CONCOURS Exercice. 3 = cos( 2π 3 ) + i sin( 2π 3 ).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CONCOURS Exercice. 3 = cos( 2π 3 ) + i sin( 2π 3 )."

Transcription

1 CONCOURS 27 Eercice Les différentes parties de cet eercice sont indépendantes. Partie I : Etude de polynômes de C[X]. ) a) Soit le nombre complee j = e 2iπ 3 = cos( 2π 3 ) + i sin( 2π 3 ). Calculer successivement pour k = 3p, k = 3p + et k = 3p + 2, où p N, la valeur de la somme S(k) = + j k + (j 2 ) k b) Soit P un polynôme à coefficients complees, de la forme P = n a k X k. Calculer P (X) + P (jx) + P (j 2 X), on eprimera le résultat en fonction des coefficients a k de P. Indication : on pourra éventuellement distinguer les différents cas : n = 3N, n = 3N + et n = 3N + 2, où N N. k= 2) a) Soit k C. Développer et simplifier le polynôme : R k (X) = (X k)(jx k)(j 2 X k) b) Soit le polynôme Q(X) = (X )(X 2)(X 3)(X 4). On lui associe le polynôme T (X) = Q(X)Q(jX)Q(j 2 X). Montrer que T est un polynôme en X 3. c) En posant Y = X 3, déterminer un polynôme H tel que H(Y ) = T (X). Déterminer les racines du polynôme H(Y ). d) Déterminer de deu façons différentes les racines du polynôme T. Partie II : Etude d une famille de matrices de M 3 (C). Soit E = M 3 (C), l ensemble des matrices à coefficients complees d ordre 3. On note I = la matrice unité, et on considère la matrice K = ) a) Vérifier que K 3 = I. b) Calculer A = (jk I)(j 2 K I) et B = (K I)(K ji)(k j 2 I).. Page /??

2 2) a) Pour une matrice M de M 3 (C) on définit P (M) = ) (I + M + M 2 3 Calculer P = P (K), P 2 = P (j 2 K), P 3 = P (jk). b) Calculer les produits matriciels P P 2, P P 3 et P 2 P 3. c) Vérifier que P 2 = P, P 2 2 = P 2 et P 2 3 = P 3. 3) Soit F = { M(a, b, c) = a c b b a c c b a ; (a, b, c) C 3 }. a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 3 (C). b) Déterminer une base et la dimension de F. 4) Soit F = Vect(P, P 2, P 3 ). a) Montrer que (P, P 2, P 3 ) est une base de F. b) Montrer que F est stable pour le produit matriciel, c est à dire que c) Montrer que F = F. (M, N) F 2, MN F d) Soit une matrice M(a, b, c) de F, déterminer ses coordonnées (α, β, γ) dans la base (P, P 2, P 3 ). 5) Soit M(a, b, c) = αp + βp 2 + γp 3, avec (α, β, γ) vérifiant les relations déterminées à la question II.4.d). Montrer que : n N, [M(a, b, c)] n = u n P + v n P 2 + w n P 3 avec (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites complees dont on déterminera les epressions pour tout n N, en fonction de α, β et γ. 6) Soit D(a, b, c) = M(a, b, c)m(a, bj, cj 2 )M(a, bj 2, cj). a) On note (α, β, γ) les coordonnées de M(a, b, c) dans la base (P, P 2, P 3 ). Déterminer en fonction de (α, β, γ), les coordonnées respectives de M(a, bj, cj 2 ) et M(a, bj 2, cj). b) En déduire la décomposition de D(a, b, c) dans la base (P, P 2, P 3 ), sans recourir à un produit matriciel eplicite. a + b + c = j 7) Soit U = M(a, b, c), telle que : a + bj + cj 2 = j 2. a + bj 2 + cj = Montrer que G(U) = { U k ; k N } est un ensemble fini que l on déterminera. Page 2/??

