Statistiques descriptives à une variable

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1 Statistiques descriptives à une variable Introduction Les statistiques descriptives ont pour but de donner une vision d ensemble d une population à partir de renseignements collectés sur les individus qui la constituent. On organise les données collectées sous forme de tableaux et de graphiques. On calcule des paramètres tels que le mode, la médiane, la moyenne, l écart-type, qui permettent de renseigner sur la population de la manière la plus synthétique possible. Moyenne, écart-type Moyenne La moyenne d une série statistique à caractère quantitatif est un indicateur de centralité (valeur centrale) ou de position. La moyenne est définie par la formule : est l effectif total, les effectifs partiels, les valeurs du caractère dans le cas d une variable discrète, les milieux des classes du caractère dans le cas d une variable continue. On effectue la somme des valeurs de la variable multipliée par l effectif correspondant. Cette somme est ensuite divisée par l effectif total. Si on note la fréquence correspondant à l effectif partiel, alors et la moyenne peut être obtenue avec la formule suivante : Si l on considère le cas d un caractère quantitatif continu, pour calculer la moyenne on détermine d abord les centres de classe. Exemple On a relevé le taux de cholestérol (en cg/l) dans le sang de 300 personnes présentées dans le tableau ci-dessous. Taux [80 ;120[ [120 ;160[ [160 ;200[ [200 ;240[ [240 ;280[ [280 ;320[ [320 ;360[ Centre de classe Effectifs Fréquences Calculer de deux manières différentes la moyenne. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Rappel - Mode C est la valeur du caractère associé à l effectif le plus grand. Dans l exemple précédent la classe modale est [160 ;200[ Propriétés de la moyenne 1) Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors. Cela signifie que s il y a une augmentation uniforme des valeurs de la variable alors la moyenne est augmentée de la même valeur. 2) On considère la série statistique définie par ayant les valeurs avec. Alors Les propriétés 1) et 2) définissent la linéarité de la moyenne. 3) Moyennes partielles Si une série est partagée en deux séries d effectifs N et P et de moyennes et alors la moyenne de la série totale est Exemple Une classe contient 28 élèves. Il y a 18 filles et 10 garçons. La moyenne au contrôle est 11,5 pour les filles et 10 pour les garçons. 1) Quelle est la moyenne de la classe? 2) Au devoir suivant les filles ont 12 de moyenne et la moyenne de la classe est 11. Quelle est la moyenne des garçons? Interprétation de la moyenne La moyenne est un premier indicateur d une série statistique. Elle est très fréquemment utilisée en économie : salaire moyen, PIB/habitant, PNB/habitant La moyenne correspond à une répartition parfaitement égalitaire de la masse à partager. Si dans une entreprise chaque salarié percevait le salaire moyen, la masse salariale resterait la même. C est un indicateur très sensible aux variations des valeurs extrêmes et qui ne rend pas compte des fluctuations de la variable. Par exemple, si dans une entreprise l ensemble des 10 salariés ont un salaire mensuel égal à 2000 euros et le patron a un salaire mensuel de euros, le salaire moyen dans l entreprise est égal à 4091 euros! Remarque La moyenne n est pas en général une valeur prise par la variable. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Écart-type Pour traduire les fluctuations d une variable, on a recours à la notion de variance et d écart-type. La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs du caractère autour de la moyenne. L écart-type est une valeur exprimée dans la même unité de mesure que la variable. Il est donné par la formule où est la variance de la série statistique. Propriété de l écart-type Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors. Cela signifie que l écart-type ne change pas si l on augmente uniformément les valeurs d une série. Exemple Si dans une entreprise, après négociation salariale, les salaires sont augmentés uniformément de 100 euros. Alors, la moyenne des salaires est elle-même augmentée de 100 euros mais la répartition des salaires ne change pas (augmentation uniforme). La dispersion est inchangée donc l écart-type reste le même. Interprétation de l écart-type En général, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne, plus l écart-type est grand. L écart-type est sensible à la variation des valeurs extrêmes du fait de son lien avec la moyenne. Exemples Voici le relevé de notes d un élève de première au cours du premier trimestre dans différentes matières. Histoire Mathématiques ,5 13,5 Anglais SES 11 11, Calculer la moyenne et l écart-type des 4 séries de notes. Interpréter les résultats. La moyenne et l écart-type constituent un premier résumé de la série statistique étudiée