Statistiques descriptives Séries statistiques à une variable

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1 Statistiques descriptives Séries statistiques à une variable Introduction Les statistiques descriptives ont pour but de donner une vision d ensemble d une population à partir de renseignements collectés sur les individus qui la constituent. On organise les données collectées sous forme de tableaux et de graphiques. On calcule des paramètres tels que le mode, la médiane, la moyenne, l écart-type, qui permettent de renseigner sur la population de la manière la plus synthétique possible. Vocabulaire des statistiques Population : ensemble sur lequel porte l étude Unité statistique ou individu : élément de la population Caractère ou variable : propriété étudiée dans la population Le caractère étudié peut être : Qualitatif (c'est-à-dire non mesurable) : couleur, sexe, opinion, pays, profession Quantitatif discret (c'est-à-dire mesurable et prenant des valeurs isolées, souvent des nombres entiers : nombres d enfants à charge, âge Quantitatif continu (mesurable et prenant en théorie toutes les valeurs d un intervalle : salaire, taille, poids, dimension de pièces Ces intervalles sont de type semi-ouvert [a ; b[ et appelés classes. Les effectifs : Relativement au caractère étudié, chaque individu se situe dans une classe et une seule. A chaque classe est associé un effectif noté, appelé effectif partiel. Chaque indice 1, 2, 3,, i,, n numérote les classes. La somme des effectifs partiels est égale à l effectif total de la population noté N. Une série statistique est la donnée des valeurs du caractère (classes) et des effectifs correspondants. L étendue de la série statistique est l écart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la variable. La fréquence est le rapport de l effectif d une classe à l effectif total N Comme, alors En multipliant par 100 la fréquence, on obtient les pourcentages. Exemple Au cours d'une enquête portant sur les bébés nés en 1999, on s'intéresse à leurs tailles en cm, leurs mois de naissance, la couleur de leurs yeux, le nombre d'heures de sommeil quotidiennes. La population étudiée est l ensemble des bébés nés en 1999 Un individu de cette population est l un d entre eux Un caractère qualitatif de cette population est le mois de naissance, un caractère quantitatif est le nombre d heures de sommeil par jour. Une valeur du caractère «mois de naissance» est septembre N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Tableaux et représentations Cas d un caractère qualitatif Exemple 1 Diplôme le plus élevé de la population non scolarisée des 15 ans à 24 ans. Source : Insee, RP2008 exploitation principale. Nom de la zone : France métropolitaine Effectif Fréquence en pourcentage Angle Pas de scolarité ,87 3,13 Aucun diplôme. Scolarité primaire, collège Aucun diplôme. Scolarité au-delà du collège ,08 25, ,59 23,72 Certificat d étude primaire ,51 1,83 BEPC. Brevet ,53 17,42 CAP. Brevet de compagnon ,37 40,93 BEP ,82 56,95 Bac général. Brevet supérieur Bac technologique ou professionnel Diplôme universitaire de 1 er cycle Diplôme universitaire de 2 ième ou 3 ième cycle ,82 31, ,31 65, , ,8 Ensemble On peut représenter cette série par un diagramme à secteurs circulaires ou par un diagramme en barres. Dans un diagramme à secteurs circulaires, l angle é correspondant à la ième classe est égal à. Dans un diagramme en barres, chaque classe est représentée par une barre (bande) de hauteur proportionnelle ou égale à l effectif de la classe. Toutes les barres ont la même largeur, l espace entre les barres est constant. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Diagramme à secteurs circulaires CAP- Brevet de compagnon : 11,37 % BEP : 15,82 % BEPC-Brevet : 6,53 % certificat d'étude primaire : 0,51 % Aucun diplôme- Niveau lycée : 6,59 % Aucun Diplôme. Niveau collège : 7,08 % Pas de scolarité : 0,87 % Bac général. Brevet supérieur : 8,82 % Diplôme univ 2e ou 3e cycle : 8,00 % Bac technologique ou pro : 18,31 % Diplôme univ 1er cycle : 16,11 % Diagramme en barres Cas d un caractère quantitatif discret Exemple 2 Nombre de ventes quotidiennes d un article sur une période de 2 mois soit 48 jours ouvrables. Nombre de ventes Nombre de jours La population est l ensemble des 48 jours. Le caractère est le nombre de ventes. A chaque valeur du caractère nombre de ventes correspond un effectif le nombre de jours pendant lesquels le magasin a enregistré un nombre de ventes égal à. