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1 I Exercices Exercice 1 : Déterminer la mesure principale des angles suivants : a) 45π b) 75π c) 11π d) 15π e) 14π Exercice : Simplifier les formules suivantes : f) 1961π a) cos(π x) b) sin(π + x) ( c) sin x π ) d) cos(x + 5π) e) sin( x π) ( f) cos x + π ) Exercice : Dans chaque cas, trouver la valeur de t : a) cost = 1 et t [0 ; π] [ π b) sint = et t ; π ] c) cost = et t ] π ; π] d) cost = et t ] π ; 0] Exercice 4 : Résoudre l équation cos(x) = 1 Exercice 5 : Résoudre l inéquation sinx 1 où x est l inconnue. où x [0 ; π]. Exercice 6 : Vrai ou Faux : 1) cos(a + b) = cos(a) + cos(b) pour tout a,b IR. ) Pour tout x IR, cos(x) ) Soit α IR, le nombre (cosα + sinα) + (cosα sinα) est constant. 4) Le point A + ; est sur le cercle trigonométrique. Exercice 7 : On sait que cos π =. Calculer sin π 4 5. Exercice 8 : Résoudre dans IR : ( 1) cos x + π ) = cos π 4 ) cosx = cos(x) { 8sinx + siny = 1 ) 6sinx + 5siny = où x,y ] π ; π] sont les inconnues. Exercice 9 : On s intéresse aux auguilles d une montre et à leurs propriétés. Les aiguillles sont sur un cercle de centre O, G est l extrémité de la grande, P celle de la petite et A la position à l origine c est à dire quand les aiguilles indiquent 0 heure (ou minuit). 1

2 Le temps écoulé depuis 0 heure sera noté t exprimé en heure sous forme décimale (t [0 ; 4]). Ainsi, 1,5h signifie 1h0 min. On assimile l horloge à un grand cercle trigonométrique mais en commençant à compter à partir de 1 et on exprime les angles en radians. 1) Montrer que l on a ( OA, OG ) = πt + kπ ( OA, OP ) = π 1 t + k π ) Exprimer en fonction de t l angle ( OP, OG ) entre les aiguilles. Combien vaut-il quand il est 11h1min? Donner une valeur en degré de l angle géométrique POG. ) Donner, à la seconde près, la première heure de la journée pour laquelle les aiguilles se superposent (t 0). 4) Donner, à la seconde près, la première heure de la journée pour laquelle les aiguilles sont perpendiculaires. 5) Donner, à la seconde près, la première heure de la journée pour laquelle les aiguilles sont opposées. Exercice 10 : Dans un plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ), on décide de repérer un point M non plus avec ses abscisse et ordonnée mais avec r = OM et θ = ( i, OM ) [0 ; π[. Le couple (r ; θ) permet de savoir sans ambiguité où se trouve M. r et θ sont ce que l on apppelle les coordonnées polaires de M. 1) Quelles sont les coordonnées polaires de A de coordonnées cartésiennes (0 ; 1)? de B de coordonnées cartésiennes ( ; ). ) Placer le point C de coordonnées polaires ( ; 5π/6). ) Déterminer le lieu des points M de coordonnées polaires (r ; θ) telles que r =. 4) Déterminer le lieu des points M de coordonnées polaires (r ; θ) telles que θ = 7π 6. 5) On note D l ensemble des points M de coordonnées polaires (r ; θ) telles que r = a) Pour quelles valeurs de θ, r existe-t-il? b) Compléter le tableau de valeurs suivant : θ 0 π/6 π/4 π/ π/ π/ π/4 5π/6 π r cos(θ π/6). c) Placer les points dans votre repère orthonormé. Que constatez-vous? Vous démontrerez votre conjecture dans un autre chapitre (Cf. Produit scalaire). Exercice 11 : C est le cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé (O; i, j ). On note I(1 ; 0) et J(0 ; 1). M C est le point tel que ( π OI, OM ) = 4 (π). 1) Quelles sont les coordonnées de M dans (O; i, j )? ) Calculer la distance IM.

3 ) a) Démontrer que IM = sin π 8. b) En déduire la valeur exacte de sin π 8. 4) Calculer la valeur exacte de cos π 8. 5) Déduire des questions précédentes les valeurs des cosinus et sinus de respectivement 7π 8, 9π 8, 5π 8 et π 8 Exercice 1 : Le but est de calculer la durée des saisons ainsi que le début de l été en 01 connaissant seulement la date du périgée de la Terre en 01. On suppose que la Terre P a une orbite elliptique E dont le foyer F est le Soleil. A est le périgée de la Terre, on mesure le temps à partir du passage de P en ce point A. Donc, à t = 0, P est en A (A est l apogée de P). P tourne dans le sens direct. On note θ = ( FA, FP ) et ϕ = ( OA, OP ) comme indiqués sur la figure ci-dessous (C est le cercle de centre O, milieu de [AA ], et de diamètre [AA ]). On écrira a = OA, b = OB ((OA) (OB)) et c = OF. On pourra utiliser le nombre e = c a. On appelle T = 65,564 jours le temps mis par la Terre pour faire une révolution autour du Soleil F. On pourra utiliser lors des applications numériques et programmes les constantes suivantes : e = 0, a = km b = km On admettra également les résultats suivants : R1 la loi des aires : Les segments [FP] balayent des aires égales en des temps égaux. R L aire d une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b est πab. R On considère la transformation géométrique qui «écrase» les longueurs verticalement dans un rapport égal à k : M devient M de la manière suivante : M H = kmh, H (Ox) et (MH) (Ox). C est à dire que les longueurs «verticales» sont multipliées par k, les longueurs «horizontales» sont inchangées. Alors les aires sont aussi multipliées par k. M M Ici k = 1/ j M H j M H C C ı Figure 1 ı Figure

