Chapitre 4 Lois discrètes

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1 Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec p ] 0 ; 1 [. Ue variable aléatoire de Beroulli illustre toute expériece aléatoire ayat que deux issues possibles et effectuée ue seule fois. Traditioellemet le «succès» correspod à la valeur 1 et l «échec» à la valeur 0. E(X) = 1.p + 0.(1 p) = p V(X) = (0 p) 2 (1 p) + (1 p) 2 p = p (1 p) E résumé E(X) = p et V(X) = pq. 2. Loi biomiale B( ; p) 2.1. L expériece de référece stadard 2.2. Les résultats de base Ue ure cotiet deux catégories de boules : des blaches e proportio p et des oires e proportio 1 p. O effectue tirages successifs d ue boule avec remise. O appelle X le ombre de boules blaches obteues au cours de cette expériece. Loi de X : P(X = ) = C p (1 p), = 0;1;... ;. Espérace, écart-type. X peut être cosidérée comme la somme de variables de Beroulli X i où X i = 1 si la boule tirée au i-ème tirage est blache et X i = 0 sio. O a, pour tout i {1 ; 2 ; ; }, P(X i = 1) = p et P(X i = 0) = 1 p = q. E(X) = E Xi = E(X i) = p i= 1 i= 1 Les variables aléatoires X peuvet être cosidérées comme idépedates. Doc : V(X) = V Xi = ( V(X i) ) = pq. i= 1 i= 1 i 27/47

2 2.3. Fréquece biomiale X suit la loi B( ; p). X 1 1 pq La fréquece est la variable F = d'où E(F) = E(X) = p et V(F) = V(X) =. 2 E résumé : X suit la loi ( ; p). B P(X = ) = C p (1 p), = 0;1;... ; E(X) = p V(X) = pq σ (X) = pq X pq pq F = E(F) = p V(F) = σ (F) = 3. Loi Hypergéométrique H(N ; ; p) 3.1.Le modèle Ue ure cotiet deux catégories de boules : des blaches e proportio p et des oires e proportio q = 1 p. Si N est le ombre de boules das l ure, il y a N p boules blaches et N(1 p) boules oires. O effectue tirages successifs d ue boule sas remise. O appelle X le ombre de boules blaches obteues au cours de cette expériece. O sait que ce type de tirage est équivalet à u tirage exhaustif de boules. Ceci est à rapprocher du prélèvemet d u échatillo de boules das l ure La loi Np CN (1 p) C N C N [0 ; ], P(X = ) = ; E( X) = p ; V( X) = pq N 1 O peut remarquer que H(N ; ; p) et B( ; p) ot même espérace N mathématique. La variace e diffère que du coefficiet d exhaustivité N Covergece e loi O motre que, pour et p fixés et pour X N suivat H(N ; ; p), X N coverge e loi vers ue variable X qui suit B( ; p). C est-à-dire lim P(X = ) = P(X = ) N + L itérêt est éorme : si N est grad et petit par rapport à N, o peut remplacer la loi hypergéométrique (qui déped de trois paramètres) par la loi biomiale qui e déped que de deux paramètres et pour laquelle il existe des tables. E pratique, si < 0,1 N, o cosidère qu u tirage exhaustif (tirage u à u sas remise) est équivalet à u tirage o exhaustif (tirage u à u avec remise). N 28/47

3 4. Loi de Poisso 4.1.Le cadre d itervetio C est ue «loi limite». O verra que, sous certaies coditios, ue loi de Poisso est limite d ue loi biomiale. Das la pratique ue telle loi est utilisée pour approcher et décrire des phéomèes où les coditios d applicatio de la loi biomiale sot réuies (répétitios idépedates d ue même épreuve dichotomique), où la probabilité du cas favorable est faible et où le ombre d épreuves est grad La loi La variable aléatoire X suit la loi de Poisso de paramètre λ ( λ>0) lorsque : X a pour esemble de valeurs λ λ P(X = ) = e ( = 0 ;1 ;... ; ;...)! + + Alors : E(X) = P( X = ) =λ V(X) = ( λ ) P(X = ) =λ = 0 = /47

