B un morphisme de variétés. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Notons B B M le produit fibré de B et M au-dessus de B, c est-à-dire l ensemble des couples (b, x) B M tels que f(b ) = p(x). C est une sous-variété de B M. 7

8 Notons p : B B M B et g : B B M M les applications (b, x) b et (b, x) x. Il existe sur B B M une unique structure de fibré vectoriel de base B, de projection p, pour laquelle g est un f -morphisme. Il suffit de démontrer cela lorsque M est un fibré vectoriel trivial B F. Dans ce cas B B M se compose des triplets (a,b,u) B B F tels que f (a) = b, et l unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant les conditions requises est celle qui se déduit par la bijection (a,b,u) (a,u) de B B M dans B F de la structure de fibré vectoriel trivial de B F. Le fibré vectoriel de base B ainsi construit se note f M et s appelle l image réciproque de M par f. Sa variété différentielle sous-jacente est la sous-variété B B M de B M. Sa fibre M a en un point a B est {a} M f(a) ; elle s identifie canoniquement à M f(a). Le f -morphisme g s appelle le f -morphisme canonique de f M dans M. Exemple. Lorsque B est une sous-variété de B et f l injection canonique, f M s identifie au fibré M B de base B induit par M (cf. 1, n o 2). 3. Propriété universelle Conservons les notations du numéro précédent. Soit N un fibré vectoriel de base B et soit q sa projection. Pour tout f -morphisme h : N M, il existe un unique morphisme h : N f M de fibrés vectoriels de base B tel que g h = h : on a h (x) = (q(x), h(x)). Soient N un fibré vectoriel de base B et soit u : N M un morphisme de fibrés. Il existe un unique morphisme de fibrés f u : f N f M tel que les applications composées f N f u f M M et f N N u M soient égales. 4. Exemples Soient X et Y des variétés différentielles et f : X Y un morphisme de variétés. Par la propriété universelle du n o 3, on déduit du f -morphisme T(f) : T(X) T(Y) un morphisme f : T(X) f T(Y) = X Y T(Y) de fibrés vectoriels de base X : on a f (x, t) = (x, T x (f)(t)) pour x X et t T x (X). Pour que f soit localement direct, il faut et il suffit que f soit une subimmersion. Si f est une immersion, f est injectif. Son conoyau est appelé le fibré transverse de f, ou parfois improprement le fibré normal de f. Si f est une submersion, f est surjectif. Son noyau est appelé le fibré tangent aux fibres de f, ou encore le fibré tangent relatif de f. On le note T(X/Y). Soit x X. Un vecteur t T x (X) est dit vertical (pour f ) s il appartient à T x (X/Y) : cela équivaut à dire qu il est tangent à la sous-variété f 1 (f(x)) de X. 8

