AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

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1 AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un endomorphisme. On rappelle que le noyau Ker(f) := {x E / f(x) = 0} est un sev qui mesure le manque d injectivité de f et que l image Im(f) := {y E / x E, f(x) = y} est un sev qui mesure le caractère plus ou moins surjectif de f. Comme E est de dimension finie, ces deux sous-espaces sont reliés par la formule (1) dim Ker(f) + dim Im(f) = dim E qu il faut savoir démontrer et qui indique en particulier que f est injectif ssi il est surjectif, ssi il est bijectif. Ce résultat est faux en dimension infinie comme l indique l Exercice 1. Notez que lorsque f : E F est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, la formule (1) reste valable mais la conséquence injectif=surjectif=bijectif n est valable que si dim E = dim F. Exercice 1 (Entraînement). Soit E = l (R) l espace des suites réelles bornées muni de la norme N (x) := sup n N x n. On considère σ : x E y E définie par y n := x n+1, le "décalage à gauche". 1) Montrer que σ L(E) est surjectif mais pas injectif. 2) Montrer de même que le décalage à droite est injectif mais pas surjectif. 3) Calculer la norme d opérateur de ces deux endomorphismes. 4) Calculer les composés de ces deux décalages Supplémentaires. Soit F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Leur intersection F G est encore un sous-espace vectoriel (vérifiez le!), mais c est rarement le cas de leur réunion: Exercice 2 (Entraînement). Montrer que F G est un sev de E ssi F G ou G F. On considère à la place la somme F + G constituée de toutes les sommes d un vecteur de F et d un vecteur de G. On a alors dim F + dim G = dim(f G) + dim(f + G). 1

2 2 VINCENT GUEDJ On dit que F et G sont en somme directe si F G = {0}, on écrit alors F +G = F G. Si de plus F +G = E, on dit que F et G sont supplémentaires et on écrit ainsi F G = E. Exercice 3 (Classique). Soit F, F deux sevs de E. Montrer qu ils admettent un supplémentaire commun ssi ils ont même dimension. Exercice 4 (Classique). Soit F, G E deux sevs. Montrer qu il existe f L(E) tel que Ker(f) = F et Im(f) = G ssi dim F + dim G = dim E. Plus généralement, on dira que des sous-espaces vectoriels F 1,..., F s sont en somme directe si l application linéaire ϕ : (x 1,..., x s ) F 1 F s x x s E est injective. Dans ce cas dim(f F s ) = dim F j. Attention. Cette condition implique que F i F j = {0} pour tout i j, mais elle est beaucoup plus forte que cela lorsque s 3. Observez par exemple que les droites F 1 = (x = 0), F 2 = (y = 0) et F 3 = (x = y) dans R 2 sont d intersection deux à deux réduites à zéro, mais ne sont pas en somme directe (pourquoi?). On verra plus loin que les sous-espaces propres d un endomorphisme sont en somme directe (de même que les sous-espaces caractéristiques). 2. Sous-espaces propres, sous-espaces caractéristiques Soit f L(E). On dit que λ K est valeur propre de f lorsqu il existe un vecteur non nul x de E (appelé vecteur propre) tel que f(x) = λx. Cela revient à dire que l endomorphisme f λid n est pas injectif. L ensemble Ker(f λid) des vecteurs propres associés à λ s appelle le sous-espace propre associé à λ. Exercice 5 (Cours). Montrer que les sous-espaces propres sont en somme directe. (Pensez à utiliser le déterminant de Vandermonde). Exercice 6 (Cours). Montrer que si les sous-espaces propres sont supplémentaires, i.e. i Ker(f λ iid) = E, alors f est "diagonalisable", c est à dire qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Lorsque f n est pas diagonalisable, il faut passer à l analyse des sousespaces caractéristiques dont la définition utilise l exercice suivant: Exercice 7 (Grand classique). Soit f L(E). 1) Montrer que la suite des noyaux itérés (Ker(f j )) j N est une suite croissante stationnaire de sevs de E. 2) Montrer que cette suite est de moins en moins croissante, i.e. la suite (dim Ker(f j+1 ) dim Ker(f j )) j est décroissante. 3) Donner un exemple dans E = R n de f L(R n ) tel que dim Ker(f j ) = j pour tout 0 j n. 4) Exprimer des propriétés analogues sur la suite des images itérées.

