Chapitre 16 : Espaces vectoriels

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1 PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme ul alors P (X)=et P()=, aisi P(X)=XP (X)+P() doc F et aisi F =. Soiet(P,Q) F et λ R alors Posos R=λP+Q alors P(X)=XP (X)+P() et Q(X)=XQ (X)+Q() R(X) = λp(x)+q(x)=λ(xp (X)+P())+XQ (X)+Q() = X(λP+Q) (X)+(λP+Q)()=XR (X)+R() Aisi R F. Ceci prouve que F est bie u sous-espace vectoriel de E. Exercice type Soit E=M (R), soit A E fixé et F ={M E, AM= MA}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. Applicatio : détermier F si A =. : O a bie F E et si M= est la matrice ulle, alors AM= MA= doc F et aisi F =. Soiet (M,N) F et λ R alors AM = MA et AN = NA O pose P = λm+n alors AP = A(λM+N)=λAM+AN = λma+na=(λm+n)a=pa, aisi P F, ce qui prouve que F est u sous-espace vectoriel de E. a b a b a b Das le cas oùa=, sim = alorsam= MA = c d c d c d b c a+b d =. O obtiet alors a c d b+c d où b c= a+b d= a c d= b+c= c= b b+d b a= b+d M = b d F =Vect O peut vérifier que F =Vect(I,A), e effet A=, =. Exercice type Soit E=C (R,R) l espace vectoriel des foctios derdasret de classec. Motrer que F = f E, x R, +x f (x)+f (x) f(x)= est u sous-espace vectoriel de E. /8 G H

2 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : Par défiitio de F, o a F E (les élémets de F sot des foctios de E). Puis F =, la foctio ulle est das F, e effet si f = alors x R, f(x)=f (x)=f (x) et aisi +x f (x)+f (x) f(x)=. Soiet f et g das F,(λ,µ) R, a-t-o λf+µg E. f F x R, g F x R, +x f (x)+f (x) f(x)= +x g (x)+g (x) g(x)= Posos h=λf+µg, alors h = λf +µg et f = λf +µg aisi, x R +x h (x)+h (x) h(x) = +x (λf (x)+µg (x))+(λf (x)+µg (x))+(λf(x)+µg(x)) = λ +x f (x)+f (x) f(x) +µ +x g (x)+g (x) g(x) = λ +µ car f F et g F Ce qui prouve que h F. L esemble F est bie u sous-espace vectoriel de E. Exercice type 4 Soit E=R [X] et F = doer ue famille géératrice. P E, P()= et : Soit P = a +a X+a X +a X u élémet de E, alors P()=a = P F P(t)dt=a + a + a + a 4 = a = a = a a (a,a ) R, P = P(t)dt=. Motrer que F est u sous-espace vectoriel de E et e où a et a sot quelcoques dasr a a X+a X +a X (a,a ) R, P = a X X +a X X O a doc prouvé que F =Vect(P,P ) où P = X X et P = X X E particulier F est u sous-espace vectoriel (comme tout vect dige de ce om!) et(p,p ) egedre F. Remarque : O a même ue base car la famille est écheloée e degré doc libre. Exercice Soit E = R 4, o ote a = 7 5 G=Vect(c,d), motrer que F = G., b =, c = 5 et d =. O pose F = Vect(a,b) et : Motros que F G. Il suffit de prouver que a et b sot das G, i.e. qu ils sot combiaisos liéaires de c λ+µ= 5λ+µ=7 et de d. Pour a, o cherche λ et µ réels tels que a=λc+µd. Ceci doe le système λ=µ=. λ µ= λ µ= 5 /8 G H

3 PCSI Préparatio des Khôlles -4 α+β= 5α+β= O cherche esuite α et β réels tels que b=αc+βd, ce qui doe α β= α β= prouver que G F. Mais o a motré que a=c+d b=c d c= a+b d= a b = (c,d) F = G F α=et β =. Il reste à Exercice type 5 Soit E=R, o pose F ={(x,y,z) E, x+y z=} et G=Vect(,,). Motrer que F est u sous-espace vectoriel et que E= F G. : O a (x,y,z) F (x,y,z)=(x,y,x+y)=x(,,)+y(,,), aisi F =Vect((,,),(,,)) est ue sous-espace vectoriel der. O va motrer que E = F G. Soit u = u = f + g de maière uique où f F et g G. Puisque f F (λ,µ) R, f = λ +µ motrer qu il existe u uique triplet(λ,µ,α) tel que λ +µ +α = a b c et g G α R, g = α a b c α+λ=a α+µ=b α+λ+µ=c R, o cherche à décomposer, o cherche à O résout doc le système par les matrices : a b c L L L L a b a c a Le système admet doc toujours ue uique solutio. Aisi E= F G. Remarque : Si o termie la résolutio, o a α=a+b c, λ=c b et µ=c a, ce qui doe la décompositio a b c = (c b) = c b c a c b a f +(c a) + a+b c a+b c a+b c g +(a+b c) Exercice type 6 Soit E=R[X], o pose F ={P E, P()=P ()=} et G=R [X], motrer que F u sous-espace vectoriel de E, puis que E= F G. /8 G H