9 Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit p sa projection. Le fibré T(M/B) s identifie canoniquement à p (M) lorsqu on identifie, pour tout b B et tout x M b l espace tangent à M b en x à l espace vectoriel M b. 3. Opérations sur les fibrés vectoriels 1. Sommes directes Soit B une variété différentielle. Soit (M i ) i I une famille finie de fibrés vectoriels de base B et soit p i la projection de M i. Notons M l ensemble des couples (b, x), où b B et x (M i ) b. Munissons-le de la projection p : M B définie par p(b, x) = b. Il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant la condition suivante : soit U un ouvert de B et soit, pour tout i I, (U, ϕ i, E i ) une carte vectorielle de M i de domaine U ; notons ϕ : p 1 (U) U E i l application (b, x) (b, ϕ b (x)), où ϕ b : (M i ) b E i est l application linéaire déduite des (ϕ i ) b : (M i ) b E i par passage aux sommes directes ; alors (U, ϕ, E i ) est une carte vectorielle de M. Le fibré vectoriel M ainsi construit s appelle la somme directe des fibrés vectoriels M i et se note M i. Les injections canoniques ι i : M i M sont des morphismes de fibrés vectoriels. Si N est un fibré vectoriel de base B et que les g i : M i N sont des morphismes de fibrés vectoriels, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriels g : M N tel que g ι i = g i pour tout i I. Le fibré vectoriel M se note aussi M i et s appelle aussi le produit fibré des M i. B L application (b, (x i )) x i de M dans M i est un morphisme de fibrés vectoriels noté pr i et appelé la projection d indice i. Si N est un fibré vectoriel de base B et que les g i : N M i sont des morphismes de fibrés vectoriels, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriels g : N M tel que pr i g = g i pour tout i I. Remarques. 1) Soit N un fibré vectoriel de base B. Une application g : M i N est appelée B un morphisme multilinéaire de fibrés vectoriels de base B si elle est de classe C, applique ( M i ) b dans N b pour tout b B et que, pour tout b B, l application g b : ( M i ) b N b induite par g est B multilinéaire, lorsqu on identifie ( M i ) b à (M i ) b. B 2) Soient M un fibré vectoriel de base B, M et M deux sous-fibrés vectoriels de M. On dit que M et M sont supplémentaires si, pour tout b B, les sous-espaces vectoriels M b et M b de M b sont supplémentaires. Cela équivaut à dire que le morphisme de fibrés vectoriels M M M déduit des injections canoniques de M et M dans M est un isomorphisme. Soit : M M/M la surjection canonique. Choisir un supplémentaire M de M équivaut à choisir un morphisme de fibrés vectoriel s : M/M M tel que s = Id M/M : M est l image de s. 9 B

10 Si la variété différentielle B est paracompacte, tout sous-fibré vectoriel de M possède un supplémentaire. En effet l existence de s localement sur B est claire et l existence globale de s s en déduit en utilisant une partition localement finie de l unité. 2. Dual d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B. Notons M l ensemble des couples (b, u), où b est un point de B et u une forme linéaire sur M b, i.e. un élément du dual M b de M b. Munissons M de la projection définie par p(b, u) = b. Il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant la condition suivante : pour toute carte vectorielle (U, ϕ, E) de M, le triplet (U, ϕ, E ), où ϕ : p 1 (U) U E de M. Le fibré vectoriel M b B au dual M b de M b. est l application (b, u) (b, ( t ϕ b ) 1 (u)), est une carte vectorielle s appelle le fibré vectoriel dual de M. On identifie sa fibre en Si (s 1,..., s n ) est un repère de M dans un ouvert U de B, il existe un repère (s 1,..., s n) de M dans U, caractérisé par le fait que, pour tout b B, (s 1(b),..., s n(b)) est la base de M b de (s 1,..., s n ). duale de la base (s 1(b),..., s n (b)) de M b. On l appelle le repère dual Exemple. Soit X une variété différentielle. Le fibré cotangent de X est canoniquement isomorphe au dual du fibré tangent de X. Si (u 1,...,u n ) est un système de coordonnées dans un ouvert U de X, le repère (du 1,...,du n ) de T(X) du repère ( u 1,..., u n ) de T(X) dans U. 3. Produits tensoriels de fibrés dans U est dual Une construction analogue à celles décrite aux n os 1 et 2 permet de définir le produit tensoriel M N de deux fibrés vectoriels de base B. Sa fibre en un point b B s identifie à M b N b. Si (e 1,..., e m ) et (f 1,..., f n ) sont des repères de M et N dans un même ouvert U, les applications e i f j : b e i (b) f j (b) forment un repère de M N dans U. Le fibré vectoriel M N jouit de la propriété universelle suivante : l application u : (b, x, y) (b, x y) de M N dans M N est un morphisme bilinéaire de fibrés vectoriels ; pour tout fibré vectoriel P de base B et tout morphisme bilinéaire f : M N P, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriel g : M N P tel que g u = f. On définit de manière analogue : le produit tensoriel d une famille finie de fibrés vectoriels de base B ; 10