3 Partie III : Etude d une sous-famille de F. On pose dans cette partie G = N(a, b) = a b b b a b b b a ; (a, b) C 2 ) a) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de l espace F défini dans la Partie II. b) On pose S = N(, ). Montrer que la famille (I, S) est une base de G. 2) a) Pourquoi peut-on affirmer, sans calcul, que S est diagonalisable? b) Déterminer les valeurs propres de S. c) Déterminer une matrice P inversible, et une matrice D diagonale telles que P SP = D 3) En déduire que, pour tout couple (a, b) C 2, la matrice N(a, b) est diagonalisable, et la diagonaliser. 4) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b) C 2 pour que N(a, b) soit inversible. 5) Soit n N. Eprimer [N(a, b)] n à l aide de P, P, a, b, et n. FIN DE L EXERCICE Problème Les parties I et II de ce problème sont largement indépendantes. Préliminaires : suites adjacentes. Soit n un entier naturel, et u = (u n ) n n et v = (v n ) n n deu suites réelles. On dit que le couple (u, v) est un couple de suites adjacentes si u est une suite décroissante v est une suite croissante lim n (u n v n ) = On pose pour tout entier n n, w n = u n v n. ) a) Montrer que : n n, w n u n v n. b) Montrer que (w n ) n n est monotone et déterminer son sens de variation. c) Montrer que la suite v est majorée. Page 3/??

4 d) Montrer que la suite v converge. On note l sa limite. 2) En déduire que la suite u converge, et que sa limite est l. 3) Montrer que : n n, v n l u n. On vient entre autres, de prouver le théorème suivant : Si (u, v) est un couple de suites adjacentes, alors ces deu suites convergent, et ont de plus même limite. Partie I : La constante γ. Une epression sous forme de série. On pose pour tout entier naturel n 2, S n = n k= k, u n = S n ln n, v n = S n ln n ) a) Montrer que : [, [, + ln( ). b) Montrer que : [, [, ln( + ). 2) a) Montrer que la suite u = (u n ) n 2 est décroissante. b) Montrer que la suite v = (v n ) n 2 est croissante. c) Montrer que (u, v) est un couple de suites adjacentes. d) On note γ leur limite commune (qui eiste vu le préliminaire). Donner à l aide de la question 3) des préliminaires, un encadrement de γ à près. 3) Pour tout entier n, on pose : n = ( ) n n + ln n + a) Faire un développement limité de n, en /n, à l ordre 2. b) Quelle est la nature de la série n n? c) En déduire que γ = + n= ( ( n ln + )) n Partie II : Une epression intégrale de la constante γ. On pose pour tout >, g() = e ) a) On pose pour tout réel, f() = + e. Donner un équivalent simple de f en. Page 4/??

5 b) En déduire que g se prolonge en une fonction continue sur R + (encore notée g). c) Montrer que g est bornée sur R +. On notera K un réel tel que pour tout, g() K. 2) On pose I = Montrer que l intégrale I est convergente. 3) On note pour tout n N, et tout X > I n = e g()d e e n d et I n (X) = X e e n d a) Montrer que l intégrale I n est convergente. En déduire que I n (X) a une limite lorsque X tend vers +. Eprimer cette limite à l aide des données du problème. On ne demande pas de calculer la valeur de la limite. b) On note J(X) = X e d et K n(x) = X e n i) Montrer que J(X) et K n (X) ont des limites lorsque X tend vers +. ii) Montrer que K n (X) = iii) En déduire que I n = nx e n n e d. c) En utilisant II.3.b.iii) montrer que d. I n = ln n n e d d 4) Posons F (t) = e e t d. a) On pose pour t R et R, ϕ t () = e e t Montrer que ϕ t peut être prolongée par continuité en. On continuera de noter ϕ t la fonction continue sur R ainsi déterminée. b) Montrer que la fonction F est définie sur R. c) A l aide d une inégalité de Taylor, montrer qu il eiste une constante M (à déterminer) telle que : h [, ], [, ], e h + h h M Page 5/??

6 d) Soit t R et h [, [ ], ], montrer que : F (t + h) F (t) e t d h h 2 e t Md e) En déduire que F est dérivable sur R et déterminer F (t) pour tout t R. f) Calculer F (). g) En utilisant II.4.e) et II.4.f), montrer que F (t) = 5) a) Montrer que l intégrale b) Montrer que I n = ln n c) En déduire que 6) Pour tout n 2, on pose t e e n d est convergente. e e n d. e e n d = ln n. L n = (e e n )g()d a) Montrer que pour tout entier n 2, L n I K n. On rappelle que K a été définie en II..c). b) Montrer que la suite (L n ) n 2 converge. Donner sa limite. c) Montrer que pour tout entier n 2, L n = v n. d) En déduire que γ = e g()d e d. FIN DU PROBLÈME * * * * * Page 6/??