4 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : O a bie F E, le polyôme ul est clairemet das F doc F =. Puis si(p,q) F et λ R, avec R=λP+Q, o a R()=λP()+Q()= et R ()=λp ()+Q ()= car P et Q sot das F. Aisi F est u sous-espace vectoriel de E. Motros que la somme est directe. O a déjà F G. Soit Q F G alorsdegq car Q G. O peut écrire Q=aX+b. Puis Q()=b= et Q ()=A= car Q F. Coclusio Q= et F G=. Motros que E= F+G par aalyse sythèse. O a déjà F+G E. Aalyse : Soit A E, o suppose que A=P+Q où P F et Q G. O adegq, o écrit doc Q=aX+b. Puis O a doc P = A Q F P()=A() b= et P ()=A () a= Q=A ()X+A() et P = A Q (Au passage, cela prouve l uicité de la décompositio doc la somme directe). Sythèse : Si Q=A ()X+A() et P = A Q, alors Q G, P F et A=F+G. Aisi E F+G et E= F G. Exercice type 7 Soit F = u R N, N, u + = u + +u et G= u R N, N, u + =u + +u. Motrer que F et G sot des sous-espaces vectoriels de R N, l espace vectoriel des suites réelles. Motrer que si u F G, alors u est costate e déduire que la somme F+G est directe. : L équatio caractéristique d ue suite de F est r r =. Ses racies sot r = et r = +. Aisi u F (C,C ) R, N, u = C r +C r Posos R = (r ) et R = (r ), alors R et R sot des vecteurs de F (pour R, predre (C,C ) = (,), R correspod doc au vecteur i ), et l o a motré que F =Vect(R,R ) O procède de même avec G (puisque r r = a pour racies ρ =+ et ρ = ), o pose T =(ρ ) et T =(ρ ), alors G=Vect(T,T ). Ceci prouve que F et G sot bie des sous-espaces vectoriels der N. Soit u F G, alors N, u + = u + +u =u + +u = u + +u =u + +u = u + = u. La suite est bie costate. Mais alors, u + = u + = u, ce qui doe, pusique u F La somme F G est doc directe. N, u = u +u =4u = u = Exercice type 8 Soit E =F(R,R) l espace vectoriel des foctios de R das R, o ote P l esemble des foctios de E paires et I l esemble des foctios de E impaires. Motrer que P et I sot des sous-espaces vectoriels de E supplémetaires. Applicatio : Détermier les foctios f dérivables deux fois surret telle que x R, f (x)+f( x)=x. : O ap={f E, x E, f(x)=f( x)} eti={f E, x E, f(x)= f( x)}. O ap E eti E (les élémets de P et I sot des foctios de E). La foctio ulle (qui est le vecteur ul de E) est à la fois paire et impaire doc est dasp eti (si x R, f(x)=, alors f(x)=f( x)= f( x)). Efi, soiet f et g dasp et(λ,µ) R, posos h=λf+µg, alors, puisque f et g sot paires h( x)=(λf+µg)( x)=λf( x)+µg( x)=λf(x)+µg(x)=h(x) 4/8 G H

5 PCSI Préparatio des Khôlles -4 ce qui prouve que h P. Si f et g sot dasi, o a h( x)=(λf+µg)( x)=λf( x)+µg( x)= λf(x) µg(x)= h(x), ce qui prouve que h I. O a motré quep eti sot des sous-espaces vectoriels de E. Sot-ils supplémetaires? La somme est directe : E effet soit f P I, alors x R, f( x)=f(x)= f(x) car f est paire et impaire, d où f(x)= f(x)= f(x)=. Le seul vecteur de l itersectio est le vecteur ul P I=, la somme est directe La somme F+G est égale à E : Il s agit de prouver que toute foctio f E peut s écrire sous la forme g+h où g P et h I. O procède par aalyse-sythèse. Aalyse : Si f = g+h avec g P et h I alors, x R f(x)=g(x)+h(x) et f( x)=g( x)+h( x)=g(x) h(x) D où g(x)= f(x)+f( x) Sythèse : O défiit g et h par g(x) = f(x)+f( x) et h(x)= f(x) f( x) et h(x) = f(x) f( x). Il est clair que g P, h I et f= g+h. Remarque : Lors de l aalyse, o a prouvé que g et h sot uiques, ceci re-démotre que la somme est bie directe. Pour l applicatio, o pose f = g+h avec g paire et h impaire. Puisque f est dérivable deux fois, x f( x) aussi et aisi g et h sot dérivables deux fois. De plus puisque g(x)=g( x), e dérivat o a g (x)= g ( x). La dérivée de g paire est doc impaire et de même la dérivée d ue foctio impaire est paire. E dérivat deux fois, o a g et h paires. O a alors f (x)+f( x)=g (x)+h (x)+g(x) h(x)=(g (x)+g(x))+(h (x) h(x))=x Aisi puisque x est impaire, par uicité de la décompositio, o a pour tout x R. g (x)+g(x)= et h (x) h(x)=x O résout les deux équatios différetielles pour avoir g(x)=acosx+bsix et h(x)=cchx+dshx x. Mais puisque g est paire et h impaire, o a B= C= Coclusio f(x)=acosx+dshx x où(a,d) R. Exercice type 9 DasR 4, motrer que la famille formée des vecteurs u =, v = et (w= est libre. : O amat Bc ( u, v, w)=. La famille est doc libre. C C C C C C est de rag Exercice type DasC (R), soit f,g et h les foctios défiies par f(x)=cosx, g(x)=six et h(x)=e x. Motrer que(f,g,h) est ue famille libre. 5/8 G H