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 Les graphiques correspondant à des distributions quantitatives sont normalement réalisés en portant en abscisse la variable observée, et en ordonnée l effectif ou la fréquence. Dans le cas d une variable discrète on peut représenter la série par un diagramme en bâtons dont les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs qu ils représentent ou par un nuage de points. y Diagramme en bâtons x Nuage de points N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Mode C est la valeur du caractère associé à l effectif le plus grand. Dans l exemple précédent le mode est 4. Cas d un caractère quantitatif continu Exemple 3 Niveau de vie moyen des individus selon l'âge. En euros moins de 18 ans 18 à 24 ans 25 à 34 ans 35 à 44 ans 45 à 54 ans 55 à 64 ans 65 à 74 ans 75 ans et plus Ensemble de la population Champ : personnes vivant en France métropolitaine dans un ménage dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux de 2005 à On représente généralement une distribution quantitative à caractère continu par un histogramme. On porte en abscisse la variable observée, et en ordonnée l effectif ou la fréquence. L aire de chaque rectangle est proportionnelle à l effectif. La hauteur h de chaque rectangle est telle que h base = effectif k où k est l aire unitaire (aire du rectangle représentant un effectif égal à 1). y Niveau de vie moyen selon l'âge en x D1 Q1 Med Q3 D9 = 1,0 % Lorsque les intervalles ont tous la même amplitude, les rectangles ont une hauteur proportionnelle ou égale à l effectif. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Exemple 4 On a interrogé en 2008 un échantillon représentatif de 4812 Français sur leurs loisirs. On donne dans le tableau ci-dessous les résultats concernant la durée hebdomadaire d écoute de la télévision (en heure). Durée 30 et plus Effectif Fréquence 8,94 11,26 19,20 17,16 12,51 9,70 21,22 en % Fréquence cumulée croissante 8,94 20,2 39,4 56,56 69,07 78, y Histogramme x = 1,0 % Classe Modale La classe modale est la classe associée au rectangle de l histogramme ayant la plus grande aire, soit le plus grand effectif. Dans l exemple précédent la classe modale est la classe d âge des ans. C est la classe d âge qui a le niveau de vie moyen le plus élevé. Moyenne, écart-type Moyenne La moyenne d une série statistique à caractère quantitatif est un indicateur de centralité (valeurs centrales) ou de position. La moyenne est définie par la formule : N est l effectif total, les effectifs partiels, les valeurs du caractère dans le cas d une variable discrète, les milieux des classes du caractère dans le cas d une variable continue. On effectue la somme des valeurs de la variable multipliée par l effectif correspondant. Cette somme est ensuite divisée par l effectif total. En fonction des fréquences on obtient la formule suivante : N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 Exemples Si l on considère l exemple 2 (cas quantitatif discret), la moyenne est 3,69 Si l on considère le cas d un caractère quantitatif continu, pour calculer la moyenne on détermine d abord les centres de classe. Exemple 5 Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. Montant (en ) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ Centre de classe Effectif Propriétés de la moyenne 1) Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors. Cela signifie que s il y a une augmentation uniforme des valeurs de la variable alors la moyenne est augmentée de la même valeur. 2) On considère la série statistique définie par ayant les valeurs avec. Alors Les propriétés 1) et 2) définissent la linéarité de la moyenne. 3) Moyennes partielles Si une série est partagée en deux séries d effectifs N et P et de moyennes x et y alors la moyenne de la série totale est z N x P y N P. Interprétation de la moyenne La moyenne est un premier indicateur d une série statistique. Elle est très fréquemment utilisée en économie : salaire moyen, PIB/habitant, PNB/habitant La moyenne correspond à une répartition parfaitement égalitaire de la masse à partager. Si dans une entreprise chaque salarié percevait le salaire moyen, la masse salariale resterait la même. C est un indicateur très sensible aux variations des valeurs extrêmes et qui ne rend pas compte des fluctuations de la variable. Par exemple, si dans une entreprise l ensemble des 10 salariés ont un salaire mensuel égal à 2000 euros et le patron a un salaire mensuel de euros, le salaire moyen dans l entreprise est égal à 4091 euros! Autre exemple : Le produit intérieur brut par habitant peut être le même dans deux pays différents mais ne pas rendre compte de la manière dont sont réparties les richesses dans les deux pays. Le cas de la Chine est intéressant. Depuis 2010, c est la deuxième puissance économique mondiale en termes de PIB mais si l on rapporte cette richesse en nombre d habitants, la Chine reste un pays en développement. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7

