1 Questions qualitatives (1 point each)

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1 Relativité Générale 1 1 Questions qualitatives (1 point each) 1. L idée fondamentale de la relativité restreinte est que : (a) La vitesse d un objet est relative de référentiel? (b) La vitesse de la lumière dans le vide est indépendante du référentiel? (c) Le temps est absolu mais l espace est toujours relative au référentiel? Réponse : (b) est correcte. J ai donné un point pour (a), mais la quadri-vitesse est independent de référentiel. 2. Le plan Euclidien en 2 dimensions avec les coordonnées polaire à un problème à l origine. Quel phrase décrit la situations plus correcte : (a) Il y a une singularité de la géométrie d espace à l origine. (b) Il n y a pas un singularité de la géométrie d espace à l origine, c est juste une dégénérescence des coordonnées. Réponse : (b) est correcte. C est dans les notes. Considérez la géometrie avec les coordonnées cartesien ; c est claire il n y a pas de singularité de la géométrie d espace à l origine. Mais les coordonnées polaire sont juste un choix des coordonnées ; ça ne change rien de la géometrie! 3. Nous avons appris que c est toujours possible de choisir les coordonnées tel que à un événement P d une variété pseudo-riemannienne le tenseur métrique est celle de la relativité restreinte. Pourquoi étudier la relativité générale (dans laquelle le tenseur métrique est beaucoup plus compliqué)? Réponse : C est uniquement localement qu on peux avoir le tenseur métrique égale à celle de la relativité restreinte. Ce n est pas possible d avoir

2 Relativité Générale 2 un référentiel inertiel globale quand la gravité est importante. 4. Donner un argument pour la symétrie du tenseur métrique utilisant la définition du produit scalaire entre deux quadri-vecteur contravariants. Réponse : g( A, B) A B = B A g( B, A) 5. Qu est-ce-que c est le flux d une chose dans la direction de temps? Il y a un mot qui décrit ceci. Réponse : La densité de la chose. 6. Est-ce-que le tenseur métrique, qui décrit l espace-temps autour de la terre, est statique? Dire oui ou non, et avec un seule phrase (très bref) pourquoi. Réponse : Non, parce que la terre tourne. 2 Questions quantitatives traduction en français disponible en demand (2 points each) 1. Using the Lorentz transformation of a velocity boost in the x-direction, find the equation for the curve t = x in terms of (t, x). The speed of a particle that follows such curves is that of light! Thus we have shown that

3 Relativité Générale 3 in both the original and boosted coordinate systems the speed of light is the same. See my manual, TA version, Supplementary Problem 1.4, (that is, SP1.4). 2. Prove that the Lorentz transformation, which is linear by construction, transforms lines to lines. See my manual, TA version, Supplementary Problem 1.4, (that is, SP1.6). 3. (a) Compute the four-velocity components in O of a particle whose speed in O is v in the positive x direction, by using the Lorentz transformation from the rest frame of the particle. Réponse : See Solution to Chapter 2, question 15 in my manual, TA version. (b) Generalize this result to find the four-velocity components when the particle has arbitrary 3-velocity v, with v < 1. (c) Use your result in (b) to express v in terms of the components {U α }. (d) Find the three-velocity v of a particle whose four-velocity components are (2, 1, 1, 1). 4. Let p O (1, 1, 0, 0) q O ( 1, 0, 1, 0) be two one-forms (or dual vectors ). Prove by trying two vectors A and B as arguments, that p q q p. Then find the components of p q. Réponse : See Solution to Chapter 3, question 14 in my manual, TA version.

4 Relativité Générale 4 5. From the definition f αβ = f( e α, e β ) for the components of a ( 0 2) tensor, prove that the transformation law is fᾱ β = f αβ Λ α ᾱ Λ β β Réponse : See Solution to Chapter 3, question 32 in my manual, TA version. 6. A straight line on a sphere is a great circle, and it is well known that the sum of the interior angles of any triangle on a sphere whose sides are arcs of great circles exceeds 180. Show that the amount by which a vector is rotated by parallel transport around such a triangle (as in Schutz Fig. 6.3) equals the excess of the sum of the angles over 180. Réponse : See Solution to Chapter 6, question 10 in my manual, TA version. 3 And finally some GR! (4 points each) 1. Calculate one of the Christoffel symbols (you choose which one) for the metric given by, ds 2 = (1 + 2φ)dt 2 + (1 2φ)dx 2 + (1 2φ)dy 2 + (1 2φ)dz 2 Schutz Eq. (7.8) (1) to first order in φ(t, x, y, z) (so find the general expression and then use the binomial series approximation and finally keep only terms to first order). Assume φ is a general function of t, x, y, and z.

5 Relativité Générale 5 Réponse : See Solution to Chapter 7, question 3 in my manual, Student version. ( me if the solution is not in the version you have!) 2. In studying a subtle subject like GR it is easy to loose track of the physical meaning of the quantities involved. Consider the general line element ds 2 = g αβ dx α dx β Fix the time-like coordinate, dx 0 = 0, and spatial part of the line element gives what will be called proper distant in Schutz Chapter 9, consistent with the term propre volume element introduced in Schutz Eq. (6.18) for the volume element physically measured by rods and clocks at some event P, see also proper length in SR. Proper distance is sometimes called ruler distance to emphasize its relation to distance measured with local rulers (Rindler, 2001, 11.5). Use this consept to argue that the speed of light is always c = 1 when measured by a local observer. Réponse : See Solution to Chapter 7, SP7.6 in my manual, Student version. ( me if the solution is not in the version you have!) Références Rindler, W. (2001), Relativity : Special, General and Cosmological, Oxford University Press, Oxford, UK.