7 FIN DU SUJET * * * * * Page 7/??

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

J.F.C. p. 1 EM LYON x e t dt converge également.

J.F.C. p. 1 EM LYON x e t dt converge également. 28-5- 23 J.F.C. p. EM LYON 23 jean-francois.cossutta@wanadoo.fr PROBLÈME Partie I : Étude d une fonction f définie par une intégrale. Soit un réel appartenant à ], [. t e t t est continue sur [, [. t [,

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n.

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n. LES SUITES RÉELLES Exercice Soit (u n ) et (v n ), deux suites convergeant respectivement vers α et β. On pose : pour tout n N, m n = min(u n, v n ) et M n = max(u n, v n ) : ces deux suites convergent-elles

Plus en détail

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Concours commun 009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Corrigé Problème (Algèbre et géométrie Partie (Étude de deu applications Nous noterons deg P le degré du polynôme P. Pour tout polynôme

Plus en détail

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique.

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. Exercice : D après le concours d inspecteur du trésor, épreuve 2, 2004.. Étudier la fonction de la variable réelle x définie par : f(x) = ln

Plus en détail

Code sujet : 298 Tournez la page S.V.P.

Code sujet : 298 Tournez la page S.V.P. Code sujet : 98 1/4 Tournez la page S.V.P. Fichier généré pour Visiteur (), le 01/03/017 Fichier généré pour Visiteur (), le 01/03/017 /4 Fichier généré pour Visiteur (), le 01/03/017 3/4 Tournez la page

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Concours Communs Polytechniques 2013 Épreuve de Mathématiques n 1 TSI

Concours Communs Polytechniques 2013 Épreuve de Mathématiques n 1 TSI ÉLÉMENTS DE CORRECTION CCP TSI MATHS Concours Communs Polytechniques Épreuve de Mathématiques n TSI. a) On a f ) + Eercice donc f ) + +. b) L application f est dérivable et même de classe C ) sur R comme

Plus en détail

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: pour le 0 juin Eercice Résoudre l équation différentielle : E y y + 5y cos

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL, constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives Amerinsa - Ecole d été Limites : Eercices Eercice : Notions intuitives Dans la figure ci-contre, vers quoi tend f() lorsque tend vers : a) - b) + c) 0 d) -4 e) 4 Eercice : Notions intuitives Vers quelle

Plus en détail

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B (X) Exposant de Hölder ponctuel d une fonction continue. Première partie : définition de l exposant de Hölder ponctuel

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B (X) Exposant de Hölder ponctuel d une fonction continue. Première partie : définition de l exposant de Hölder ponctuel ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D ADMISSION 013 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B (X) (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve Exposant de Hölder ponctuel

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Exercices et Annales Maths Terminale S

Exercices et Annales Maths Terminale S Stages intensifs Exercices et Annales Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien et logarithme décimal 1.1 Exercices préliminaires

Plus en détail

Limites, continuité et dérivabilité

Limites, continuité et dérivabilité Correction de la Feuille de TD - Analyse 8 9 Limites, continuité et dérivabilité Eercice. Montrer que a = et ( ) =.. Démontrer maintenant ces résultats en utilisant la définition (avec le ε) de la ite.

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES. Mardi 2 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont autorisées *****

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES. Mardi 2 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont autorisées ***** SESSION 207 TPCMA02 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC MATHEMATIQUES Mardi 2 mai : 4 h - 8 h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Plus en détail

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Module Complémentaire Poursuites études

Module Complémentaire Poursuites études 1/39 Diagonalisation Suites numériques Series Intégrales curvilignes Intégrales de surface Module Complémentaire Poursuites études Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues 1 Quelques calculs élémentaires 11 Limites On rappelle les limites suivantes : lim ep = + et lim ep = 0 lim ln = + et lim ln = 0 Eercice 1 Soit

Plus en détail

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1 Préparation à l'agrégation Interne 2005-2006 F. Dupré Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME On notera N n l'ensemble des entiers compris entre et n, n désignant un

Plus en détail

Suites réelles et complexes. () Suites 1 / 36

Suites réelles et complexes. () Suites 1 / 36 Suites réelles et complexes () Suites 1 / 36 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 2 / 36 Plan 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites

Plus en détail

Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct Eercices du chapitre 6 avec corrigé succinct Eercice VI Ch6-Eercice On veut résoudre t + bt t + ctt =, b et c étant des fonctions réelles Transformer cette équation différentielle du second ordre en un

Plus en détail

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon.

