Filtrage et EDP. Philippe Montesinos. EMA/LGI2P - Site EERIE. Parc Scientifique G. Besse Nîmes Cedex 1- France

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1 Filtrage et EDP Philippe Montesinos EMA/LGI2P - Site EERIE Parc Scientifique G. Besse Nîmes Cedex 1- France 1

2 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Méthodes Variationnelles. 2. EDP Couleur: - Restauration d Images. - Détection de Contours. 2

3 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Méthodes Variationnelles. 2. EDP Couleur: - Restauration d Images. - Détection de Contours. 3

4 Les analyses multi-échelles Espace échelle gaussien: Koenderink Filtre de lissage gaussien (isotrope): Dépend du paramètre : On étudie la position des contours En fonction de 4

5 Espace échelle gaussien X I(X) X 5

6 Espace échelle gaussien Diffusion isotrope Equation de la chaleur : équation aux dérivées partielles : EDP u t = u u ( x, y, 0 ) = u0 ( x, y ) Solution : Convolution de l image initiale par une gaussienne I ( x, y, t) t = I G ( x, y, t) 0 G (x, y,t) = 1 4π t 6 exp( (x 2 + y2) 4t )

7 Une Axiomatisation de l analyse multi-échelle Définition Image : I : R 2 ( x, y ) R I( x, y ) Opérateur : T t : R I 0 ( x, y ) Image initiale R I ( x, y, t) = Tt ( I 0 ( x, y ) ) Suite continue d images dans le temps 7

8 Axiomes architecturaux Récursivité et Structure Pyramidale : L image à une échelle t+h peut être obtenue directement à partir de l image à l échelle t sans passer par l image initiale. s t, Ts,t / Tt = Ts,t ο Ts 8

9 Axiomes architecturaux Comparaison / Comparaison locale: Une analyse multi-échelle ne doit pas introduire de détails à hautes échelles qui n existaient pas à des échelles inférieures => respect de l ordre des intensités lumineuses. Si I (m) J (m) m V (m0 ) T ( I (m)) T ( J (m)) m V (m0 ) 9

10 Axiomes architecturaux Régularité: L évolution d une image régulière (forme quadratique par exemple) doit se faire de façon régulière. Si I est une forme quadratique au voisinage d un point m0 t I ( m) = a + p ( m m 0 ) + 1 t ( m m0 ) A (m m0 ) 2 lorsque h 0 alors Tt,t + h ( I )(m) ne doit dépendre que des valeurs de a, p et A. 10

11 Théorème Fondamental Si une analyse multi-échelle Tt (I ) vérifie les axiomes : architecture pyramidale comparaison locale régularité alors I ( x, y, t ) = Tt ( I 0 )( x, y) est une solution de viscosité de l EDP suivante : I = F ( H ( I ), I, I, x, y, t ) t avec I ( x, y,0) = I 0 ( x, y ) et F une fonction non décroissante. 11

12 Exemples d EDP : Equation de la chaleur Si une analyse multi-échelle possède les propriétés : linéarité invariance euclidienne alors I ( x, y, t ) = Tt ( I 0 )( x, y ) est solution de l équation de la chaleur 12

13 Equation de la chaleur : dt = 0.5 T=0 T=10 T=20 T=100 T=500 13

14 Exemples d EDP : EMSS Si une analyse multi-échelle possède les propriétés suivantes: invariance euclidienne morphologique alors I ( x, y, t ) = Tt ( I 0 )( x, y ) est solution de viscosité de l EDP suivante : G : fonction non décroissante par rapport à la première variable s 14

15 Exemples d EDP : MCM Un cas particulier intéressant : G(s,t) = s.t Avec : Courbure Euclidienne isophotes Diffusion anisotrope dans la direction des isophotes 15