8 Remarque La moyenne n est pas en général une valeur prise par la variable. Écart-type Pour traduire les fluctuations d une variable, on a recours à la notion de variance et d écart-type. La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs du caractère autour de la moyenne. L écart-type est une valeur exprimée dans la même unité de mesure que la variable. Il est donné par la formule où est la variance de la série statistique. Dans l exemple 5, l écart-type est d environ 666 euros. Il est assez important et rend compte du fait que les effectifs sont importants pour les plus petits et plus grands versements. Propriété de l écart-type Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors Cela signifie que l écart-type ne change pas si l on augmente uniformément les valeurs d une série. Exemple Si dans une entreprise, après négociation salariale, les salaires sont augmentés uniformément de 100 euros. Alors, la moyenne des salaires est elle-même augmentée de 100 euros mais la répartition des salaires ne change pas (augmentation uniforme). La dispersion est inchangée donc l écart-type reste le même. Interprétation de l écart-type En général, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne, plus l écart-type est grand. L écart-type est sensible à la variation des valeurs extrêmes du fait de son lien avec la moyenne. La moyenne et l écart-type constituent un premier résumé de la série statistique étudiée. Médiane, quantiles Quantiles Les quantiles permettent d étudier la répartition d une série statistique à caractère quantitatif. Ce sont des caractéristiques de position. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 8

9 Médiane La médiane, notée Me, est une valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : 50% dans l un, 50% dans l autre. Me est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 50 % des données. Quartiles Les quartiles, notés, =,, sont 3 valeurs de la variable qui partagent la population en 4 groupes de même effectif. Chaque groupe est en théorie constitué de 25% des effectifs. est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 25 % des données. est la plus petite valeur de la variable supérieure ou égale à au moins 75 % des données. Déciles Les déciles, notés,,,, sont 9 valeurs de la variable qui partagent la population en 10 groupes de même effectif. Chaque groupe est constitué de 10 % des effectifs. On peut de la même manière définir les 99 centiles qui partagent la population en 100 groupes de même effectif, chaque groupe étant constitué d un centième des effectifs. Calcul pratique de la médiane Cas discret On trie les valeurs de la série par ordre croissant, chaque valeur apparaissant le nombre de fois indiqué par son effectif ou bien l on regroupe les valeurs par ordre croissant dans un tableau, chaque valeur étant pondérée par l effectif correspondant. On distingue deux cas suivant que l effectif de la population est pair ou impair : Si l'effectif total est 2n + 1 où n est un entier, la médiane est la valeur classée au rang n + 1. Si l'effectif total est 2n où n est entier, la médiane est la valeur classée au rang n. Exemple 6 On a indiqué dans le tableau suivant la distance entre le bureau et le domicile (en km) d un groupe d employés parisiens. Distance Effectif Effectifs cumulés croissants La médiane de cette série est 2 ; En effet, il y a 100 employés considérés. La médiane correspond à la distance parcourue par le 50 ième employé (classés par ordre croissant de la distance parcouru pour aller travailler). Or, seulement 20 employés parcourent entre 0 et 1 km pour aller au bureau et 55 parcourent entre 0 et 2 km. D où le résultat. Dans cet exemple, la médiane est égale au quartile n 1. Cela correspond au fait que la 25 ième personne parcourt aussi 2 km pour aller au bureau. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 9

10 Cas continu Dans le cas d un regroupement par classe des données on détermine la classe médiane. En première approximation, on peut considérer que le centre de l intervalle détermine la médiane. Exemple 7 Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la journée. Montant (en ) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ;1500[ [1500 ;3000[ Effectif Effectif cumulés croissants % Effectifs cumulés décroissants La classe médiane est [750 ; 1000[ On peut aussi déterminer graphiquement la médiane en traçant les courbes des effectifs cumulés croissants et décroissants. La médiane est leur point d intersection. y D Q1 Med Q3 D9 x Le tracé de la courbe des effectifs (ou fréquences) cumulés croissant permet de déterminer graphiquement une valeur approchée des différents quantiles. Calcul pratique des quartiles et des déciles Le premier quartile Q 1 de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le deuxième quartile Q 2 entier supérieur ou égal à. de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit Le troisième quartile Q 3 de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 10