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon. CHAPITRE 3 SUITES RÉELLES 1 Compléments sur les réels 1.1 Rappels 1.1.a Définition 3.1 Valeur absolue Soient x et y deux réels. On note x max(x, y) = y si x y sinon x et min(x, y) = y si x y sinon On étend

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

Exercice I - étude d une fonction réelle de variable réelle

Exercice I - étude d une fonction réelle de variable réelle Université du Sud Toulon-Var Module M11 : fonctions d une variable réelle L1PC 009-010 RÉVISION POUR LE RATTRAPAGE février 010 Eercice I - étude d une fonction réelle de variable réelle Étudier les variations

Plus en détail

CCP PSI un corrigé

CCP PSI un corrigé CCP26 - PSI un corrigé Cas n 2. Puissances de A(α, β ( α α. A(α, β I 2 n est pas la matrice nulle car (α, β (, et son rang est. β β (, est clairement élément du noyau qui, par théorème du rang, est de

Plus en détail

Partie I - Calcul d une intégrale

Partie I - Calcul d une intégrale 3-- 29 JFC p EM LYON 29 S JF COSSUTTA Lcée Marcelin BERTHELOT SAINT-MAUR jean-francoiscossutta@wanadoofr PROBLÈME Partie I - Calcul d une intégrale f a,b : e a e b est continue sur ], + [ Au voisinage

Plus en détail

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Intégrale et aire On considère la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B. ) Déterminer l epression de f(). ) En déduire une primitive F de f. ) a) Déterminer l intégrale

Plus en détail

PARTIE I : ETUDE DE F

PARTIE I : ETUDE DE F Concours ESIM 999 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I - ANALYSE Durée : 3 heures Filière PC PRELIMINAIRES. f(, est défini si et seulement si :, et ( + ( + >. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O, i,

Plus en détail

Chapitre 2 : Suites numériques

Chapitre 2 : Suites numériques Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 013-014 Chapitre : Suites numériques Dans tout ce qui suit on considère des suites (u n ) n N à valeurs réelles, c est à dire des applications de N

Plus en détail

E3A 2007 MP - Maths B

E3A 2007 MP - Maths B E3A 2007 MP - Maths B Exercice 1 1. Suivant l énoncé, soit y une fonction dérivable sur J, et soit z : x x α y(x). Puisque J ne contient pas 0, z est elle aussi dérivable sur J, et on a : si J R + : x

Plus en détail

Exercice 1 - Enseignement de spécialité - 5pts. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n v n = u n 2. u n =

Exercice 1 - Enseignement de spécialité - 5pts. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n v n = u n 2. u n = La maison Ecole d ' Devoir de type bac n o 4 Classe de terminale ES Variations, limites, continuité, asymptotes, fonction logarithme, suites... Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence

Plus en détail

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html.

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html. Université Pierre et Marie Curie Le 9 novembre 0 LM0 ttp ://www.eleves.ens.fr/ome/waldspur/lm0.tml TD : Fonctions Corrigé Eercice :. Réécrivons f () en fonction de y : f () ey + y/ f () ey + y y ( + y

Plus en détail

PROBLÈME 1 - Un calcul d intégrale Partie I - Une intégrale auxiliaire

PROBLÈME 1 - Un calcul d intégrale Partie I - Une intégrale auxiliaire PCSI 03-0 CORRECTION DS n 0 Lycée de L essouriau PROBLÈME - Un calcul d intégrale Partie I - Une intégrale auiliaire Soit g la fonction définie pour tout t ]0, [ par g(t = ln t t ln t g est continue sur

Plus en détail

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Eercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Enoncés Eercice Démonstration du théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En appliquant le