4 4.3. Extraits des tables de la loi de Poisso fouris lors les épreuves de BTS -l l P( X = ) = e. ; E( X) = V( X) =l! \λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0, ,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0, ,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0, ,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0, ,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0, ,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0, ,0000 0,0000 0, \λ 1 1, ,368 0,223 0,135 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0, ,368 0,335 0,271 0,149 0,073 0,034 0,015 0,006 0,003 0,001 0, ,184 0,251 0,271 0,224 0,147 0,084 0,045 0,022 0,011 0,005 0, ,061 0,126 0,180 0,224 0,195 0,140 0,089 0,052 0,029 0,015 0, ,015 0,047 0,090 0,168 0,195 0,175 0,134 0,091 0,057 0,034 0, ,003 0,014 0,036 0,101 0,156 0,175 0,161 0,128 0,092 0,061 0, ,001 0,004 0,012 0,050 0,104 0,146 0,161 0,149 0,122 0,091 0, ,000 0,001 0,003 0,022 0,060 0,104 0,138 0,149 0,140 0,117 0, ,000 0,000 0,001 0,008 0,030 0,065 0,103 0,130 0,140 0,132 0, ,000 0,000 0,003 0,013 0,036 0,069 0,101 0,124 0,132 0, ,000 0,001 0,005 0,018 0,041 0,071 0,099 0,119 0, ,000 0,002 0,008 0,023 0,045 0,072 0,097 0, ,000 0,001 0,003 0,011 0,026 0,048 0,073 0, ,000 0,001 0,005 0,014 0,030 0,050 0, ,000 0,000 0,002 0,007 0,017 0,032 0, ,000 0,001 0,003 0,009 0,019 0, ,000 0,001 0,005 0,011 0, ,001 0,002 0,006 0, ,000 0,001 0,003 0, ,000 0,001 0, ,001 0, ,000 0, ,000 30/47

5 4.4. Quelques exemples Exercice 1 Das ue certaie usie il se produit, e moyee, ciq accidets par a. O suppose que le ombre d'accidets suit ue loi de Poisso. Calculer la probabilité pour qu'il e dépasse pas sept. Quelle est la probabilité d'avoir ue aée sas accidet? Solutio La variable aléatoire X égale au ombre d'accidets suit ue loi de Poisso de paramètre λ = 5. = P( X 7) = e 0,87! = P( X = 0) = e 6,7 10 Exercice 2 Pour ue femme ayat eu etre 50 et 52 as e l'a 2000, le ombre d'efats, oté X, suit ue loi de Poisso de paramètre icou λ. U échatillo de de ces femmes doe 135 femmes sas efat. 1. Doer ue estimatio de λ. 2. Estimer la proportio de ces femmes ayat plus de trois efats. Solutio Si o admet que l'échatillo est représetatif de la populatio, o a P(X = 0) = e l 0,135. Doc λ l(0,135) λ P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 e λ λ 1+λ+ + 0, Parmi les femmes qui ot eu etre 50 et 52 as e l'a 2000, il y e a doc eviro 145 sur 1000 qui ot plus de trois efats Loi biomiale et loi de Poisso Soit (X ) ue suite de variables aléatoires suivat la loi B( ; p ) avec lim p + Alors (X ) coverge e loi vers ue variable de Poisso P(λ). E pratique : Soit X ue variable aléatoire biomiale de paramètres et p. Si 30, p 0,1 et p < 15 alors X suit approximativemet la loi de Poisso de paramètre p. = λ. 31/47