11 les puissances tensorielle, symétrique et alternée n -ièmes d un fibré vectoriel ; le fibré Hom(M, N), lorsque M et N sont des fibrés vectoriels de base B ; etc. Exemple. Soit M un fibré vectoriel de base B. Soient p et q des entiers 0. Notons E le fibré vectoriel (M ) p M q. Si (e 1,..., e n ) est un repère de M dans un ouvert U de B et que (e 1,..., e n ) désigne le repère de M où chacun des indices j 1,..., j p, i 1,..., i q dual, les e j 1,...,j p i 1,...,i q = e j 1... e j p e i1... e iq, varie entre 1 et n, forment un repère de E dans U. Les coordonnées dans ce repère d une section t de E sur U se notent souvent t i 1,...,i q j 1,...,j p : ce sont des fonctions sur U, de classe C si la section t est de classe C. Lorsque M est le fibré tangent de B, les sections de E sur U sont appelées champs de tenseurs p -fois covariants et q -fois contravariants sur U. 4. Connexions 1. Connexions Soient X et Y des variétés différentielles et p : X Y une submersion. Rappelons ( 2, n o 4) que l on déduit de T(p) : T(X) T(Y) un morphisme de fibrés vectoriels p : T(X) p T(Y) = X Y T(Y). Il est défini par p (x, u) = (x, T x (p)(u)) pour x X et u T x (X). Il est surjectif. Son noyau est noté T(X/Y) et appelé le fibré tangent relatif. On a donc une suite exacte 0 T(X/Y) T(X) p p T(Y) 0. On appelle connexion sur X/Y un sous-fibré C de T(X) supplémentaire de T(X/Y). On note r C l unique section de p d image C. L application C r C est une bijection de l ensemble des connexions sur X/Y sur l ensemble des morphismes de fibrés vectoriels r : p T(Y) T(X) tels que p r = Id p T(Y). La bijection réciproque est r r(c). Lorsque la variété X est paracompacte, il existe des connexions sur X/Y ( 3, n o 1, remarque 2). Exemple. Soit Z une variété différentielle. Supposons que X soit la variété produit Y Z et que p soit la première projection. Il existe une unique connexion C sur X/Y 11

12 telle que C (y,z) = T y (Y) {0} pour tout (y, z) X, lorsqu on identifie T (y,z) (X) à T y (Y) T z (Z). On l appelle la connexion triviale sur X/Y. Soit U un ouvert de Y. Si C est une connexion sur X/Y, C p 1 (U) est une connexion sur p 1 (U)/U, dite induite par C au-dessus de U. Plus généralement, soit Y une sous-variété de Y. Notons X la sous-variété p 1 (X ) de X. Si C est une connexion sur X/Y, (C X ) T(p) 1 (T(Y )) est une connexion sur X /Y, dite induite par C au-dessus de Y. 2. Vecteurs tangents horizontaux et verticaux Conservons les notations du n o 1. Rappelons qu un vecteur tangent à X en un point x est dit vertical (pour p ) s il appartient à T x (X/Y). Soit C une connexion sur X/Y et soit x X. Les éléments de C x sont appelés les vecteurs tangents horizontaux à X en x pour la connexion C. Tout vecteur tangent à X en x se décompose de manière unique en une somme d un vecteur tangent horizontal et d un vecteur tangent vertical, que l on appelle ses composantes horizontale et verticale. Soit x un point de X et soit t un vecteur tangent à Y en p(x). Par définition, r C (x, t) est l unique vecteur tangent horizontal à X en x dont l image par T x (p) soit t ; on l appelle le relèvement horizontal de t en x (relatif à la connexion C ). On appelle r C : p T(Y) T(X) le morphisme de relèvement horizontal (relatif à C ). La composante horizontale d un vecteur tangent u T x (X) n est donc autre que le relèvement horizontal de t = T x (u) en x. 3. Structure d espace affine sur l ensemble des connexions Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur X/Y et soit u : p T(Y) T(X/Y) un morphisme de fibrés vectoriels de base X. Il existe une unique connexion C sur X/Y telle que r C = r C + u. On la note C + u. Si l ensemble des connexions sur X/Y n est pas vide, c est un espace affine attaché à l espace vectoriel des morphismes de fibrés vectoriels p T(Y) T(X/Y), la loi d action étant (u, C) C + u. 4. Dérivée covariante Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur X/Y. Soient y un point de Y et t un vecteur tangent à Y en y. Soit s une section de classe C de p, i.e. une application s : Y X de classe C telle que p s = Id Y. 12