16 MCM : dt = 0.5 T=0 T=10 T=20 T=50 T=200 T=500 16

17 MCM : dt = 0.5 T=500 T=1000 T=10000 Formes circulaires 17

18 Exemples d EDP : Diffusion Géodésique Filtrage anisotrope DG: Propriétés d invariance: Non invariance Morphologique Invariance Euclidienne Non Linéarité 18

19 Exemples d EDP : Diffusion Géodésique DG 10 itérations 19

20 Exemples d EDP : Diffusion Géodésique DG 20 itérations DG 100 itérations 20

21 EDP: Briques de Base Restauration : Diffuser avec : Segmentation : dériver dans la direction Diffuser avec : 21 η

22 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. Approches Variationnelles. 2. EDP Couleur: - - Restauration d Images. - Détection de Contours. 22

23 Approches Variationnelles Soit I une image bruitée donnée par: I = P I0 + ν Avec : I l image bruitée. I 0 l image originale. P ν un opérateur de dégradation linéaire(en général une convolution) représentant le flou de l image. un bruit gaussien. 23

24 Approches Variationnelles Exemple de dégradation: I0 I = P I0 + ν 24

25 Approches Variationnelles Définition : énergie E 2 1 E(I ) = I P I 0 + λ Φ ( I ) dω 2 Ω Retrouver Avec I 0 à partir de I revient à minimiser E Φ est une fonction de régularisation à choisir λ un nombre strictement positif. 25

26 Approches Variationnelles 2 1 E ( I ) = (I I 0) d Ω + λ Φ( I ) d Ω 2 Ω Ω E( I ) = L dω Ω Minimisation Minimisationde de EE:: Equation Equationd Euler d EulerLagrange Lagrange L L L 26

27 Approches Variationnelles I = cζ I ζζ + cη I ηη t avec: cζ = Φ' ' ( I ) η = I I et et cη = Φ' ( I ) I ζ η La direction de diffusion dépend du choix de la fonction de régularisation Φ 27

28 Approches Variationnelles Evidement pour: = =1 équation de la chaleur 28

29 Approche: Alvarez & Morel: I DI = g ( I * DG ) ( 1 h ( DI ) I + h ( DI ) DI div ( I σ I ) u) t =div (c ( DI t I ( x, y, 0 ) =I 0 ( x, y ) e: petit coefficient numérique 29

30 Approche: Alvarez & Morel: Interprétation géométrique : 30

31 Approche: Alvarez & Morel: 31

32 Approche: Alvarez & Morel: + Bons résultats. + Interprétation géométrique satisfaisante. Choix des seuils (délicat). Contrôle avec lissage gaussien. 32

33 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Approches Variationnelles. 2. EDP Couleur: - Restauration d Images. - Détection de Contours. 33

34 EDP Couleur Définir ξ et η multi-spectral Analyse de Di Zenzo normes de gradient. 34

35 Gradient Couleur Analyse de Di Zenzo: Développement limité de la fonction image: avec : tenseur multi-spectral 35

36 Gradient Couleur La norme et l orientation du gradient couleur sont donnés par: Avec: Avec: λplus plusgrande grandeet et plus pluspetite petitevariation variationvectorielle. vectorielle. η orientation orientationde dela lavariation variationde de ll image image couleur. couleur. 36

37 Gradient Couleur Pour Di Zenzo: I = I I Pour Sapiro: λ+ = t (cosη, sin η) I = λ+ λ I = t (cosη, sin η) I 37

38 EDP Couleur Image Image Synthétique: Synthétique: Image Image Originale Originale MCM MCM marginal marginal MCM MCM vectoriel vectoriel 38

39 EDP Couleur Image Image Synthétique: Synthétique: Image Image Originale Originale DG DG marginal marginal DG DG Vectoriel Vectoriel 39

40 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Approches Variationnelles. 2. EDP Couleur: - Restauration d Images. - Détection de Contours. 40