4 Par exemple, sur la figure, l aire de la zone hachurée est le tiers de l aire verte (chaque ordonnée de la courbe C est le tiers de l ordonnée du point de C situé au-dessus). Autre exemple, sur la figure, le triangle AP F devient APF et A APF = ka AP F pour une certaine valeur de k. De même, la portion de disque AFP devient le secteur d ellipse AFP d où la relation pour leurs aires. On obtient en fait l ellipse E à partir du cercle C en appliquant cette transformation avec k = b (je vous laisse vérifier cette valeur de k). a Partie A : L équation de Kepler C P P Equinoxe de printemps A F B ϕ P θ O H F A Solstice d été E apogée θ F périgée A θ 0 E Equinoxe d automne Figure Figure 4 Solstice d hiver H 1) Qu est-ce qu une ellipse? le foyer d une ellipse (donner alors les caratéristiques d une ellipse)? le périgée d une planète? ) Déterminer les valeurs (en radians) de θ et ϕ quand la Terre est en A, puis en B et enfin en A. ) Combien de temps la Terre met-elle pour aller en A? 4) On suppose que la Terre est en P à l instant t. a) A partir de la loi des aires, montrer que A AFP = πabt (il s agit de l aire du secteur T d ellipse). b) Calculer l aire du secteur angulaire AOP en fonction de a et ϕ. c) Montrer que l aire du triangle FOP vaut casinϕ. d) En déduire que A AFP = ab (ϕ esinϕ). e) En déduire enfin que t = ϕ esinϕ T. Ce lien entre t et ϕ est l équation de Kepler. π 5) Combien de temps la Terre P met-elle pour arriver en B c est à dire pour parcourir le premier quart de l ellipse? Sachant que la Terre P sera en A le janvier 01 à 4h8min, à quelle date la Terre passera-t-elle en B? 4

5 6) Combien de temps la Terre P met-elle pour parcourir le deuxième quart de l ellipse de B à A? Quelles remarques peut-on alors en déduire? Partie B : Durée et début des saisons : On admet la formule suivante : 1 e R4 Le lien entre θ et ϕ est donné par sinϕ = sinθ 1 + ecosθ. Le grand-axe (AA ) fait un angle de θ 0 = avec la ligne des solstices (Cf. figure 4). De plus la ligne des solstices et la lignes dse équinoxes sont perpendiculaires. 1) Calculer la durée correspondant à θ 0. ) Calculer la durée des saisons. ) Le passage au périgée A aura lieu le janvier 01 à 4h8min TU. En déduire la date du début de chacune des saisons en 01. Comparer vos résultats avec les éphémérides de l institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (imcce) : php. 4) Quelles remarques pouvez-vous formuler au sujet de ces durées? Exercice 1 : On souhaite déterminer l altitude d un point A par rapport au sol. On choisit deux lieux d observation O et O et on mesure les angles θ et θ par rapport à la verticale. On note h = AA l altitude de A, a = OO, d = OA et d = O A. Seuls les nombres θ, θ et a sont connus. On cherche h en focntion de ces trois paramètres. A θ θ O a O A 1) Démontrer que h = d cosθ = d cosθ ainsi que d sinθ = a + d sinθ. ) Exprimer d en fonction de d,θ et θ. acosθ cosθ ) En déduire que h = sin(θ θ ). Exercice 14 : a et b sont des réels tels que 0 < b < a < π. Sur le demi-cercle de diamètre AD = 1 et de centre O, on place les points B et C tels que ( DA, DC ) = a et ( DA, DB ) = b. 1) Faire un dessin. ) Déterminer en fonction de sina, sinb, cosa et cosb les longueurs AB, BD, AC et DC. ) Montrer que ( OB, OC ) = a b et en déduire que BC = sin(a b). 5

6 4) En utilisant le théorème de Ptolémée : «si le quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle alors AB CD + BC AD = AC BD», montrer que sin(a b) = sinacosb sinbcosa. Exercice 15 : Déterminer la somme des angles α et β, construits à partir des trois carrés disposés côte à côte : α β Figure 5 6

7 Solution exercice : a) π/ ; b) π/4 c) π/6 ; d) π/ ; e) π/ ; f) π. Solution exercice : a) cosx ; b) cosx ; c) cosx ; d) cosx ; e) sinx ; f) sinx. Solution exercice 4 : a) π/ ; b) π/4 ; c) π/6 et π/6 ; d) π/4. 7

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