3 AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 3 Etant donné f L(E) et λ K une valeur propre, on peut appliquer l exercice précédent à l endomorphisme (f λid) et définir le sous-espace caractéristique C λ (f) := Ker(f λid) m, où m est le premier entier qui rend la suite des noyaux itérés stationnaire. Exercice 8 (Cours). Montrer que les sous-espaces caractéristiques sont en somme directe. (On pourra utiliser le théorème des noyaux qui est rappelé un peu plus loin). Les sous-espaces caractéristiques servent surtout à réduire les endomorphismes nilpotents, c est à dire à trouver une base dans laquelle ils ont une expression simple. Exercice 9 (Entraînement classique). Soit f L(E) un endomorphisme nilpotent. On note s le plus petit entier tel que f s 0 (l indice de f) et s(x) le plus petit entier tel que f s(x) (x) = 0. 1) Mq pour tout x E, s(x) s, et qu il existe x E tel que s(x) = s. 2) On suppose que s = n = dim E. Soit x E tel que s(x) = s = n. Montrer que la famille {x, f(x),..., f n 1 (x)} est une base de E. Expliciter la matrice de f dans cette base. Quel est le polynôme minimal de f? 3) Montrer que pour tout endomorphisme nilpotent non nul [ d un ev ] de 0 1 dimension deux, il existe une base dans laquelle sa matrice est 0 0 3) Donner un exemple dans R 3 d un endomorphisme nilpotent d indice 1. Même question dans R 4 avec indice Diagonalisation 3.1. Deux exemples fondamentaux. Voici deux exemples élémentaires qu il faut maîtriser absolument! Exercice 10 (Cours). Soit p L(E) un projecteur (i.e. p p = p). 1) Montrer que Ker(p) Ker(p Id) = E. 2) En déduire que p est diagonalisable. Exercice 11 (Cours). Soit s L(E) une symétrie (i.e. s s = s). 1) Montrer que Ker(s + Id) Ker(s Id) = E. 2) En déduire que s est diagonalisable Polynômes d endomorphismes. Les deux exemples précédents sont des cas particuliers du critère simple et fondamental de diagonalisibilité qui va suivre. Rappelons que si P = a i X i K[X] est un polynôme, on définit le polynôme d endomorphisme P (f) := a i f i L(E), où f i désigne comme précédemment l endomorphisme itéré f f (i fois). On définit ainsi un morphisme d algèbre de K[X] vers L(E) puisque (P + Q)(f) = P (f) + Q(f) et (P Q)(f) = P (f) Q(f) = Q(f) P (f). Exercice 12 (Cours/ Facile, très utile). Démontrer le théorème des noyaux qui affirme que si P, Q K[X] sont premiers entre eux, alors Ker(P Q)(f) = Ker P (f) Ker Q(f).

4 4 VINCENT GUEDJ Exercice 13 (Cours/ Facile, très utile). Soit f L(E). Montrer que f est diagonalisable ssi il annule P (f) = 0 un polynôme P K[X] scindé à racines simples. Exercice 14 (Classique). Soit f L(E). 1) Montrer que si f est diagonalisable, alors f 2 l est également. 2) Montrer par un exemple simple que la réciproque est fausse. 3) Montrer que si f 2 est diagonalisable, alors (f diagonalisable ) Ker f = Ker f 2. Exercice 15 (Entraînement). Soit f L(E). On suppose qu il existe P K[X] tel que P (0) = 0 P (0) et P (f) = 0. 1) Montrer que Ker f = Ker f 2. 2) En déduire que Ker f Im f = E. 4. Trigonalisation Notre but ici est de démontrer le deuxième théorème principal au programme sur la réduction des endomorphismes: un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable. Nous allons décomposer la preuve en plusieurs exercices. On note f L(E) l endomorphisme, χ(t) := Π s i=1(t λ i ) m i son polynôme caractéristique et C i le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ i. Ceux-ci sont en somme directe par l Exercice 8. Exercice 16 (Cours). Montrer que E = i C i et que chaque sous-espace caractéristique C i est invariant par f. Quitte à raisonner bloc par bloc, on peut donc supposer qu il n y a qu une seule valeur propre que l on note dans la suite λ. Exercice 17 (Cours). Montrer que dans ce cas f = λid+n avec n nilpotent. Il reste donc uniquement à savoir réduire les endomorphismes nilpotents. Cela se fait dans l esprit de l Exercice 9... On obtient au passage la réduction de Jordan qu il est bon de connaitre (bien qu elle ne soit pas au programme?) et la décomposition de Dunford: si χ f est scindé, alors f se décompose de façon unique en f = d + n avec d diagonalisable, n nilpotent et dn = nd. Voici une approche plus simple mais moins précise. Exercice 18 (Entraînement). Montrer par récurrence sur la dimension que tout endomorphisme d un C-espace vectoriel de dimension fini est trigonalisable. Exercice 19 (Entraînement). Déterminer l ensemble des matrices A M(n, R) telles que A est semblable à 2A.

5 AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 5 5. Pot pourri Exercice 20 (Classique, au programme). Soit A GL(n, C). Montrer qu il existe B M(n, C) telle que A = exp B. Exercice 21 (Entraînement). Soit E = R n [X] le R-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n et Φ : E E l endomorphisme défini par Φ(P )(X) = P (X) P (X 1). 1) Calculer Ker Φ et Im Φ. 2) Montrer que Φ est nilpotent. 3) Montrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de Φ n a que des zéros, sauf juste au dessus de la diagonale où elle n a que des 1. Exercice 22 (Entraînement). Résoudre dans M(2, C) l équation X 2 = A, où A est une matrice fixée dans M(2, C). On pourra distinguer les cas A diagonalisable/non-diagonalisable. Exercice 23 (Grand classique). la matrice (compagnon) M = On se donne b 1,..., b n > 0 et on considère b b b n ) On note e 1,... e n les vecteurs de la base canonique de R n. Montrer que la famille {e n, Me n,..., M n 1 e n } est une base de R n. 2) Montrer que le polynôme caractéristique de M est également son polynôme minimal. 3) Montrer que M admet une valeur propre positive. Exercice 24 (Grand classique, au programme). Montrer qu une matrice symétrique réelle est diagonalisable. Exercice 25 (Classique). Soit A M(n, R + ). Montrer que le rayon spectral de A (le plus grand module des valeurs propres complexes) est une valeur propre de A et qu elle admet un vecteur propre à coordonnées positives. Exercice 26 (Classique). Soit M M(n, Z) et p un nombre premier. Montrer que T r(m p ) T r(m) modulo p. Exercice 27 (Original). Soit P Z[X] avec P (0) impair Montrer que 2 r n est pas racine de P, quel que soit r Q +.