6 Exemple 1 Ue usie fabrique des CD ROM e quatité importate. Ue étude statistique a motré que 2 % de ces CD étaiet défectueux. Pour effectuer u cotrôle de fabricatio, o prélève au hasard 150 CD. O ote X le ombre de CD défectueux das cet échatillo. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? E préciser les paramètres. 2. Par quelle loi de probabilité peut-o approcher la loi de X? Calculer P(X > 3) Solutio 1. Soit N est le ombre total de CD produits. L étude statistique motre que 2% des CD sot défectueux. O prélève u échatillo de 150 CD. Le ombre de CD défectueux das l échatillo suit doc la loi Hypergéométrique H(N ; 150 ; 0,02). Mais d ue part N est grad et d autre part o peut cosidérer que 150 est petit par rapport à N (< 0,1 N). Das ces coditios o peut assimiler le prélèvemet des 150 CD à u prélèvemet u à u avec remise et doc cosidérer que les 150 CD sot prélevés idépedammet les u des autres. X suit doc, à peu de choses près, la loi biomiale de paramètre = 150 et p = 0, est grad ( 30), p est faible ( p 0,1) et p = 3 est iférieur à 15. O peut doc utiliser la loi de Poisso de paramètre 3 comme approximatio. P( X > 3) 1 P( X = 0) P( X = 1) P( X = 2) P( X = 3) e , Exemple 2 O suppose qu ue ure cotiet 1 boule blache et 99 boules oires. O effectue tirages successifs d ue boule avec remise. Détermier pour que la probabilité de tirer au mois ue fois la boule blache soit supérieure ou égale à 0,95. Solutio Soit X la v.a. égale au ombre de fois où o tire la boule blache au cours de tirages. X suit B( ; 0,01). P( X 1) = 1 P( X = 0) = 1 0,99 Si o veut que P(X 1) 0,95, il faut (0,99) 0,05, soit i.e. 298,1 et doc 299. l(0,05) l(0,99) Il faut doc effectuer 299 tirages au mois pour être sûr, à 95 %, d avoir au mois ue boule blache. Calcul approché est grad, p est faible. O essaye d approcher X par ue variable de Poisso de paramètre. P( X 1) = 1 P( X = 0) = 1 e Doc, pour avoir P(X 1) 0,95, il faut e 100 0,05, soit 100.l(0,05) Doc 299,6 et par suite /47

7 4.6. Processus de Poisso Soit T ue période de temps que l'o subdivise e itervalles d'égale amplitude t. O a doc T = t. Si, à l'itérieur de chacu de ces itervalles, la probabilité qu'u évéemet A se produise est costate et égale à p, Si, de plus, o admet que l'évéemet A e peut se produire qu'au plus ue fois à l'itérieur de chaque itervalle, o dit alors que la réalisatio de l'évéemet A est u processus de Poisso. Exercice U stadard téléphoique reçoit, e moyee, 2 appels par miute. Les appels sot répartis au hasard das le temps. 1. Expliquer pourquoi le fait de recevoir u appel téléphoique peut être cosidéré comme u processus de Poisso. Préciser le paramètre de cette loi. 2. Quelle est la loi de probabilité régissat le ombre d'appels reçus e 4 miutes? Calculer la probabilité pour que ce ombre d'appel dépasse 10. Solutio 1. O peut fractioer la miute T e itervalles d ue secode t. Alors = 60 et t = 1. O admet alors que, chaque secode, la probabilité de recevoir u appel est 2 1 costate : p = = O admet aussi que, chaque secode, il e peut se produire au plus qu u appel et que, d ue secode sur l autre, les appels sot idépedats. Le fait de recevoir u appel est alors u processus de Poisso. Si X désige le ombre d appels reçus e ue miute, o peut cosidérer qu à chaque secode : le stadard reçoit u appel avec la probabilité avec la probabilité 29 q = 30 1 p = et qu il e reçoit pas 30 1 X suit la loi biomiale B 60 ; d espérace mathématique 2. Cette loi 30 peut être approchée par ue loi de Poisso de paramètre Sur ue période de quatre miutes, le partage e 240 secodes coduit à la 1 loi biomiale B 240 ; d espérace mathématique 8, ce qui permet ecore 30 ue approximatio par la loi de Poisso de paramètre 8. Si Y est la variable aléatoire qui suit la loi de Poisso de paramètre 8, o lit das la table que : P(Y 10) = 1 P(Y 9 0, NB : Si o utilise directemet la loi biomiale B 240 ;, o obtiet 0, /47