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

DÉRIVATION CHAPITRE 8. 1 Dérivée d une fonction. 1.1 Dérivabilité

DÉRIVATION CHAPITRE 8. 1 Dérivée d une fonction. 1.1 Dérivabilité CHAPITRE 8 DÉRIVATION Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, D, E, F désigneront des parties de R et I, J des intervalles de R On supposera donné, quand nécessaire, un repère du plan et l on notera

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par M n (IR) l algèbre des matrices carrées d ordre n à coefficients réels. Pour tout A de M n (IR), on note a ij le coefficient

Plus en détail

Matrices stochastiques

Matrices stochastiques Énoncé On note E n le sous-ensemble de M n (IR) formé des matrices M = (m i ) telles que : Pour tous indices i et de {1,..., n}, m i 0. Pour tout indice i de {1,..., n}, m i = 1. =1 1. Montrer que l ensemble

Plus en détail

Corrigé du concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique.

Corrigé du concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique. Corrigé du concours commun 009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique. Problème On rappelle que le nombre e = exp(), 7, e 0, 6,, 4 et ln(3), 0. Partie (Étude d une fonction)

Plus en détail

Etude théorique d équation d ordre 2

Etude théorique d équation d ordre 2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Etude théorique d équation d ordre 2 Eercice 1 [ 01555 ] [Correction] Soit q : R R + une fonction continue non nulle. On se propose de

Plus en détail

Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez tous deux, dans l ordre de votre choix. Le temps de préparation est d une heure ; l

Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez tous deux, dans l ordre de votre choix. Le temps de préparation est d une heure ; l Vous traiterez les exercices suivants et les présenterez tous deux, dans l ordre de votre choix. Le temps de préparation est d une heure ; l interrogation durera une demi-heure environ. Au début de l interrogation,

Plus en détail

PCSI1-PCSI2 DNS n 07 - Pour le mardi 03 janvier Exercices ou premières questions d exercices posés à l oral des concours.

PCSI1-PCSI2 DNS n 07 - Pour le mardi 03 janvier Exercices ou premières questions d exercices posés à l oral des concours. Exercices ou premières questions d exercices posés à l oral des concours Exercice ENSEA-ENSAM [ Montrer que α, π ], cos 4 α) + sin 4 α) = 2 2 sin2 2α) puis que si a, b) R+) 2 alors a 2 cos 2 α) + b 2 sin

Plus en détail

Notations et préliminaires

Notations et préliminaires Notations et préliminaires Tous les corps figurant dans le problème sont supposés commutatifs. N désigne l ensemble des nombres entiers naturels N désigne l ensemble des nombres entiers naturels non nuls

Plus en détail

2 : LIMITE ET CONTINUITE

2 : LIMITE ET CONTINUITE : LIMITE ET CONTINUITE LISTE DES COMPTENCES CODE L0 L0 L0 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L0 DENOMINATION Savoir calculer la ite en un point d un monôme Savoir calculer la ite en l infini d un monôme Savoir calculer

Plus en détail

CCP 2002 PC Maths 1 page 1. CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures

CCP 2002 PC Maths 1 page 1. CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures CCP 2002 PC Maths 1 page 1 SESSION 2002 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera

Plus en détail

Mathématiques, concours ATS 2016, un corrigé. Exercice 1

Mathématiques, concours ATS 2016, un corrigé. Exercice 1 Mathématiques, concours ATS 6, un corrigé Eercice. On introduit les notations a = (a n n N et b = (b n n N. On a alors a + b = (a n + b n n N et n N, a n+ + b n+ = a n+ + a n + b n+ + b n = a n+ + b n+

Plus en détail

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition.

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition. LSMarsa Elriadh Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition (5 ² 1) f ( ) = 3 ² + 5 + 1 ; f ( ) = ;

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n Limites de fonctions Théorie Eercice Démontrer que 0 Soient m, n des entiers positifs + Étudier 0 3 Démontrer que 0 ( + + ) = Eercice = + m m n Montrer que toute

Plus en détail

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Aix-Marseille Université 2012-2013 Analyse I PLANCHE 1 : LIMITES, CONTINUITÉ Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Exercice 1 Soit a, b R. Montrer les implications suivantes :

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2 Lycée Thiers CORRECTION DU DEVOIR DU //06 Partie I Rappelons d une part que : et d autre part que : t R, sin (t cos (t ( t [, ], cos (arcsin (t t ( La formule de linéarisation ( est bien connue. La formule

Plus en détail

Eléments propres d un endomorphisme

Eléments propres d un endomorphisme [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 16 Enoncés 1 Eléments propres d un endomorphisme Eercice 1 [ 768 ] [Correction] Soient E = C (R, R) et D l endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f.

