1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

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1 Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner un eemple. L application f : avec f( ) = a est-elle linéaire? Soit l application linéaire w : avec wy (, ) = ( y, + y,0), déterminer le noyau de w. Soit B = {(0,0,);(0,,);(,,)} une famille de vecteurs et Solutions une application linéaire f de dans vérifiant les relations suivantes : f(0,0,) = (, ); f(0,, ) = (,0); f(,,) = (9,). Montrer que B est une base de.. Donner la dimension de f ( ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Les applications linéaires sont des outils qui permettent de généraliser et de justifier les propriétés linéaires retenues dans les modèles économiques. Pour une application f de E dans F, un noyau est l ensemble des éléments e son espace vectoriel de départ (E) dont l image par f est le vecteur nul de son espace vectoriel d arrivée (F). Eemple : Ker f = { k(;) k /(, y, + y) = (0,0,0)} ). Le rang est le nombre maimal de vecteurs linéairement indépendants que l on puisse etraire des images par f des vecteurs de base quelconque de E (ou la dimension du sousespace vectoriel image de E dans F). Eemple : Rg f ( ) = pour f : ). L image de E par une application est un sous-espace vectoriel de F.

2 Pour l application f les deu propriétés de linéarité d une application sont vérifiées, alors elle est une application linéaire. Par définition, le noyau de l application w est : { } N ( w) = Ker w = / w( ) = 0. Les vecteurs du noyau de w vérifient l équation suivante = y, ainsi le vecteur v = k(,) avec k a pour image 0. Cf. eercices d entraînement. Eercices d entraînement Application linéaire Les applications suivantes sont-elles linéaires?. f, f ( ) = a :. f, f ( ) = a+ b :. f : f( ) = f 4 : / /, f4( ) =. Soit f et g deu applications linéaires de P et s une application linéaire de P définie par n s ( ) = f( ) + g ( ), p q q 6. Soit f : et g : p deu applications linéaires, et p n gof :, 7. P est un polynôme de degré inférieur ou égal à. Les X ci-dessous sont-elles linéaires? applications de [ ] f ( ) / ' P = dp d = P f ( P) = PP. ' f ( P) = P P' Solutions Rappel : par définition, une application est linéaire si elle vérifie deu propriétés :

3 - R, f ( ) = a, y E f( + y) = f( ) + f( y) et E, λ K, f( λ. ) = λ. f( )., ' a ( + ') = a+ a' = f ( ) + f ( ') f( λ) = a( λ) = λ( a) = λf( ) Pour l application f ces deu propriétés étant vérifiées, alors l application f est linéaire. R, f ( ) = a+ b., ' R f( + ') = a( + ') + b= ( a+ b) + a' et f ( ) + f( ') = ( a+ b) + ( a' + b) f ( + ') f ( ) + f ( ') Pour l application f les propriétés ne sont pas vérifiées, par conséquent, l application f n est pas linéaire. - = (,, ) R, f ( ) = + + R, R f ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + + ) + ( + + ) = f ( ) + f ( ) et f ( λ) = λ( + + ) = λ f ( ) f ( λ) = λ( + + ) = λ f ( ) Pour l application f les deu propriétés étant vérifiées, alors l application f est linéaire.

4 4- L application f 4 ne vérifie aucune des propriétés de la définition d une application linéaire. Donc l application f 4 n est pas linéaire. - p R s ( ) = f( ) + g ( ). La vérification des propriétés donnent :, y R n s( + ) = ( f + g)( + ) = f ( + ) + g( + ) s ( ) ( ) ( ) ( ) ( + = f + f + g + g ) s( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( + = f + g + f + g s s = + ) et λ R; s( λ) = ( f + g)( λ) = f( λ) + g( λ ) [ ] s( λ) = λ f() + g() = λs() Pour l application s ces deu propriétés étant vérifiées, alors l application s est linéaire. Donc l application s qui est la somme deu applications linéaires une application est linéaire. 6- p n Pour l application gof :. p R R p ; [ ] [ ] [ ] gf ( ( + ) = gf ( ) + f ( ) = gf ( ) + gf ( ) = ( gf)( ) + ( g f)( ) p et λ R; R [ ] [ ] [ ] g f( λ) = g λf() = λg f() g f( λ) = λg f() Donc l application gof (la composée de g et de f) est linéaire. 7- P ( ) = a0 + a + a. Les applications f, f et f de [ X ] ne sont pas linéaires. 4