13 Alors T y (s)(t) est un vecteur tangent à X en x = s(y). Sa composante horizontale est le relèvement horizontal de t en x. Sa composante verticale est un élément de T x (X/Y) que l on appelle la dérivée covariante de s en y suivant t et que l on note C t s, ou simplement t s s il n y a pas d ambiguïté sur C. On dit que la section s est horizontale au point y si t s = 0 pour tout t T y (Y). Cela équivaut à dire que l image de T y (s) est égale à C x. On dit que la section s est horizontale si elle est horizontale en tout point de Y. Remarques. 1) On peut définir plus généralement t s lorsque s est une section de p de classe C sur un voisinage de y ; la valeur de t s ne dépend que du germe de s en y. 2) Soit y Y. Il existe une section de p au-dessus d un voisinage ouvert de y qui soit horizontale en y, mais il n en existe pas toujours une qui soit horizontale en tout point de son ouvert de définition. Soit u : p T(Y) T(X/Y) un morphisme de fibrés vectoriels de base X. On a, avec les notations ci-dessus, C+u t s = C t s u(s(x), t). 5. Image réciproque d une connexion Conservons les notations du n o 1. Soient Y un morphisme de variétés. une variété différentielle et f : Y Y Comme p est une submersion, le produit fibré Y Y X est une sous-variété de Y X. L espace tangent à Y Y X en un de ses points (y, x) s identifie à l ensemble des éléments (v, u) de T y (Y ) T x (X) tels que T y (f)(v) = T x (p)(u). L application p : (y, x) y de Y Y X dans Y est une submersion. Soit C une connexion sur X/Y. Il existe une unique connexion C sur (Y Y X)/Y telle que, pour tout point (y, x) Y Y X, C (y,x) s identifie à l ensemble des éléments (v, u) T (y,x)(y Y X) tels que u C x. On la note f C et on l appelle l image réciproque de C par f. 5. Connexions linéaires 1. Fibré tangent à un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Soit x un point de M. Posons b = p(x). L espace vectoriel T x (M/B) des vecteurs tangents verticaux à M en x s identifie à l espace tangent en x à l espace vectoriel M b, et 13

14 par suite à l espace vectoriel M b lui-même. Ces identifications fournissent un isomorphisme canonique du fibré tangent relatif T(M/B) sur p M. Le fibré tangent T(M), outre sa structure de fibré vectoriel de base M,. possède également une structure de fibré vectoriel de base T(B), dont la projection est T(p), l addition est le morphisme T(M) T(B) T(M) T(M) tangent à l addition M B M M de M, et la multiplication par un scalaire λ est le morphisme T(M) T(M) tangent à la multiplication par λ dans M. Pour tout point b B et tout vecteur tangent t T b (B), l ensemble des couples (x, u), où x M b et u T x (M) relève t (i.e. T x (p)(u) = t ), n est autre que la fibre en (b, t) du fibré vectoriel précédent et se trouve de ce fait muni d une structure d espace vectoriel. Nous noterons cet espace vectoriel T(M) (b,t). 2. Connexions linéaires Conservons les notations du n o 1. On appelle connexion linéaire sur le fibré vectoriel M une connexion C sur M/B qui est aussi un sous-fibré vectoriel de T(M) pour sa structure de fibré vectoriel de base T(B). Pour qu une connexion C sur M/B soit une connexion linéaire sur M, il faut et il suffit que, pour tout b B et tout t T b (B), l application x r C (x, t) de M b dans T(M) (b,t) soit linéaire, c est-à-dire que r C : M B T(B) T(M) soit un morphisme de fibrés vectoriels de base T(B). Exemples. 1) La connexion triviale sur un fibré vectoriel trivial est une connexion linéaire. 2) Soit C une connexion linéaire sur M. Pour tout ouvert U de B, la connexion induite par C au-dessus de U est une connexion linéaire sur M U. Plus généralement, pour toute sous-variété B de B, la connexion induite par C au-dessus de B est une connexion linéaire sur M B. 3) Soit C une connexion linéaire sur M et soit f : B B un morphisme de variétés. La connexion f C sur f M est linéaire. 3. Structure d espace affine sur l ensemble des connexions linéaires Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion linéaire sur M. Toute connexion C sur M s écrit de manière unique C + u, où u : p T(B) T(M/B) est un morphisme de fibrés vectoriels de base M. Lorsqu on identifie T(M/B) à p (M) (voir no1), u s écrit (x, t) (x, v(x, t)). Pour 14