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n )

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité TD3 Limites et continuité Limites de fonctions Eercice Déterminer les limites suivantes (si elles eistent) : a) lim + ( ln(+ + )) e 3 + + 7 b) lim + e + e c) lim d) lim + + 3 + 7 3 [ ] e) lim + (e + e

Plus en détail

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Polytech Paris - UPMC Agral 3, 206-207 TD Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice. Étudier la continuité des fonctions suivantes : { { x 2 y 2 (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 g(x, y) =

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Les symboles Ln et tan représentent respectivement le logarithme népérien

Plus en détail

Devoir Surveillé /Evaluation

Devoir Surveillé /Evaluation Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

Interrogations orales en PT - PT * au Lycée Raspail, Paris Énoncés

Interrogations orales en PT - PT * au Lycée Raspail, Paris Énoncés Interrogations orales en PT - PT * au Lycée Raspail, Paris Énoncés Vincent Jugé Année 2012-2013 1 1 Fonctions de R dans R n Courbes du plan définies par une représentation paramétrique Exercice 1.1. Énoncé

Plus en détail

Les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques,

Plus en détail

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des exercices

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des exercices Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des eercices Tatiana Labopin-Richard 28 janvier 205 Problèmes de limites Eercice : Trouver les limites suivantes

Plus en détail

FASCICULE D'EXERCICES

FASCICULE D'EXERCICES ELEMENTS D'ALGEBRE LINEAIRE, A L'USAGE DES ETUDIANTS DE L'U.E. M1PY3W01 FASCICULE D'EXERCICES A partir de Septembre 2014, le programme de cette U.E. devient le programme d'algèbre et application à la résolution

Plus en détail

Autour des polynômes

Autour des polynômes utour des polynômes Introduction Nous nous limiterons au polynômes à une indéterminée X, construits sur les réels IR ou les complees C. Un polynôme P est défini par : k=n P X = a 0 + a X + a 2 X 2 +...

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Exercices : Préparation à l oral

Exercices : Préparation à l oral Mathématiques Année 26-27 Lycée Pothier - PSI F. Blache Exercices : Préparation à l oral Exercice. Calcul mental : 8 699 et 99. 2. Déterminer le plus grand facteur premier du nombre 89999. Exercice 2 Soit

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 5 Fonctions trigonométriques - Suites géométriques - Suites adjacentes - Intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 5 Fonctions trigonométriques - Suites géométriques - Suites adjacentes - Intégrales Partie A a est un nombre réel appartenant à l intervalle [0 ;π]. On considère la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 cos a et de raison sin a. 1) Exprimer u n en fonction de n et déterminer la

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES Définition 2.0. Une suite réelle est une application u : N R qui à tout n de N associe un élément u n de R, appelé terme général de la suite. On notera donc la suite (u n ),

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Suites Réelles. Aptitudes à développer :

Suites Réelles. Aptitudes à développer : Suites Réelles Aptitudes à développer : Suites * Reconnaître qu un réel est un majorant ou un minorant d une suite du programme. * Etudier les variations d une suite du programme. * Représenter graphiquement

Plus en détail

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Ce document vient en complément du chapitre 6 du livre Informatique, programmation et calcul scientifique en Python et Scilab, publié chez ellipses.

Plus en détail

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes Chapitre 3 Limites et asymptotes Sommaire 3. Définitions, propriétés........................... 87 3.. Limite finie en un point........................... 87 3..2 Limite infinie en un point..........................

