1 Notion d espace vectoriel

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1 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients réels ont un point commun. Nous savons les additionner (et les soustraire) et leur somme est encore un élément du même type : la somme de deu vecteurs (resp. réels, resp. polynômes) est encore un vecteur (resp. un réel, resp. un polynôme). On sait aussi les multiplier par un nombre réel, le résultat donne encore un vecteur (resp. un réel, resp. un polynôme). De tels ensembles sont dits stables par addition et par multiplication par un réel. Ce sont des eemples d espaces vectoriels. Ils contiennent toujours un élément particulier, l élément neutre pour l addition, que l on appellera le vecteur nul. Dans tout le cours, K désigne le corps R ou C. 1 Notion d espace vectoriel 1. Présentation et espaces vectoriels de référence : Définition d un K-espace vectoriel (ev) : c est un groupe commutatif muni d une loi eterne vérifiant 4 aiomes. On pourra retenir qu un ev est un ensemble stable par addition et par multiplication par des scalaires, avec quelques règles de calcul «naturelles». Un ev contient toujours au moins un élément, le vecteur nul. Les éléments d un ev sont appelés des vecteurs et les éléments de K des scalaires. Nous aurons pour modèle les ev de référence suivants pour lesquels il faut connaître le vecteur nul : L ensemble des vecteurs de K n, le vecteur nul est (0, 0,..., 0). Les règles de calcul données par : ( 1,..., n ) + (y 1,..., y n ) ( 1 + y 1,..., n + y n ) et λ( 1,..., n ) (λ 1,..., λ n ). l ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K. Le vecteur nul est le polynôme nul. l ensemble F(X,K) K X des fonctions de X dans K (où X désigne un ensemble quelconque), le vecteur nul est la fonction nulle. Les règles de calcul données par : X, (f + g)() f() + g() et (λf)() λf(). Plus généralement si F est un K-ev, alors F(X, F) est un K-ev. l ensemble des suites à coefficients dans K (c est K N ). Le vecteur nul est la suite nulle. Remarquons aussi que l ensemble C est un C-ev mais aussi un R-ev. Nous rencontrerons d autres ev mais tous seront contenus dans les ev de référence, on parlera de sous-espace vectoriel (sev). 2. Notion de sous-espace vectoriel. On retiendra absolument le critère de sev : une partie F d un ev E est un sev de E si : elle contient le vecteur nul 0 E elle est stable combinaison linéaire : Prop : un sev de E est bien un ev. (, y) F 2, λ K, λ + y F. droites vectorielles de R 2 ou R 3, plan vectoriel de R 3 K n [X] {P K[X] deg P n} 3. Opérations sur les espaces vectoriels (a) Intersection Prop : ( ) l intersection de sev de E est un sev de E (fau pour la réunion, il suffit de prendre dans R 2, la réunion de deu droites (vectorielles) distinctes ). Un sev peut ainsi être défini par des équations cartésiennes. (b) Produit de K-ev. On définira aussi à la fin de ce chapitre la somme de sev.

2 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Combinaisons linéaires Def : un vecteur est combinaison linéaire (CL) des vecteurs 1,..., n s il eiste des scalaires λ 1,..., λ n tels que λ λ n n. Plus généralement, si A est une partie de E ou une famille de vecteurs de E (éventuellement infinie), on dit que est CL d éléments de A, si est CL d un nombre fini de vecteurs de A. On note Vect (A) l ensemble des CL de vecteurs de A. R 2 Vect {(1, 0); (0, 1)}, si P est le plan de R 3 d équation 5 y + 7z 0, alors P Vect {(1, 5, 0); (0, 7, 1)}, l ensemble des solutions de y 3y + 2y 0 est le R-ev Vect ( e, e 2 ) ; K[X] Vect {X n n N}. Si A est un ev, Vect A A ; Rq : l écriture d un sev comme un Vect fournit une représentation paramétrique du sev. Prop : Vect (A) est un sev de E, de plus c est le plus petit (au sens de l inclusion) sev de E contenant A (on dit aussi que c est le sev engendré par A). Cela donne un nouveau moyen de prouver qu un ensemble est un ev : si cet ensemble est un vect, alors c est un ev! 3 Applications linéaires 1. Vocabulaire : soit E et F deu K-ev. Une application f de E dans F est dite linéaire si elle transforme une CL de vecteurs de E en CL de vecteurs de F : (, y) E 2, λ K, f(λ + y) λf() + f(y). Si E F, on dit que f est un endomorphisme Si f est bijective, on dit que c est un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme. Si F K, on parle de forme linéaire sur E. On notera L(E, F) l ensemble des AL de E dans F et L(E) l ensemble des endomorphismes de E. Prop : si f est une application linéaire de E dans F, alors f(0 E ) 0 F (cela généralise le fait qu une fonction linéaire de R dans R s annule toujours en 0). l endomorphisme dérivation sur K[X] est linéaire. la fonction carré n est pas linéaire, ( ) les endomorphismes de R sont les fonctions linéaires k, k R. l application qui à une fonction f continue sur [0, 1] associe b f est une forme linéaire. a 2. Les endomorphismes de R 2 ce sont les applications de la forme (, y) (a + by, c + dy), ce qui se retient facilement grâce à la relation matricielle suivante ( ) a b a + by. c d y c + dy En effet, si f est un endomorphisme de R 2, alors f(, y) f((1, 0) + y(0, 1)) f(1, 0) + yf(0, 1) (a, c) + y(b, d) (a + by, c + dy). On peut ainsi «retenir» les eemples suivants : Symétrie orthogonale par rapport à l ae des abscisses : y ( ) y