11 Le premier décile D 1 de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Le neuvième décile D 9 de la série est la valeur x i dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à. Exemple 8 La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température 14, , , , , ,5 Nombre de fois où cette température a été relevée Effectifs cumulés ,5 ;. La médiane est la température correspondant au 49 ième relevé. Soit donc le premier quartile correspond au 25 ième relevé soit donc le troisième quartile correspond au 73 ième relevé soit. donc le premier décile correspond au 10 ième relevé soit 15 donc le neuvième décile correspond au 88 ième relevé soit 19 Écart interquantile L écart interquartile est la différence. Il contient au moins 50% des observations. L écart inter-décile est la différence. Il contient au moins 80% des observations. Ces écarts inter-quantiles sont des indicateurs de dispersion des valeurs de la série statistique. Dans l exemple 6 précédent Étendue L étendue est la différence entre les deux valeurs extrêmes observées. Dans l exemple 6 précédent Interprétation Les quantiles sont de bons indicateurs de la répartition de la population d une distribution statistique. Les intervalles interquartiles et plus généralement interquantiles (différence entre la première et la dernière valeur) sont insensibles aux variations des valeurs extrêmes. Ils améliorent la notion d étendue en éliminant les valeurs extrêmes. La médiane et l écart interquartile constituent un second résumé d une série statistique. Exemple 9 Les revenus salariaux des salariés de 25 à 55 ans (en euros 2008) er décile (D1) ème décile (D2) ème décile (D3) ème décile (D4) Médiane (D5) ème décile (D6) N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 11

12 7ème décile (D7) ème décile (D8) ème décile (D9) Lecture : En 2008, 10 % des individus ont un niveau de vie inférieur à euros. Champ : France métropolitaine, individus dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP- Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux 2005 à Exemple 10 Masse des niveaux de vie détenue par les x % les plus riches en % Masse des niveaux de vie détenue par : les 10 % les plus riches 23,4 23,6 23,8 24,3 24,1 24,3 les 20 % les plus riches 37,6 37,6 37,9 38,4 38,2 38,3 les 30 % les plus riches 49,4 49,4 49,6 50,0 49,9 49,8 les 40 % les plus riches 59,6 59,6 59,9 60,2 60,1 60,0 les 50 % les plus riches 68,8 68,8 69,0 69,3 69,3 69,1 les 60 % les plus riches 77,0 76,9 77,2 77,4 77,4 77,3 les 70 % les plus riches 84,3 84,3 84,5 84,7 84,7 84,6 les 80 % les plus riches 90,7 90,7 90,9 91,0 91,0 91,0 les 90 % les plus riches 96,1 96,1 96,3 96,3 96,3 96,3 Lecture : En 2008, les individus qui font partie des 10 % les plus riches (en niveau de vie) détiennent 24,3 % de la masse totale des niveaux de vie. Note : Ces indicateurs appartiennent à la liste des indicateurs d'inégalité préconisés par le groupe de travail "Niveaux de vie et inégalités sociales" du CNIS. Ceux en gras sont des indicateurs dits "indicateurs de base". Champ : France métropolitaine, individus dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav- CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux 2005 à Exemple 11 Niveau de vie des individus. Comparaison entre la moyenne et la médiane (En euros 2008/an) Année Moyenne Médiane Lecture : En 2008, Le salaire moyen en France est de euros soit 1842,5 euros par mois et le salaire médian est de soit 1582,5 euros par mois. 50% de la population vit avec un salaire mensuel inférieur ou égal à 1582,5 euros bien que le salaire moyen soit de 1842,5 euros. La plus grande valeur du salaire moyen traduit l influence des salaires les plus importants dans le calcul de la moyenne. Champ : personnes vivant en France métropolitaine dans un ménage dont le revenu déclaré au fisc est positif ou nul et dont la personne de référence n'est pas étudiante. Sources : Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux 1970 à 1990, Insee-DGI, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux rétropolées 1996 à 2004, Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux de 2005 à 2008 N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 12