OSCILLATIONS LIBRES D UN PENDULE ELASTIQUE

Transcription

1 Prérequis OSCILLATIONS LIBRES D UN PENDULE ELASTIQUE * Encadrer l expression de l énergie cinétique m v v m Ec = Ec = Ec = mv * Cocher les facteurs dont dé pond l énergie potentielle élastique d un système {solide ressort} la masse la constante de raideur la longueur du ressort la déformation du ressort l altitude par rapport à la terre. k (l l ) * Pour un ressort la loi de Hooke est : T = k(l l ) T = T = (l l ) k * la loi horaire d un mouvement rectiligne sinusoïdal est : x = v.t + x ; x = a.t + v.t.x ; x = X msin( ω t +ϕ ) Mise en situation Un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps. Un oscillateur harmonique est un oscillateur dont l'évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale et dont la fréquence ne dépend que des caractéristiques du système. Parmi les exemples les plus courants, le pendule élastique du pendule de coucou, une fois la figurine est écarté de sa position en équilibre, elle continue à osciller sans s arrêter. Pendule élastique. Pourquoi les oscillations de la figurine ne s arrêtent pas?. Quelles sont les énergies qui se manifestent au cours du mouvement de la figurine? Comment évoluent elles au cours du mouvement? Mon hypothèse : Evolution de systèmes Oscillations libres d un pendule élastique

2 I. OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIS D UN PENDULE ELASTIQUE I.. Eude expérimental Activité. A l aide d un dispositif informatisé, on enregistre le mouvement du centre d inertie G d un pendule élastique horizontal formé d un ressort de constante de raideur K et d un solide (chariot) de masse m. Initialement le solide est au repos sur un banc à coussin d air, à l origine de date on l écarte d une distance a= cm et on l abondonne à lui-même ; le dispositif d enregistrement donne la graphe de la figure. Vers système -, - Figure - Pourquoi utilise t-on un banc à coussin d air dans se dispositif? Trajectoire et nature du mouvement. a. Quelle est nature de la trajectoire du centre d inertie G du solide? b. Le mouvement du centre d inertie G est-il amorti? c. Quelle est la natures du mouvement du centre d inertie G du solide? Caractéristiques et loi horaire du mouvement. Déterminer : a. La période T, la fréquence N et la pulsation ω du mouvement. b. L amplitude du mouvement. c. L amplitude et la phase initiale, dépendent-elle uniquement des conditions initiales? ou bien de la masse et de la constante de raideur du ressort? d. La phase initiale du mouvement. ϕ x e. Déduire l expression de l élongation instantanée du mouvement. La vitesse du centre d inertie a. Monter que la vitesse instantanée du centre d inertie s écrit : v(t) = Vmsin( ω t + ϕ v ) b. Ecrire l expression numérique de la vitesse instantanée du solide. c. Représenter l allure de la variation au cours du temps de la vitesse instantanée du centre Evolution de systèmes Oscillations libres d un pendule élastique

3 I.. Etude théorique des oscillations libres non amorties Activité. On écarte le centre d inertie G d un pendule élastique formé par ressort de constante de raideur K et d un solide de masse m d une distance d et on l abandonne à lui-même. A une date quelconque on désigne par M la position du centre d inertie G dans un repère (O,i), telle que OM = xi. - a. Représenter le bilan des forces qui s exercent sur x O x le solide lorsque son centre d inertie occupe la position M. b. Rappeler l expression de la tension du ressort, et i déduire son expression en fonction de l élongation x du centre d inertie du solide à l instant t. - a. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au système formé par le solide dans un repère lié au laboratoire, et déduire l équation différentielle du mouvement du centre K b. Sachant que ω =, vérifier que x(t)=x m sin( ω t +ϕx) est la solution de l équation m différentielle. 3- a. Ecrire l expression de la période propre et de la fréquence propre du mouvement du centre b. Application : La masse du solide de l activité est m=g. Déterminer la constante de raideur du ressort. I.3. Etude énergétique des oscillations libres non amorties d un pendule élastique On se propose d étudier l énergie mécanique E du système (S) formé par le solide et le ressort ; S={solide + ressort}.. Quelles sont les énergies mises en jeux au cours du mouvement du système (S)?. Etude de l énergie cinétique : a. Rappeler l expression de l énergie cinétique? b. Ecrire en fonction du temps l expression de l énergie cinétique et montrer qu elle s écrit sous la forme : Ec = KX m[ + cos ( ω t +ϕ x)] 4 c. Déduire la période des oscillations de l énergie cinétique. 3. Etude de l énergie potentielle élastique du système (S): a. Rappeler l expression de l énergie potentielle élastique? b. Ecrire en fonction du temps l expression de l énergie potentielle élastique. c. Déduire la période des oscillations de l énergie cinétique. 4. Etude de l énergie mécanique du système (S): a. Monter que quelque soit t au cours du mouvement l énergie mécanique du système (S) se conserve. b. Représenter en fonction du temps et dans le même graphe les énergies E c (t) ; Ep(t) et E(t). c. Représenter en fonction de l élongation x et dans le même graphe les énergies E c (x) ; Ep(x) et E(x). d. Déduire une interprétation de la conservation des oscillations au cours du temps. Evolution de systèmes Oscillations libres d un pendule élastique 3