3 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y : ( ) λ 0 λ homothétie de centre O et de rapport λ : 0 λ y λy 1 0 projection orthogonale sur l ae des abscisses : 0 0 y cos θ sin θ rotation de centre O et d angle θ : sin θ cos θ y y ( ) 0 Remarque : une translation (distincte de id) de R 2 n est pas une application linéaire 3. Des ev importants : le noyau et l image d une AL f : E F. On a Ker f { E f() 0} et Im f {f() E}. ( ) Ker f est un sev de E et Im f un sev de F. ( ) f injective ssi Ker f {0} et f surjective ssi Im f F. ( ) y Le noyau mesure le défaut d injectivité d une AL. C est un outil très pratique pour tester l injectivité d une AL. Eemple : si D est l endomorphisme dérivation des polynômes, Ker D R, donc D pas injective, mais D surjective. 4. Opérations sur les AL Une CL d applications linéaires (AL) est encore une application linéaire, ainsi L(E, F) est un sev de F E F(E, F). La composée de deu AL est encore une AL, ainsi (L(E), +, ) est un anneau. ( ) Si f est une AL bijective, alors son application réciproque f 1 est encore une AL, ainsi l ensemble des automorphismes de E noté (GL(E), ) est un groupe, appelé groupe linéaire. 4 Familles libres, génératrices, bases 1. Familles libres Dans le plan ou dans l espace, deu vecteurs sont dits colinéaires, s il eiste un réel k tel que u k v ou v k u. Dans l espace, trois vecteurs sont dits coplanaires si l un des vecteurs est CL des autres. On généralise cette notion : Définition : Une famille est dite liée si un des vecteurs de la famille est CL des autres vecteurs de la famille. Sinon, elle est dite libre. On utilise plutôt le critère suivant pour prouver la liberté d une famille, «une famille est libre si elle ne vérifie pas de relation de dépendance linéaire» : Prop : une famille ( 1,..., n ) de vecteurs de E est libre ssi : (λ 1,..., λ n ) R n, (λ λ n n 0 λ 1 λ n 0). Généralisation au cas d une famille infinie. Une famille de polynômes non nuls de degré 2 à 2 distincts est libre. la famille (X n ) n N est libre. Remarques : une famille libre ne contient jamais le vecteur nul. Toute sous-famille d une famille libre est libre et toute sur-famille d une famille liée est liée.