Plus en détail

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u)

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u) Matrices symétriques réelles 1 Préliminaires On se place dans (R n, ) euclidien, le produit scalaire canonique étant défini par : (x, y) R n R n, x y = t x y = x k y k On note : M n (R) l algèbres des

Plus en détail

Mathématiques 2. Équations linéaires

Mathématiques 2. Équations linéaires Mathématiques 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées 212 Dans tout le problème, le corps de base des espaces vectoriels est R. Les matrices et les sstèmes linéaires sont à coefficients réels. Les suites

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables Exercice 1 On note l'ouvert de défini par 1 3, 3 0,1 et l'application définie sur par :,, ² ² Montrer que est strictement négative sur., 1 1 Pour,, 1 0. Pour 01, 1 0. Comme et

Plus en détail

TD 1: Rappels de Terminale et langage mathématique

TD 1: Rappels de Terminale et langage mathématique Université Pierre et Marie Curie Année 011/01 LM115 MIME TD 1: Rappels de Terminale et langage mathématique L objectif de cette feuille de td est d apprendre à manier correctement les quantificateurs et

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Rappels, notations et objectifs du problème

MATHÉMATIQUES II. Rappels, notations et objectifs du problème MATHÉMATIQUES II Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M n ( IC ) l ensemble des matrices carrées complexes d ordre n De

Plus en détail

J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par :

J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : 6-- 4 JFC p Eercice EDHEC 998 E 3 Q On dit que Z suit une loi eponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : f) = e a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité b) Déterminer

Plus en détail

TD3 d Analyse (DUMI2E) Fonctions réelles

TD3 d Analyse (DUMI2E) Fonctions réelles TD3 d Analyse (DUMI2E) Fonctions réelles Le symbole sinale les eercices que les étudiants doivent impérativement savoir traiter. Le symbole sinale les eercices qu il faut faire chez soi, ils sont relativement

Plus en détail

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS. Calcul formel EXERCICE.. Jeu de paramètres Considérons la fonction appelée logarithme à base a (avec a R + ). Cette fonction, paramétrée par a, est notée f a et est définie

Plus en détail

Exercices 6. Suites numériques. Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C.

Exercices 6. Suites numériques. Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C. Exercices 6 Suites numériques Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C. 6 Suites numériques...................................................................... 1 1 Aspects théoriques.................................................................

Plus en détail

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71 Rachid Regbaoui 2 Chapitre 1 Rappels sur les suites et séries numériques 1.1 Suites numériques 1.1.1 Généralités Dans la suite K désignera le corps des réels

Plus en détail

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = 1+ 2 2 2 ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur

Plus en détail

Devoir surveillé n o 4 (4

Devoir surveillé n o 4 (4 Lycée Marceau MPSI 015/016 Le lundi 0 novembre 015 Devoir surveillé n o heures) Ce devoir est constitué de quatre exercices et d'un petit problème L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère de

Plus en détail

Convergence des suites monotones et applications.

Convergence des suites monotones et applications. Université Paris Est Marne-la-Vallée L Sciences Physiques 20-202 Compléments en Analyse Convergence des suites monotones et applications.. Quelques définitions Ce chapitre est consacré à la convergence

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

EPREUVE A OPTION DE MATHEMATIQUES

EPREUVE A OPTION DE MATHEMATIQUES CONCOURS SUR ÉPREUVES OUVERT AUX CANDIDATS TITULAIRES D UN DIPLÔME VALIDANT LA FIN DE PREMIÈRE ANNÉE DU GRADE DE MASTER OU D UN CERTIFICAT DE SCOLARITÉ VALIDANT L ANNÉE PRÉCÉDANT CELLE DE L ATTRIBUTION

Plus en détail

Devoir maison sur les suites - Exemples d application

Devoir maison sur les suites - Exemples d application 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Devoir maison sur les suites - Eemples d application Voici la liste des eercices corrigés : Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et

Plus en détail

Notations et définitions

Notations et définitions Les calculatrices sont interdites L objectif du problème est de définir et d étudier la notion de diagonalisabilité d un couple de matrices A, B dans plusieurs situations Les parties I et V traitent chacune

Plus en détail

CAPES 2007 ( Correction du sujet d analyse )

CAPES 2007 ( Correction du sujet d analyse ) CAPES 7 Correction du sujet d analyse Dernière mise à jour : Mardi 7 Avril 7 Vincent OBATON, lycée Stendhal de Grenoble vincent.obaton@ac-grenoble.fr Avec la correction attentive de Muriel et Nathalie

Plus en détail

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. (Durée : 6 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve.

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. (Durée : 6 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE CONCOURS D ADMISSION 2011 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES D (U) (Durée : 6 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve. Dans tout le

Plus en détail