6 PCSI Préparatio des Khôlles -4 : Soiet(α,β,γ) R tel que αf+βg+γh=. Première méthode : O a doc x R, αcosx+βsix+γe x =. O spécialise e trois valeurs der, pour x=, x= et x=, o obtiet le système α+γ= β+γe = β+γe = La matrice de ce système est e e L +L e ch est de rag, ce système admet doc ue uique solutio qui est clairemet α=β= γ=. Deuxième méthode : La foctio x αcosx+βsix+γe x est doc la foctio ulle. Or si l o calcule le DL à l ordre ede cette foctio, o obtiet α x +βx+γ Par uicité du DL, o obtiet alors α+γ= β+γ= α γ= +x+ x + o x =+ o x x x coefficiet costat coefficiet e x coefficiet e x α=β= γ= Troisième solutio : La foctio x αcosx+βsix+γe x est doc la foctio ulle, doc, e divisat par e x γ+αe x cosx+βe x six= Or si γ=, puisque αe x cosx+βe x six (borée ted vers), o a x + γ+αe x cosx+βe x six Aisi γ=. Puis avec x=, α= et avec x= o coclut que β=. x + γ. Exercice Das F(R, R) les familles suivates sot-elles libres? B = x si k (x) k. B = x cos k (x) k. B =(x si(kx)) k. B 4 =(x cos(kx)) k. : Pour mémoire la foctio f (x) est la foctio costate égale à. PourB oub, soiet(λ,,λ ) R + tel que x R, λ k si k (x)= k= Si l o pose P = k= λ kx k, o e déduit que pour x=arcsiθ où θ [,+], o a P(si(arcsiθ))=P(θ)=. Aisi, le polyôme P admet ue ifiité de racie doc a tous ses coefficiets uls. Ceci sigifie que λ = =λ =. La familleb est libre. O procède de même, si x R, k= λ kcos k (x)= e posat x=arccosθ, la familleb est libre. PourB, la foctio x si( x) est la foctio ulle. La familleb est liée car elle cotiet le vecteur ul. PourB 4, soiet(λ,,λ ) R + tel que Soit p {,,} alors = x R, λ k cos(kx)= k= λ k cos(kx) cos(px)dx= k= λ k cos(kx)cos(px)dx k= 6/8 G H

7 PCSI Préparatio des Khôlles -4 Mais Aisi cos(kx)cos(px)dx = = p {,,}, [cos((k+p)x)+cos((k p)x)]dx si((k+p)x) k+p + si((k p)x) k p si((k+p)x) + k+p = λ p = et la famille est libre. si k= p = si k= p Exercice type Doer ue base de F = (x,y,z) R, x y+z=. : O a F =Vect,, car x y z F x y z = x x+z z avec(x,z) R. La famille est géératrice de F et libre (deux vecteurs o coliéaires de F), c est ue base de F. Exercice DasR 4, soiet a,b,c et d les vecteurs défiis par a=, b=, c= α, d= Préciser si la famille(a,b,c,d) est libre ou liée, das le derier cas doer ue relatio de dépedace. : O a C α C +C C C C (α+)c α C +C C αc α C 4 C C C +C 4 (α+)c α C C +C C C (α+)c α C 4 +C C Si α=, la famille,, α, α est libre car le rag est égal à4(et(a,b,c,d) est ue base der4 car 7/8 G H

8 PCSI Préparatio des Khôlles -4 il y a4vecteurs). Si α=,la famille(a,b,c,d) est liée car de rag est égal àet ayat4élémets et la relatio de dépedace liéaire est c b+d 4a= 8/8 G H