4 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Familles génératrices Définition : une famille ( 1,..., n ) de vecteurs de E est dite génératrice de E si tout vecteur de E est une CL des vecteurs 1,..., n, c est-à-dire E Vect { 1,..., n }. Remarque : Toute sur-famille d une famille génératrice est encore génératrice. Application : au calcul de l image d une AL f : E F : si ( 1,..., n ) engendre E, alors Im f est engendré par (f( 1 ),..., f( n )). En particulier, f est complètement déterminée par l image par f des vecteurs de la famille génératrice. 3. Bases Grâce au bases nous aurons le concept de coordonnées et nous pourrons ainsi «numériser» nos objets géométriques. (a) Notion de base et de coordonnées Définition : Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E. Il faut connaître les bases canoniques suivantes : La base canonique de K n : c est la famille (e 1,..., e n ) où e 1 (1, 0,..., 0), e 2 (0, 1,..., 0),..., e n (0,..., 0, 1). La base canonique de K n [X] est (1, X, X 2,..., X n ). La base canonique de K[X] est la famille (X n ) n N. Prop : ( ) (e 1,..., e n ) est une base de E ssi tout vecteur de E s écrit de manière unique comme une CL des vecteurs e 1,..., e n. Dans ce cas si 1 e n e n le n-uplet ( 1,..., n ) représente les coordonnées du vecteur dans la base (e 1,..., e n ). (b) Image d une base par une AL : L image d une base par une AL n est pas forcément une base (e : projection sur O), c est touefois une famille génératrice de l image Im f. On a toutefois l équivalence suivante : soit f L(E, F). Alors f est bijective ssi f transforme une base de E en une base de F. 5 Sommes de sev 1. Somme de deu sev Dans le plan R 2, les sous-espaces vectoriels Vect ( i ) et Vect ( j ) jouent un rôle privilégié. Nous allons préciser cela et généraliser. si E 1 et E 2 sont deu sev de E, on pose E 1 + E 2 { ( 1, 2 ) E 1 E 2 }. Notion de somme directe. Définition : les espaces E 1 et E 2 sont dits supplémentaires dans E ssi tout vecteur de E s écrit de manière unique avec ( 1, 2 ) E 1 E 2. On écrit alors E E 1 E 2. Proposition pratique : E E 1 E 2 (E E 1 + E 2 et E 1 E 2 {0}). 2. Somme d un nombre fini de sev la somme E E p est dite directe si la décomposition de tout vecteur de E E p sous la forme p avec i F i est unique. Caractérisation par unicité de la décomposition du vecteur nul. 6 Endomorphismes remarquables 1. Projection et projecteur. Def : si E E 1 E 2 et E, on appelle projection sur E 1 parallèlement à E 2, l application p : E E définie par p( ) 1. Une projection p est linéaire et vérifie p p p (on dit que c est un projecteur).

5 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci ( ) Réciproquement si p est un projecteur, i.e. p 2 p, alors le noyau de p et son image sont supplémentaires, i.e. (p 2 p) E Im p Ker p. De plus p est la projection sur l image Im p, parallèlement au noyau Ker p. Lien entre projecteurs associés (p + q id). 2. Symétrie Def : si E E 1 E 2 et E, on appelle symétrie par rapport à E 1 parallèlement à E 2, l application s : E E définie par s( ) 1 2. ( ) Réciproquement si s vérifie i.e. s 2 id E, alors les espaces Ker(s id) et Ker(s + id) sont supplémentaires, (s 2 id) E Ker(s id) Ker(s + id). De plus s est la symétrie par rapport à Ker(s id) (ensemble des vecteurs invariants par s) parallèlement à Ker(s + id) (ensemble des vecteurs transformés en leur opposé par s). Lien entre projecteur et symétrie : s 2p id. 3. Homothétie et Translation dans un espace vectoriel. Def : Si k K, on appelle homothétie (vectorielle) de rapport k, l application h : E E définie par h() k. Def : Si a est un vecteur non nul de E, on appelle translation de vecteur a l application t : E E définie par t() + a. Prop : Une homothétie est linéaire mais pas une translation ( car t(0) a 0). On en déduit une interprétation géométrique des sev : un ensemble F est un sev de E s il est stable par homothétie (de centre 0) et par translation par des vecteurs de F. 7 Notion de sous-espace affine 1. Notion de sous-espace affine Les éléments d un espace vectoriel E peuvent s interpréter comme des vecteurs dont l origine est l élément 0 E, mais aussi comme des points. Deu points A et B définissent un vecteur par la relation B A AB. Def : un sous-espace affine F de E est l image d un sev F de E par une translation (par un vecteur de E). Il est donc de la forme F A + F avec A un point de F, et F sev de E appelé direction de F. Point méthode : pour montrer qu une partie F est un sous-espace affine, on trouve un point A dans F, puis on montre que F A est un sev. Eemples divers : droites et plans affines de R n, solutions de systèmes linéaires, solutions d équations différentielles linéaires avec second membre. Prop : opérations sur les sous-espaces affines l intersection de sous-espaces affines i F i est soit vide soit un sous-espace affine de direction l intersection i F i. l image du sous-espace affine F A + F (passant par le point A, de direction F) par une application linéaire f est le sous-espace affine f(a) + f(f) (passant par le point f(a), de direction f(f)). 2. Équation linéaire : si u L(E, F), les solutions de l équation u() b avec b F est soit vide, soit un sous-espace affine de direction Ker u.