15 que C soit une connexion linéaire, il faut et il suffit que v : M B T(B) M soit un morphisme bilinéaire de fibrés vectoriels de base B. La connexion linéaire C se note alors aussi C + v. Lorsque l ensemble des connexions linéaires sur M n est pas vide, la loi d action (v, C) C + v en fait un espace affine attaché à l espace vectoriel des morphismes bilinéaires M B T(B) M de fibrés vectoriels de base B. Remarques. 1) Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de B et soit (h i ) i I une partition localement finie de l unité de classe C de B subordonnée à (U i ) i I. Pour tout i I, soit C i une connexion linéaire sur M U i. Il existe une connexion linéaire C sur M et une seule telle que r C (x,t) = h i (p(x))r Ci (x,t) pour tout (x,t) p T(B), où la sommation est étendue à l ensemble fini des indices i I tels que p(x) U i. On note cette connexion h i C i. i I 2) Lorsque la variété B est paracompacte, il existe des connexions linéaires sur M. Cela résulte de la remarque 1 et de l exemple 1 du n o Dérivation covariante associée à une connexion linéaire Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur M. Soient b un point de B, t un vecteur tangent à B en b et s une section de classe C de M sur un voisinage ouvert de b. La dérivée covariante de s en y suivant t est un vecteur tangent vertical à M en s(b) ; on l identifie à un élément de M b que l on note encore t C s ou t s. Pour que la connexion C soit linéaire, il faut et il suffit que l on ait t (s + s ) = t s + t s t (λs) = λ t s pour tout b B, tout t T b (B), tout couple (s, s ) de sections de classe C un voisinage ouvert de b et tout λ R. On a dans ce cas de M sur t (fs) = f(b) t s + df b (t) s(b) pour tout b B, tout t T b (B), toute section s de classe C ouvert de b et toute fonction f de classe C sur ce voisinage. de M sur un voisinage Si ξ est un champ de vecteurs de classe C sur un ouvert U de B et s une section de classe C de M sur U, on note ξ s la section b ξ(b) s de M sur U. Elle est de classe C. On a ξ (s + s ) = ξ s + ξ s ξ (fs) = f ξ s + df(ξ) s 15

16 pour tout champ de vecteurs ξ de classe C classe C de M sur U et toute fonction f de classe C sur U. 5. Constantes de structure d une connexion linéaire sur U, tout couple (s, s ) de sections de Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion linéaire sur M. Soient U un ouvert de B, (e 1,..., e n ) un repère de T(B) dans U et (s 1,..., s m ) un repère de M dans U. Pour 1 i n, 1 j m et 1 k m, on définit des fonctions Γ k ij C sur U par la formule ei s j = m Γ k ijs k. k=1 de classe Ces fonctions sont appelées les constantes de structure de la connexion linéaire C dans les repères choisis sur U. n m Si ξ = i=1 ai e i est un champ de vecteurs de classe C sur U et s = f j s j une m j=1 section de M sur U de classe C, on a ξ s = j=1 gk s k, où n g k = i=1 hi df k (e i ) + n i=1 m j=1 Γk ija i f j. Toute famille (Γ k ij ) de fonctions de classe C sur U, indexée par {1,..., n} {1,..., m} {1,..., m}, est la famille des constantes de structure d une unique connexion linéaire sur M U. 16