5 Image et noyau - Soit f de avec f (, y) = (, y, + y). Déterminer son noyau. - Soit l application linéaire w de avec wy (, ) = ( y, + y,0), déterminer le noyau de w. Que peut-on conclure? Solutions Rappel : par définition, pour une application f de E dans F le noyau est f = { E f = } et l image est Ker / ( ) 0 F { } Im f = f( E) = y F/ E, f( ) = y. - f (, y) = (, y, + y) En partant d un vecteur quelconque de, il s agit de déterminer la forme particulière qu implique (, y,+ y) = (0,0,0). Seul le vecteur nul de a pour image par f le vecteur nul de. Son noyau est Ker f { / f ( ) 0 } = =. On en conclut que l application f est injective. - Par définition le noyau de l application w est : { } Ker w = / w( ) = 0. Les vecteurs du noyau de w vérifient l équation suivante = y, ainsi le vecteur k(,) avec k a pour image. L application w n est pas injective. Image, noyau et rang - Soit l application linéaire f de avec = (,,,, ) f( ) = (,, ) 0 4 4

6 . Déterminer de deu manières différentes la dimension de l image par f de. Que peut-on conclure.. Déterminer de deu manières différentes la dimension de Ker f. - Soit B = {(0,0,);(0,,);(,,)} une famille de vecteurs et une application linéaire f de dans vérifiant les relations suivantes : f (0,0,) = (, ) f (0,,) = (,0) f (,,) = (9,). Montrer que B est une base de.. Donner la dimension de f ( ), puis la dimension de Ker f. Solutions - Soit l application linéaire f de R R telle que : R f( ) = (,, ) 4. Dimension de l image par f de. re méthode : trouvons une base de. B e i (,0,0,);(0,,0,);(0,0,) i = Écrivons f ( ) en fonction de la base B. Soit une base canonique = { } = { } Alors f( ) = (,, ) = ( )(,0,0) + ( )(0,,0) + (0,0,) 4 4 En conséquence la base { } i i B = e est une partie de l image par f de =. Elle constitue une famille libre et génératrice de, donc une base.. 6

7 e méthode : cherchons l image par f de la base canonique de l espace vectoriel de départ. Puisque l espace vectoriel de départ de l application f est R, alors l image par f de R est f [(,0,0,0,0);(0,,0,0,0);(0,0,,0,0);(0,0,0,,0);(0,0,0,0,)] = {(,0,0);(,0,0);(0,,0);(0,,0);(0,0,} Ce résultat, révèle que deu vecteurs parmi les cinq sont linéairement dépendants. En effet (,0,0) et (, 0, 0) sont colinéaires et ( 0,,0 ) et (0,,0 ) le sont aussi ; par contre la famille de vecteurs {( ) ( ) ( )},0,0 ; 0,,0 ; 0,0, sont libres par f. Par conséquent Rg f Dim f ( ) = R =. La dimension de l espace image étant celle de l espace vectoriel d arrivée, alors l application est surjective.. Dimension de Ker f. re méthode : trouvons-lui une base { R } / f ( ) 0 (,, ) (0,0,0) 4 Ker f = = = = 0 = 4 = 0 = 4 0 = = 0 Donc Ker f = { R / f ( ) = (,,,,0 } Ce résultat permet de déterminer la base recherchée. En effet, en attribuant par eemple la valeur à et à on montre que la base 7

8 { } B = (,,0,0,0);(0,0,,,0) Ker f est une base du sous-espace vectoriel. Ce qui est justifié par : λ, λ = (,,0,0,0) + (0,0,,,0) λ (,,0,0,0) + λ (0,0,,,0) = 0 λ = λ = 0, donc alors Dim Ker f =. e méthode : utilisons la formule des dimensions. Nous savons que : Dim Ker f = Dim R Dim f( R ). Dim R = Dim Ker f + Dim f( R ) On sait par ailleurs que par construction utilisant le résultat ci-dessus : = Dim R et d où, donc en 4 Dim Ker f = Dim Dim f( ) = R R =. - Soit {(0,0,);(0,,);(,,)} B = et f (0, 0,) = (, ) f (0,, ) = (, 0) f (,, ) = (9,). B est une base, si elle est une famille libre. Pour cela, montrons que B est une partie génératrice qui donne une décomposition unique de tout vecteur de. 0 0 λ = λ + λ = λ + λ + λ = λ λ = + + λ λ = + = + λ λ = R, = λ 0 + λ + λ 8

9 Donc R = ( + )(0, 0,) + ( + )(0,,) + (,, ) Donc la famille de vecteurs {(0,0,);(0,,);(,,) } est une famille libre génératrice de R. En conséquence, la décomposition dans B d un vecteur quelconque de R est unique ; alors la famille {(0,0,);(0,, );(,,) } est une base de R.. Le rang d une application linéaire f est égal à la dimension du sousespace image par f. Par définition le rang de l application f est inférieur ou égale à la dimension de l ensemble de départ R. d où Dim f( R ) = Rg f = Dim R = Dim Ker f = Dim Dim f( ) = R R =. 9