N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 Médiane, quantiles Quantiles Les quantiles permettent d étudier la répartition d une série statistique à caractère quantitatif. Ce sont des caractéristiques de position. Médiane La médiane, notée Me, est une valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : 50% dans l un, 50% dans l autre. Me est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 50 % des données. Quartiles Les quartiles, notés, =,, sont 3 valeurs de la variable qui partagent la population en 4 groupes de même effectif. Chaque groupe est en théorie constitué de 25% des effectifs. est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 25 % des données. est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 75 % des données. Déciles Les déciles, notés,,,, sont 9 valeurs de la variable qui partagent la population en 10 groupes de même effectif. Chaque groupe est constitué de 10 % des effectifs. On peut de la même manière définir les 99 centiles qui partagent la population en 100 groupes de même effectif, chaque groupe étant constitué d un centième des effectifs. Écart inter-quantile L écart interquartile est la différence. Il contient au moins 50% des observations. L écart inter-décile est la différence. Il contient au moins 80% des observations. Ces écarts inter-quantiles sont des indicateurs de dispersion des valeurs de la série statistique. Étendue L étendue est la différence entre les deux valeurs extrêmes observées. Interprétation Les quantiles sont de bons indicateurs de la répartition de la population d une distribution statistique. Les intervalles interquartiles et plus généralement inter-quantiles (différence entre la première et la dernière valeur) sont insensibles aux variations des valeurs extrêmes. Ils améliorent la notion d étendue en éliminant les valeurs extrêmes. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 La médiane et l écart interquartile constituent un second résumé d une série statistique. Exercice Un sondage sur un échantillon de mille hommes adultes donne la répartition suivante des pointures : Pointure P Effectif ) Calculer les paramètres suivants: La moyenne P, la médiane M, le mode et l étendue. 2) La direction d une usine de fabrication de chaussures pour hommes veut définir sa stratégie. a) Pour la découpe du cuir, le réglage de la machine nécessite de couvrir toutes les pointures. Quel est le paramètre le plus adapté? b) Quel indicateur fournit la pointure nécessitant un temps maximal d occupation de la machine? 3) a) Les coûts de production sont tels que la direction n envisage que la fabrication pour les pointures représentant au moins 5% de la population. Quelle est alors la nouvelle étendue? Le nouveau mode? b) Quel est le pourcentage de la population qui ne trouvera pas chaussure à son pied? c) Trouver les pointures P 1, P 2 et P 3 qui permettent de répartir les chaussures fabriquées suivant le schéma : Pointure minimale 25% P 1 25% P 2 25% P 3 25% Puis comparer P 2 avec la médiane. Poiture maximale Calcul pratique de la médiane Cas discret On trie les valeurs de la série par ordre croissant, chaque valeur apparaissant le nombre de fois indiqué par son effectif ou bien l on regroupe les valeurs par ordre croissant dans un tableau, chaque valeur étant pondérée par l effectif correspondant. On distingue deux cas suivant que l effectif de la population est pair ou impair : Si l'effectif total est 2n + 1 où n est un entier, la médiane est la valeur classée au rang n+1. Si l'effectif total est 2n où n est entier, la médiane est la valeur classée au rang n. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Exemple Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé de diamètre théorique 25 mm. On contrôle le fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard dans la fabrication. Les mesures des diamètres ont donné les résultats suivants à 0,1 mm près : Diamètre 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9 Effectif Effectifs cumulés croissants Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants. En déduire la médiane et les premier et troisième quartiles. Cas continu Dans le cas d un regroupement par classe des données on détermine la classe médiane. Exemple Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. Montant (en ) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ Effectif La classe médiane est [750 ; 1000[. Dans tous les cas, on peut déterminer graphiquement la médiane en traçant les courbes des effectifs cumulés croissants et décroissants. La médiane est leur point d intersection. y Le tracé de la courbe des effectifs (ou fréquences) cumulés croissants permet aussi de déterminer graphiquement une valeur approchée des différents quantiles D Q1 Med Q3 D9 x N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 Exemple On interroge un groupe de 60 lycéens sur leur temps d écoute quotidien de musique. Les résultats