41 Restauration d Images Restauration de Sapiro: Fonction de contrôle Direction vectorielle Norme de Sapiro 41

42 Restauration d Images Ou encore: 42

43 Restauration d Images g : fonction de contrôle k : un seuil 43

44 Résultats: Sapiro Direction de diffusion vectorielle Atténuation aux contours Pas d arrêt aux coins Diffusion anisotrope partout => restauration peu efficace 44

45 Restauration d Images Restauration de Blomgren: Variation Totale: n=2 m=3 dimensions plans 45

46 Restauration d Images Energie à minimiser 46

47 Restauration d Images Schéma de diffusion: Coefficient Couleur Direction de diffusion: scalaire Terme d atténuation 47

48 Résultats: Blomgren Atténuation aux contours Direction de diffusion scalaire Pas d arrêt aux coins Diffusion jamais nulle Schéma numérique instable 48

49 Restauration d Images Restauration de Tchumperlé: Attache aux données Régularisation Réaction Coefficients de pondération Fonctions de contrôle :, vectoriels 49

50 Résultats: Tchumperlé Terme de réaction Terme d attache aux données. Contrôle avec un gradient vectoriel Pas d atténuation aux contours Pas d atténuation aux coins Complexité à paramétrer 50

51 Restauration d Images Un nouveau schéma de restauration couleur Restauration de Belfkih: 51

52 ( Un détecteur de coins couleur ) Généralisation à l opérateur de Kitchen-Rosenfeld : 52

53 ( Kitchen - Rosenfeld couleur ) avec avec:: 53

54 Résultats : Image Initiale 54

55 55

56 Résultats: notre Modèle Interprétation géométrique Direction de diffusion vectorielle Contrôle de diffusion scalaire Inhibition aux coins Contrôle avec un gradient gaussien Paramétrage délicat 56

57 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Méthodes Variationnelles. 2. EDP Couleur: - Restauration d Images. - Détection de Contours. 57

58 Détection de contours Diffusion Géodésique : - Image lissée à l échelle t1 I t1 - Image lissée à l échelle t2 I t2 - Soustraction: - Passages par zéro: I t2 - I t1 Is Is Iz 58 ( t1 < t2 )

59 Détection de contours Quel est l opérateur différentiel implicitement mis en oeuvre:? Dérivée seconde 1D géodésique 59

60 Détection de contours Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre:? On discrétise le temps, on choisit : t2 = t1 + t Schéma explicite (eq 1D): Equation de la chaleur 1D Solution = dérivée seconde d une gaussienne 60

61 Détection de contours Quel est le filtre implicitement mis en oeuvre:? On discrétise le temps, on choisit : t2, t1 = 0 Step - Edge Fonction de répartition gaussienne 61

62 Détection de contours Quel Quelest estle lefiltre filtreimplicitement implicitementmis misen enoeuvre: oeuvre:?? Réponses impulsionnelles + intermédiaires G 62

63 Détection de contours Localisation précise G Immunité au bruit 63

64 Détection de contours T20 T0 64

65 Détection de contours

66 Détection de contours Amélioration On introduit une fonction g: Exemple: 66

67 Détection de contours DG DGAméliorée Améliorée

68 Détection de contours Introduire une deuxième dimension de lissage (sans perturber la détection) Appliquer un schéma de restauration Avant la DG: - Niveau de gris: Alvarez 68

69 Détection de contours 69

70 Détection de contours DG Couleur : Direction de diffusion Vectorielle Amélioration: Gradients Scalaires Direction de diffusion vectorielle 70

71 Détection de contours DG Couleur : Direction de diffusion Vectorielle 71

72 Détection de contours Différence : 100 itérations, 2 itérations Détails chapeau (contour continu). Coins préservés. Précision < pixel. 72

73 Conclusion Les analyses multi-échelle Définition des EDP et de leurs propriétés. Restauration d images : Approches variationnelles EDP (basées sur l EDP MCM). Détection de contours : EDP (DG). Cas de la couleur: direction de diffusion et diffusion vectorielles. Problème du contrôle 73

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