4 II. OSCILLATIONS LIBRES AMORTIS D UN PENDULE ELASTIQUE II. Etude expérimental Activité. On réalise deux expériences : à l aide d un dispositif informatisé, on enregistre le mouvement du centre d inertie G d un pendule élastique horizontal formé d un ressort de constante de raideur K et d un solide (chariot + plaque ) de masse m. Initialement le solide est au repos sur un banc à coussin d air, à l origine de date on l écarte d une distance a= cm et on l abondonne à lui-même ; le dispositif d enregistrement donne la graphe de la figure. Expérience n Vers système Expérience n Vers système Plaque Liquide visqueux - A B,,,3,4,5,6,7,8 - Figure - Quelle est le rôle de la plaque fixée sur le chariot? - Etude de l enregistrement : a- Préciser pour chaque enregistrement la valeur de la pseudo-période. b- Quelle est la nature du mouvement du centre d inertie G du solide? Justifier? c- En justifiant la réponse attribuer à chaque expérience l enregistrement correspondant. 3- Les frottements visqueux appliquée aux solide au cours de son mouvement sont représenter par une force f = h. v, ou h est une constante appelée «coefficient de viscosité ou de frottement» et v la vitesse instantanée du solide. a- Comparer le coefficient de frottement h dans les deux expériences? b- La force de frottement garde-t-elle une valeur constante aux cours du mouvement? c- Représenter sur la figure 3 l allure de la courbe donnant les variations de la vitesse au cours du mouvement. Déduire (sur la figure 3) la représentation de l allure de la force de frottement au cours du mouvement. d- Pour obtenir un mouvement fortement amorti, faut-il augmenter le coefficient de frottement h ou la vitesse du centre d inertie du solide? Justifier. e- Représenter sur votre copie la courbe x=f(t) si le mouvement est fortement amorti. Donner le nom de se régime. Evolution de systèmes Oscillations libres d un pendule élastique 4

5 4- Etude énergétique de l expérience On donne m= g et K= N.m -. a- Calculer aux instants t = s et t = une pseudo-période l énergie mécanique du système (S)={solide,ressort}. b- Vérifier si le système (S) est conservatif? v(..) A,,,3,4,5,6,7,8 Figure c- Sur la figure 4 identifier la courbe Ec(t), Ep(t) et tracer l allure de E(t). Figure 4 II. Etude théorique. - Equation différentielle régissant le mouvement du centre a- Donner hormis la réaction du plan, l expression de la mesure algébrique des forces extérieures qui s exercent sur le système formé par le solide. b- Etablir en fonction de l élongation l équation différentielle régissant le mouvement du centre c- Vérifier que x(t)=x m sin( ω t +ϕ), n est plus solution de l équation différentielle? - La non conservation de l énergie mécanique du système (S)={solide, ressort}. a- Donner l expression de l énergie mécanique du système (S). de b- Montrer que = hv. Conclure quant à la conservation de l énergie mécanique dt du système. III.3 Analogie mécanique électrique. Evolution de systèmes Oscillations libres d un pendule élastique 5