sont les suivants : Temps d écoute en min [0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ total Effectif Fréquence en % Fréquence cumulée croissante en % Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes. Déterminer graphiquement les quartiles. Calcul pratique des quartiles et des déciles Le premier quartile Q1 de la série est la valeur xi dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le deuxième quartile Q2 de la série est la valeur xi dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur xi dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le premier décile D1 de la série est la valeur xi dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le neuvième décile D9 de la série est la valeur xi dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Exemple 4 La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température 14, , , , , ,5 Nombre de fois où cette température a été relevée Effectifs cumulés N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7

8 ;. La médiane est la température correspondant au 49 ième relevé. Soit 16,5 donc le premier quartile correspond au 25 ième relevé soit donc le troisième quartile correspond au 73 ième relevé soit. donc le premier décile correspond au 10 ième relevé soit 15 donc le neuvième décile correspond au 88 ième relevé soit 19 Diagramme en boîte La représentation graphique de la dispersion d une série statistique se fait à l aide de graphiques appelés «boîte à moustaches» ou «box-plot». Pour une catégorie donnée, on construit, en face d un axe permettant de repérer les quantiles de la série étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l intervalle interquartile, la médiane est représentée par un trait. Deux traits repèrent le premier et neuvième décile. Les observations n appartenant pas à l intervalle interdécile sont représentées à l aide de points. (On se contente parfois des valeurs extrêmes). Exercice Un entomologiste a fait des relevés sur la taille de 50 sauterelles adultes. Il obtient les résultats suivants : ) Organiser les relevés dans le tableau des effectifs suivants. Valeurs Effectifs Effectifs cumulés croissants 2) Représenter les données par un diagramme en bâtons N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 8

9 3) Calculer la moyenne de cette série. 4) Déterminer la médiane puis le premier et le troisième quartile. 5) Calculer le premier et le neuvième décile puis tracer le diagramme en boite de la série. Exemples appliqués à l économie Les revenus salariaux des salariés de 25 à 55 ans (en euros 2008) er décile (D1) ème décile (D2) ème décile (D3) ème décile (D4) Médiane (D5) ème décile (D6) ème décile (D7) ème décile (D8) ème décile (D9) Lecture : En 2008, 10 % des individus ont un niveau de vie inférieur à euros. Champ : France métropolitaine, individus dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf- Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux 2005 à Masse des niveaux de vie détenue par les x % les plus riches en % Masse des niveaux de vie détenue par : les 10 % les plus riches 23,4 23,6 23,8 24,3 24,1 24,3 les 20 % les plus riches 37,6 37,6 37,9 38,4 38,2 38,3 les 30 % les plus riches 49,4 49,4 49,6 50,0 49,9 49,8 les 40 % les plus riches 59,6 59,6 59,9 60,2 60,1 60,0 les 50 % les plus riches 68,8 68,8 69,0 69,3 69,3 69,1 les 60 % les plus riches 77,0 76,9 77,2 77,4 77,4 77,3 les 70 % les plus riches 84,3 84,3 84,5 84,7 84,7 84,6 les 80 % les plus riches 90,7 90,7 90,9 91,0 91,0 91,0 les 90 % les plus riches 96,1 96,1 96,3 96,3 96,3 96,3 N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 9

10 Lecture : En 2008, les individus qui font partie des 10 % les plus riches (en niveau de vie) détiennent 24,3 % de la masse totale des niveaux de vie. Note : Ces indicateurs appartiennent à la liste des indicateurs d'inégalité préconisés par le groupe de travail "Niveaux de vie et inégalités sociales" du CNIS. Ceux en gras sont des indicateurs dits "indicateurs de base". Champ : France métropolitaine, individus dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf- Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux 2005 à Niveau de vie des individus. Comparaison entre la moyenne et la médiane (En euros 2008/an) Année Moyenne Médiane Lecture : En 2008, Le salaire moyen en France est de euros soit 1842,5 euros par mois et le salaire médian est de soit 1582,5 euros par mois. 50% de la population vit avec un salaire mensuel inférieur ou égal à 1582,5 euros bien que le salaire moyen soit de 1842,5 euros. La plus grande valeur du salaire moyen traduit l influence des salaires les plus importants dans le calcul de la moyenne. Champ : personnes vivant en France métropolitaine dans un ménage dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux 1970 à 1990, Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux de 2005 à 2008 N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 10